Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

10. Означення кореня n-го степеня. Функція y =

Ви знаєте, що коренем другого степеня (квадратним коренем) із числа а називають таке число, другий степінь якого дорівнює а. Аналогічно дають означення кореня n-го степеня із числа а, де n ∈ ℕ, n > 1.

Означення. Коренем n-го степеня із числа а, де n ∈ ℕ, n > 1, називають таке число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад, коренем п’ятого степеня із числа 32 є число 2, оскільки 2⁵ = 32; коренем третього степеня із числа -64 є число -4, оскільки (-4)³ = -64; коренями четвертого степеня із числа 81 є числа 3 і -3, оскільки З⁴ = 81 і (-3)⁴= 81.

З означення випливає, що будь-який корінь рівняння хⁿ = а, де n ∈ ℕ, n > 1, є коренем n-го степеня із числа а і, навпаки, будь-який корінь n-го степеня із числа а є коренем розглядуваного рівняння.

Якщо n — непарне натуральне число, то функція у = хⁿ є зростаючою і, оскільки її областю значень є множина ℝ, то рівняння хⁿ = а має єдиний корінь при будь-якому а.

Рисунок 10.1 ілюструє останнє твердження: при будь-якому значенні а графіки функцій у = хⁿ і у = а мають одну спільну точку. Тоді можна зробити такий висновок:

якщо n — непарне натуральне число, більше за 1, то з будь- якого числа існує корінь n-го степеня, причому тільки один.

Рис. 10.1

Рис. 10.2

Корінь непарного степеня n, n > 1, із числа а позначають так: (читають: «корінь n-го степеня з а»). Наприклад,

Знак називають знаком кореня n-го степеня або радикалом. Вираз, який стоїть під радикалом, називають підкореневим виразом.

Корінь третього степеня прийнято називати також кубічним коренем. Наприклад, запис читають: «корінь кубічний із числа 2».

Наголосимо, що вираз існує при будь-якому а.

З означення кореня n-го степеня випливає, що при будь-якому а виконується рівність

Наприклад,

Розглянемо рівняння хⁿ = а, де n — парне натуральне число.

Оскільки областю значень функції у = хⁿ, де n — парне натуральне число, є множина [0; +∞), то при а < 0 дане рівняння не має розв’язків.

Очевидно, що при а = 0 рівняння має єдиний корінь х = 0.

Функція у = хⁿ, де n — парне натуральне число, зростає на проміжку [0; +оо) і набуває всіх додатних значень. Отже, при а > 0 рівняння хn = а, де n — парне натуральне число, на проміжку [0; +∞) має єдиний корінь.

Оскільки розглядувана функція є парною, то при а > 0 дане рівняння має два корені, які є протилежними числами.

Наведені твердження мають просту геометричну інтерпретацію (рис. 10.2). Якщо а < 0, то графіки функцій у = хⁿ і у = а не мають спільних точок; якщо а = 0, то розглядувані графіки мають одну спільну точку; якщо а > 0, то спільних точок дві, причому їхні абсциси — протилежні числа.

Тепер можна зробити такий висновок:

якщо n — парне натуральне число, то при а < 0 корінь n-го степеня із числа а не існує; при а = 0 корінь n-го степеня із числа а дорівнює 0; при а > 0 існують два протилежних числа, які є коренями n-го степеня із числа а.

Ви знаєте, що арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа а називають таке невід’ємне число, другий степінь якого дорівнює а. Аналогічно дають означення арифметичного кореня n-го степеня.

Означення. Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа а, де n ∈ N, n > 1, називають таке невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь n-го степеня з невід’ємного числа а позначають так: .

Наприклад,

Узагалі, якщо b > 0 і bn = а, де n ∈ ℕ, n > 1, то

Звернемо увагу на те, що для позначення арифметичного кореня n-го степеня з невід’ємного числа а та кореня непарного степеня n із числа а використовують один і той самий запис: . Запис , k ∈ ℕ, використовують тільки для позначення арифметично го кореня. Зауважимо, що корінь парного степеня із числа а не має позначення.

За допомогою знака кореня n-го степеня можна записувати корені рівняння хn = а, де n ∈ ℕ, n > 1.

Якщо n — непарне натуральне число, то при будь-якому значенні а розглядуване рівняння має єдиний корінь

Якщо n — парне натуральне число і а > 0, то рівняння має два корені:

Якщо а = 0, то х = 0.

Наприклад, коренем рівняння х³ = 7 є число ; коренями рівняння х⁴ = 5 є два числа:

З означення арифметичного кореня n-го степеня випливає, що:

Наприклад,

Покажемо, що при будь-якому а і k ∈ ℕ

Для того щоб довести рівність треба показати, що y^{2k +1} = х.

Маємо:

Доведена властивість дає змогу корінь непарного степеня з від’ємного числа виразити через арифметичний корінь.

Наприклад,

Вище було встановлено, що корінь непарного степеня з будь-якого числа існує та набуває єдиного значення. Отже, кожному числу х ∈ ℝ можна поставити у відповідність єдине число у таке, що

Тим самим для всіх k ∈ ℕ задано функцію з областю визначення ℕ.

