Геометрія 10 клас профільний рівень : збірник задач і контрольних робіт до підручника А.Γ. Мерзляк - 2018

ВПРАВИ

Варіант 3

Паралельність прямої та площини

28. Пряма а паралельна площині α. Чи існують у площині α прямі, не паралельні прямій а?

29. Точка М не належить площині трапеції ABCD (ВС || AD). Точки E і F — середини відрізків AB і CD відповідно. Доведіть, що пряма ВС паралельна площині MEF.

30. Точка О не належить площині паралелограма ABCD, точки Μ, N, Р і К — середини відрізків ВС, ОМ, AD і ОР відповідно. Доведіть, що KN || АВ.

31. Через середину М бічної сторони АВ трапеції ABCD проведено площину, яка паралельна основам ВС і AD та перетинає бічну сторону CD у точці N. Доведіть, що відрізок ΜN— середня лінія трапеції.

Рис. 88

32. Площина, паралельна стороні ВС трикутника ABC, перетинає сторони АВ і АС у точках Β₁ і C₁ відповідно, причому ΑΒ₁ : ΒΒ₁ = 5 : 3. Знайдіть відрізок Β₁C₁, якщо ВС = 6 см.

33. Відрізок ΜΝ — середня лінія трикутника ABC (рис. 87). Поза площиною трикутника вибрали точку D. На відрізку MD позначили точку Е так, що ME: ED = 5 : 2. Побудуйте точку F перетину площини ВЕС і прямої DN та знайдіть відрізок EF, якщо ВС = 30 см.

Рис. 87

34. На ребрі SA тетраедра SABC позначили точку D. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через точки В і D та паралельна прямій АС.

35. Побудуйте переріз призми ABCDA₁B1C₁D₁ площиною, яка проходить через точки E і F, що належать відповідно ребрам А₁D₁ і паралельна прямій AA_1.

36. Побудуйте переріз піраміди SABC (рис. 88) площиною, яка проходить через точку D на ребрі ВС та паралельна прямим АС і SB.

37. Побудуйте переріз піраміди SABC площиною, яка проходить через точки D і Е, що належать відповідно ребрам ВС і BS, та паралельна прямій АС.

38. Побудуйте точку перетину з площиною нижньої основи трикутної призми прямої, що проходить через дві точки, одна з яких належить бічній грані призми, а друга — ребру верхньої основи, яке не належить цій грані.

39. Побудуйте точку перетину з площиною нижньої основи чотирикутної призми прямої, яка проходить через дві точки, що належать двом протилежним бічним граням призми.

40. На ребрі ΒΒγ призми АВСА₁В₁С₁ позначили точку Р так, що ВР : РВ₁ =2:1. Побудуйте переріз призми площиною, яка паралельна медіані АK трикутника ABC і проходить через точки С і Р. У якому відношенні ця площина ділить ребро АА₁ ?