Геометрія 10 клас профільний рівень : збірник задач і контрольних робіт до підручника А.Γ. Мерзляк - 2018

ВПРАВИ

Варіант 2

Перпендикуляр і похила

84. На рисунку 64 зображено куб ABCDA₁B1C₁D₁ Укажіть проекцію відрізка ВD₁ на площину:

1) ABC;

2) CDD₁;

3) ADD₁

Рис. 64

85. Із точки М до площини а проведено похилі MN і МK, MN = 20 см. Проекція похилої MN на площину а дорівнює 16 см, a проекція похилої МK — 5 см. Знайдіть похилу МK.

86. Із точки М до площини а проведено похилі МK і МС та перпендикуляр MD. Знайдіть похилі МK і МС, якщо KD = 6 см, MCD = 30°, MKD = 60°.

87. Із точки М до площини а проведено похилі MN і МK, довжини яких відносяться як 25 : 26. Знайдіть відстань від точки М до площини α, якщо проекції похилих MN і МK на цю площину дорівнюють відповідно 14 см і 20 см.

88. Із точки, яка лежить поза площиною, проведено до неї дві похилі, проекції яких дорівнюють 9 см і 5 см. Знайдіть довжини похилих, якщо їх різниця становить 2 см.

89. У чотирикутнику ABCD відомо, що AB=AD (рис. 65). Пряма SA перпендикулярна до площини чотирикутника, DSC = BSC . Доведіть, що ВС = CD.

Рис. 65

90. Із точки М до площини а проведено похилі МА і MB та перпендикуляр МС, МА = 10 см, МС = 8 см, ACB = 120°. Знайдіть похилу MB.

91. Точка D знаходиться на відстанісм від кожної вершини правильного трикутника і віддалена від його площини насм. Знайдіть сторону трикутника.

92. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см ісм. Точка М знаходиться на відстані 15 см від кожної з його вершин. Знайдіть відстань від точки М до площини трикутника.

93. Через вершину С трикутника ABC проведено площину а, паралельну стороні АВ. Відстань від прямої АВ до площини а дорівнює 6 см, a проекції сторін СА і СВ на цю площину дорівнюють 4 см і 8 см відповідно. Знайдіть медіану СМ трикутника ABC, якщо АВ = 10 см.

94. Площини α і β паралельні. Точки М і N належать площині а, точки K і Р — площині β, МК = 10 см, ΝΡ = 17 см. Знайдіть відстань між площинами α і β, якщо сума проекцій відрізків МК і ΝΡ на площину а дорівнює 21 см.

95. На рисунку 66 зображено куб з ребром а. Знайдіть відстань між прямими АВ і CD.

Рис. 66

96. Через вершину гострого кута А прямокутного трикутника ABC (B = 90°) проведено пряму а, перпендикулярну до площини трикутника. Знайдіть відстань між прямими ВС і а, якщо ВС = 7 см, АС = 25 см.

97. Через вершину А трикутника ABC проведено пряму m, перпендикулярну до площини трикутника. Знайдіть відстань між прямими m і ВС, якщо АВ = 13 см, ВС — 14 см, АС =15 см.

98. Через середину хорди АВ кола радіуса 5 см проведена пряма n, перпендикулярна до площини кола. Знайдіть відстань між прямою п і діаметром ВС, якщо АС = 8 см.

99. Через гіпотенузу АВ рівнобедреного прямокутного трикутника ABC проведено площину α. Відстань від точки С до площини α дорівнює 3 см. Знайдіть відстань між прямою АВ та прямою, яка проходить через точку С і перпендикулярна до площини а, якщо АС = 6 см.

100. Ребро куба ABCDA₁B1C₁D₁ дорівнює 10 см, точка М — середина ребра CD. Знайдіть відстань між прямими AM і СD.