Покажемо, що функція f є оберненою до функції g(x) = х^2k+1, k ∈ ℕ.

Оскільки рівняння при будь-якому а має корінь х = а^2k+1, то областю значень функції f є множина ℕ.

Маємо: D (f) = Е (g) = ℝ, E(f) = D(g) = ℝ.

Для всіх х є № виконується рівність

Іншими словами, g(f(х)) = х для всіх х є D(f). Сказане означає, що f і g — взаємно обернені функції.

Використовуючи графік функції у = х^2k+1 і теорему 4.2, можна побудувати графік функції (рис. 10.3). Зокрема, на рисунку 10.4 зображено графік функції y = .

Оскільки функція g(x) = х^2k+1 є зростаючою, то за теоремою 4.3 Функція також є зростаючою.

Рис. 10.3

Рис. 10.4

Функція має єдиний нуль х = 0.

Якщо х < 0, то f (х) < 0; якщо х > 0, то f (х) > 0. Отже, проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції f.

Для будь-якого х із області визначення функції f виконуються рівності

Отже, функція f є непарною.

Аналогічно означають функцію

Покажемо, що функція f є оберненою до функції g(x) = x^2k, k ∈ ℕ, з областю визначення [0; +∞).

Оскільки рівняння при будь-якому а ≥ 0 має корінь х = a^2k, а при будь-якому а < 0 не має коренів, то областю значень функції f є проміжок [0; +∞).

Маємо: D(f) = E(g) = [0; +∞), E(f) = D(g) = [0; +∞).

Для будь-якого х ∈ 0; +∞) виконується рівність

Іншими словами, g(f(x)) = x для всіх х ∈ D(f). Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.

На рисунку 10.5 показано, як за допомогою графіка функції у = х^2k, де х ≥ 0, побудувати графік функції y = , k ∈ ℕ.

Рис. 10.5

Рис. 10.6

На рисунку 10.6 зображено графік функції y = .

З’ясуємо деякі властивості функції

Оскільки функція g(x) = х^2k, k ∈ ℕ, D(g) = [0; +∞), є зростаючою, то функція f (x) = також є зростаючою.

Функція f має єдиний нуль х = 0.

Якщо х > 0, то f(х) > 0. Отже, проміжок (0; +∞) є проміжком знакосталості функції f.

Оскільки область визначення функції f не є симетричною відносно початку координат, то функція f не є ні парною, ні непарною.

У таблиці наведено властивості функції y = , вивчені в цьому пункті.

ПРИКЛАД Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання. 1) Дана нерівність рівносильна такій:

Оскільки функція y = є зростаючою, то можна зробити висновок, що х < 8.

Відповідь: (-∞; 8).

2) Маємо:

Оскільки функція y = є зростаючою з областю визначення [0; +∞), то дана нерівність рівносильна системі

Звідси 2 ≤ х < 3.

Відповідь: [2; 3).

3) Дана нерівність рівносильна системі

Тоді

Звідси отримуємо, що х > 4.

Відповідь: (4; +оо).

1. Що називають коренем n-го степеня із числа а, де n ∈ ℕ, n > 1?

2. Що називають арифметичним коренем n-го степеня з невід'ємного числа а, де n ∈ ℕ, n > 1?

3. Які властивості має функція

4. Які властивості має функція

ВПРАВИ

10.1. Обчисліть:

10.2. Знайдіть значення виразу:

10.3. Обчисліть:

10.4. Обчисліть:

10.5. Знайдіть область визначення функції:

10.6. Знайдіть область визначення функції:

10.7. Знайдіть область значень функції:

10.8. Знайдіть область значень функції:

10.9. Між якими двома послідовними цілими числами розташоване на координатній прямій число:

10.10. Між якими двома послідовними цілими числами розташоване на координатній прямій число:

10.11. Розв’яжіть рівняння:

10.12. Розв’яжіть рівняння:

10.13. Побудуйте графік функції:

10.14. Знайдіть область визначення виразу:

10.15. Знайдіть область визначення виразу:

10.16. Розв’яжіть рівняння:

10.17. Розв’яжіть рівняння:

10.18. Побудуйте графік функції:

10.19. Побудуйте графік функції:

10.20. Знайдіть найбільше і найменше значення функції на проміжку:

1) [-3; -1]; 2) [-1; 2]; 3) [-3; +∞).

10.21. Знайдіть найбільше і найменше значення функції на проміжку:

1) [2; 3]; 2) [-2; 1]; 3) (-∞; 2).

10.22. Розв’яжіть нерівність:

10.23. Розв’яжіть нерівність:

10.24. Залежно від значення параметра а визначте кількість коренів рівняння:

10.25. Залежно від значення параметра а визначте кількість коренів рівняння:

10.26. Розв’яжіть рівняння

10.27.» Розв’яжіть рівняння

10.28. Розв’яжіть систему рівнянь

10.29. Розв’яжіть систему рівнянь

10.30. Доведіть, що

10.31. Доведіть, що

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

10.32. Знайдіть значення виразу:

10.33. При яких значеннях а виконується рівність:

10.34. Замініть вираз тотожно рівним, який не містить знака кореня:

10.35. Спростіть вираз: