Геометрія 10 клас профільний рівень : збірник задач і контрольних робіт до підручника А.Γ. Мерзляк - 2018

ВПРАВИ

Варіант 1

Перпендикулярність прямої та площини

72. У трикутнику ABC (рис. 22) відомо, що C = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см, точка М — середина відрізка АВ. Пряма DC перпендикулярна до площини ABC, DC = 12 см. Знайдіть відрізок DM.

Рис. 22

73. Пряма АО перпендикулярна до площини кола із центром О. Точка В лежить на колі. Знайдіть відрізок АВ, якщо радіус кола дорівнює 8 см і ΑΒΟ = 60°.

74. Через точку М перетину діагоналей прямокутника ABCD проведено пряму SM, перпендикулярну до його площини, і точку S сполучено зі серединою F сторони CD (рис. 23). Знайдіть відрізок SD, якщо АВ = 10 см, ВС = 24 см, MSF = 60°.

Рис. 23

75. Сторона правильного трикутника ABC дорівнює 18 см. Через центр О трикутника проведено пряму SO, перпендикулярну до його площини. Знайдіть відрізок SO, якщо SAO= 30°.

76. Через точку Е, яка лежить поза площиною трикутника ABC, провели пряму ЕА, перпендикулярну до прямих АВ і АС. На відрізку ВС позначили довільну точку D. Доведіть, що EA ┴ AD.

77. Точка D лежить поза площиною трикутника ABC (рис. 24), DAC = BAC = 90°. Укажіть пряму і площину, які є перпендикулярними.

Рис. 24

78. На рисунку 25 зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Доведіть, що чотирикутник A₁BCD₁ —прямокутник.

Рис. 25

79. Точка М лежить поза площиною паралелограма ABCD, МА = МС і MB = MD, О — точка перетину діагоналей паралелограма. Доведіть, що пряма МО перпендикулярна до площини паралелограма.

80. Пряма MB перпендикулярна до площини прямокутника ABCD. Відомо, що AD = 6 см, AMB = 45°. Знайдіть відрізок MD.

81. Через точки А і В, що не належать площині α, проведено прямі, які перпендикулярні до цієї площини та перетинають її в точках Αγ і Βγ відповідно. Доведіть, що коли прямі AB і А₁В₁ паралельні, то чотирикутник AA₁B₁B — прямокутник.

82. Через вершину А рівностороннього трикутника ABC проведено пряму AD, перпендикулярну до площини ABC. Через центр О трикутника проведено пряму FO, паралельну AD. Знайдіть відстань від точки F до вершин трикутника, якщо OF = 6 см.

83. Через центр О квадрата ABCD проведено пряму ОМ, перпендикулярну до його площини. Відстань від точки М до точки А дорівнює стороні квадрата. Знайдіть кут між прямими ME і АС, де точка Е — середина сторони АВ.