Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

8. Степенева функція з натуральним показником

9. Степенева функція із цілим показником

10. Означення кореня n-го степеня. Функція у =

11. Властивості кореня n-го степеня

12. Степінь з раціональним показником та його властивості

13. Ірраціональні рівняння

14. Різні прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їхніх систем

15. Ірраціональні нерівності

• У цьому параграфі ви дізнаєтеся, яку функцію називають степеневою функцією із цілим показником, які властивості має ця функція; що називають коренем n-го степеня, які властивості має корінь n-го степеня; що називають степенем з раціональним показником

і які його властивості; які рівняння називають ірраціональними.

• Bи навчитеся добувати корені n-го степеня, виконувати піднесення до степеня з раціональним показником; перетворювати які містять степені з раціональним показником і корені n-го степеня; розв'язувати ірраціональні рівняння.

8. Степенева функція з натуральним показником

Властивості та графіки функцій у = х і у = х² добре відомі вам з курсу математики попередніх класів. Ці функції є окремими випадками функції у = хn, n ∈ ℕ, яку називають степеневою функцією з натуральним показником.

Оскільки вираз хn, n ∈ ℕ, має зміст при будь-якому х, то областю визначення степеневої функції з натуральним показником є множина М.

Очевидно, що розглядувана функція має єдиний нуль х = 0. Подальше дослідження властивостей функції у = хⁿ, n ∈ ℕ, проведемо для двох випадків: n — парне натуральне число i n — непарне натуральне число.

• Перший випадок: n = 2k, k ∈ ℕ.

Зазначимо, що при k = 1 отримуємо функцію у = х², властивості та графік якої було розглянуто в курсі алгебри 8 класу.

Оскільки при будь-якому х вираз х^2k набуває тільки невід’ємних значень, то область значень розглядуваної функції не містить жодного від’ємного числа.

Можна показати, що для будь-якого а > 0 існує таке значення аргументу х, що х^2k = а.

Сказане означає, що областю значень функції у = хⁿ де n — парне натуральне число, є множина [0; +∞).

Якщо х ≠ 0, то x^2k > 0.

Отже, проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції у = хⁿ, де n — парне натуральне число.

Функція у = хn, де n — парне натуральне число, є парною. Справді, для будь-якого х із області визначення виконується рівність (-x)^2k = x^2k.

Розглянемо довільні числа х₁ і х₂ такі, що х, є (-∞; 0], х₂∈ (-∞; 0] і x₁ < х₂. Тоді -х₁ > -х₂ > 0. Скориставшись властивістю числових

нерівностей, отримуємо: (-х₁)^2k > (-х₂)^2k. Звідси х₁^k2 > x₂^k2.

Отже, функція у = хⁿ, де n — парне натуральне число, спадає на проміжку (-∞; 0]. Аналогічно можна показати, що ця функція зростає на проміжку [0; +∞).

Отримані властивості дають змогу схематично зобразити графік функції у = хⁿ, де n — парне натуральне число (рис. 8.1). Зокрема, графік функції у = х⁴ зображено на рисунку 8.2.

Рис. 8.1

Рис. 8.2

• Другий випадок: n = 2k + 1, k ∈ ℕ або k = 0.

Зазначимо, що при n = 1 отримуємо функцію у = х, властивості та графік якої було розглянуто в курсі алгебри 7 класу.

Тепер нехай n = 2k + 1, k ∈ ℕ.

Можна показати, що для будь-якого а існує таке значення аргументу х, що х^{2k + 1} = а.

Сказане означає, що областю значень функції у = хⁿ, де n — непарне натуральне число, є множина ℝ.

Якщо х < 0, то х^{2k + 1} < 0; якщо х > 0, то х^{2k + 1} > 0.

Отже, проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції у = хⁿ, де n — непарне натуральне число.

Функція у = хⁿ, де n — непарне натуральне число, є непарною. Справді, для будь-якого х із області визначення виконується рівність (-х)^{2k + 1} = -х^{2k + 1}.

Розглянемо довільні числа х₁ і х₂ такі, що х₁ < х₂. Скориставшись властивістю числових нерівностей, отримуємо:

Отже, функція у = хn, де n — непарне натуральне число, є зростаючою.

Отримані властивості дають змогу схематично зобразити графік функції у = хⁿ, де n — непарне натуральне число, n > 1 (рис. 8.3). Зокрема, графік функції у = х⁵ зображено на рисунку 8.4.

Рис. 8.3

Рис. 8.4

У таблиці наведено властивості функції у = х^п, n ∈ ℕ, установлені в цьому пункті.

?

1. Яку функцію називають степеневою функцією з натуральним показником?

2. Сформулюйте властивості функції у = хⁿ, де n — парне натуральне число.

3. Сформулюйте властивості функції у = хⁿ, де n — непарне натуральне число.

ВПРАВИ

8.1. Функцію задано формулою f (х) = х¹⁹. Порівняйте:

1) f(-7,6) і f(-8,5); 2) f(-6,9) і f(6,9); 3) f (0,2) і f (-12).

8.2. Функцію задано формулою f (х) = х⁵⁰. Порівняйте:

1) f (-1,1) і f(-1,2); 2) f(19) і f(-19); 3) f (-7) і f(9).

8.3. Чи випливає з нерівності хⁿ₁ > хⁿ₂, що х₁ > х₂, якщо: 1) n — парне; 2) n — непарне?

8.4. Чи випливає з нерівності х₁ > х₂, що хⁿ₁ > хⁿ₂, якщо: 1) n — парне; 2) n — непарне?

8.5. Побудуйте графік функції:

1) у = | х | х⁴; 2) у = | х | х⁴ + х⁵.

8.6. Побудуйте графік функції:

1) у = | х | х³; 2) y = | х | х⁴ - х⁵.

8.7. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = х⁸ на проміжку:

1) [0; 2]; 2) [-2; -1]; 3) [-1; 1]; 4) (-∞; -2]; 5) (-2; 1).

8.8. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = х⁶ на проміжку:

1) [-13; -1]; 2) [-2; 1]; 3) [1; +∞); 4) (1; +∞).

8.9. Парним чи непарним натуральним числом є показник степеня п функції f (х) = хⁿ, якщо:

1) f (-4) < f (2); 2) f (-4) > f (2); 3) f (4) > f (-2)?

8.10. Розв’яжіть рівняння:

1) х¹¹ + х³ = 2; 2) 2х⁴ + х¹⁰ = 3.

8.11. Розв’яжіть рівняння:

1)4х³ + х⁷ = -5; 2)х⁶ + 3х⁸ = 4.

8.12. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = х⁸ на проміжку [-1; а], де а > -1.

8.13. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = х⁶ на проміжку [а; 2], де а < 2.

8.14. Розв’яжіть рівняння 5х¹⁷ - Зх⁸ = 2.

8.15. Розв’яжіть рівняння 11х¹⁵ + 2х⁴ = -9.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

8.16. Подайте степінь у вигляді дробу:

1) 3^-8; 3)a^-9; 5) 12^-1; 7) (а - b)^-2;

2) 5^-6; 4) d^-3; 6) m-1; 8) (2х - 3у)^-4.

8.17. Обчисліть значення виразу:

8.18. Подайте у вигляді дробу вираз:

1) а^-2 + а^-3;   3) (с^-1 — d^-1) (с - d)^-2;

2) mn^-4 + m^-4n;  4) (х^-2 + у^-2) (х² + y²)^-1.