Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

18. Знаки значень тригонометричних функцій

Нехай точку Р отримано в результаті повороту точки Р₀(1; 0) навколо початку координат на кут а. Якщо точка Р належить І координатній чверті, то говорять, що а є кутом І чверті. Аналогічно можна говорити про кути II, III і IV чвертей.

Наприклад, і —300° — кути І чверті, і -185° — кути II чверті, і -96° — кути III чверті, 355° і - — кути IV чверті.

Кути виду , k ∈ ℤ, не відносять до жодної чверті.

Точки, розміщені в І чверті, мають додатні абсцису й ординату.

Отже, якщо а — кут І чверті, то sin а > 0, cos а > 0.

Якщо а — кут II чверті, то sin а > 0, cos а < 0.

Якщо а — кут III чверті, то sin а < 0, cos а < 0.

Якщо а — кут IV чверті, то sin а < 0, cos а > 0.

Знаки значень синуса та косинуса схематично показано на рисунку 18.1.

Рис. 18.1

Оскільки то тангенси й котангенси кутів І і III чвертей є додатними, а кутів II і IV чвертей — від’ємними (рис. 18.2).

Нехай точки Р₁ і Р₂ отримано в результаті повороту точки Р₀ (1; 0) на кути а і -а відповідно (рис. 18.3).

Рис. 18.2

Рис. 18.3

Для будь-якого кута а точки Р₁ і Р₂ мають рівні абсциси та протилежні ординати. Тоді з означень синуса та косинуса випливає, що для будь-якого а ∈ ℝ.

cos (-а) = cos а

sin (-а) = -sin а

Отримані властивості дають змогу зробити й такі висновки

tg (-а) = -tg а

ctg (-а) = -ctg а

Справді,

ПРИКЛАД Порівняйте sin 200° і sin (-200°).

Розв’язання. Оскільки кут 200° — це кут III чверті, а кут -200° — кут II чверті, то sin 200° < 0, sin (-200°) > 0. Отже, sin 200° < sin (-200°).

?

1. Які знаки мають синус, косинус, тангенс і котангенс у кожній із координатних чвертей?

2. Чому дорівнює cos (-а)? sin (-а)? tg (-а)? ctg (-а)?

ВПРАВИ

18.1. Додатним чи від’ємним числом є значення тригонометричної функції:

18.2. Який знак має:

18.3. Знайдіть значення виразу:

18.4. Знайдіть значення виразу:

18.5. Відомо, що < а < . Порівняйте з нулем значення виразу:

18.6. Відомо, що < β < . Порівняйте з нулем значення виразу:

18.7. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

18.8. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

1) sin 200° і sin (-250°); 3) cos 250° і cos 290°;

2) ctg 100° і ctg 80°; 4) cos 6,2 і sin 5.

18.9. Відомо, що а — кут III чверті. Спростіть вираз:

1) sin а - | sin а |; 2) | cos а | - cos а; 3) | tg а | - tg а.

18.10. Відомо, що (3 — кут IV чверті. Спростіть вираз:

1) | sin β | + sin β; 2) cos β - | cos β |; 3) | ctg β | - ctg β.

18.11. Кутом якої чверті є кут а, якщо:

18.12. Кутом якої чверті є кут а, якщо:

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

18.13. При яких значеннях х значення виразів 4х + 5, 7х - 1 і х² +2 будуть послідовними членами арифметичної прогресії?

18.14. При яких значеннях х значення виразів х - 1, 1 - 2х і х + 7 будуть послідовними членами геометричної прогресії?