Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
ГЕОМЕТРІЯ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ
Тема 32. ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ
Координати вектора в просторі
Якщо початком вектора є точка А(хA; уА; zA), а кінцем — точка В(хB; уB; zB), то (xB - xA; yB - yA; zB - zA)(рис. 1).
Рис. 1
Довжина вектора в просторі
Якщо є вектор (а1; а2; а3), то |
| =
+
, де |
| — модуль вектора, a1, а2, а3 — його координати.
Одиничним називається вектор , у якого |
| = 1.
Нульовим називається вектор (або 0), у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а його модуль дорівнює нулю.
Задача 1. Знайдіть координати і довжини векторів i
, якщо А(2; -3; -1), В(-4; -8; 5), С (3; 1; -2).
Розв’язання
(- 4 - 2; -8 - (- 3); 5 - (- 1)) =
(-6; -5; 6);
(3-2; 1- (- 3); - 2 - (- 1)) =
(1; 4; - 1).
||=
=
;
=
=
= 3
.
Відповідь: = (-6;-5;6),
= (1;4;-1),
=
;
= 3
.
Рівність векторів у просторі
Якщо (а1;а2;а3) =
(b1;b2;b3), то
Якщo то
(a1; а2; а3) =
(b1;b2;b3).
Протилежні вектори в просторі
Якщо маємо (a1; a2; а3),
(b1;b2;b3) i
= -
, то
Якщо маємо (а1;а2;а3),
(b1;b2;b3) і
то
= -
Сума векторів
У просторі для трьох векторів (ОА, ОС і OO1), які не лежать в одній площині й мають спільний початок (О), їхня сума зображається діагоналлю паралелепіпеда (ОB1), побудованого на цих векторах, причому початок вектора-суми збігається з початком цих векторів (рис. 2).
Координат вектора-суми векторів дорівнюють сумі відповідних координат даних векторів.
Рис. 2
Сума векторів у просторі
(а1; а2;a3) +
(b1; b2; b3) =
(а1 + b1; а2 + b2; a3 + b3).
Різниця векторів у просторі (а1; а2; а3) -
(b1; b2; b3) =
(а1 - b1; а2- b2; a3 - b3).
Множення вектори чи число в просторі
∙
(а1; а2; а3) =
(
а1;
а2;
а3).
Задача 2. Задано вектори (3; -2; -1);
(1; 1; 2);
(-3; 2; 4). Знайдіть координати векторів
=
+
,
=
-
,
= 2
+ 3
-
.
Розв’язання
=
+
=
=
;
=
=
=
=
;
= 2
+ 3
-
= 2 ∙
+ 3
-
=
=
.
Відповідь: =
;
=
;
=
Колінеарність векторів у просторі
Якщо є вектори (а1; a2; а3),
(b1, b2; b3) і вони колінеарні, то
=
=
Якщо є вектори (а1; а2; а3),
(b1; b2; b3) і
=
=
, то
і
— колінеарні вектори.
Задача 3. Знайдіть значення m і n, при яких вектори (3; m; 5) і
(- 6; - 2; n) колінеарні.
Розв’язання
У колінеарних векторів координати пропорційні, звідси =
=
.
Маємо два рівняння:
1) =
, тоді m =
= 1;
2) =
, тоді n =
= -10.
Відповідь: m = 1, n = -10.
Скалярний добуток двох векторів у просторі
Якщо є вектори (a1; а2; a3),
(b1; b2; b3), то
∙
= a1b1+ a2b2 + a3b3.
Теорема
Скалярний добуток двох векторів і
дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (рис. 3).
Отже, ∙
= |
| ∙ |
| ∙ cos
.
Задача 4. Знайдіть кут між векторами (1; 2; - 3) і
(2; -1; - 4).
Розв'язання
Скористаємося формулою cos =
=
∙
= 1 ∙ 2 + 2 ∙ (-1) + (-3) ∙ (-4) = 2 - 2 + 12 = 12.
||=
, |
|=
=
,
тоді cos =
=
=
=
.
Звідси = arcos
.
Відповідь: arcos .
Рис. 3
Ознака перпендикулярності векторів
Якщо вектори перпендикуляри і (рис. 4), то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.
Задача 5. При якому значенні р вектори (3; р: -1) і
(р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?
Розв’язання
Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
∙
= 3 ∙ p + p ∙ (-2) + (-1) ∙ 5 = 3р - 2р - 5 = р - 5,
∙
= 0, тоді р - 5 = 0. Звідси р = 5.
Відповідь: р = 5.
Рис. 4
Розглянемо розв’язання деяких задач.
Задача 6. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; -6; 0), В (-4; 8; 2), D(0; -12; 0).
Розв’язання
Оскільки (- 6; 14; 2),
(- 2; - 6; 0), то
=
+
,
(- 8; 8; 2) (див. рисунок).
Рис. 5
Тоді || =
=
= 2
.
Відповідь: 2.
Задача 7. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною BМ трикутника ABC, якщо А (- 3; - 5; 1), В (- 4; - 1; - 2) і С (3; 3; 1).
Розв’язання
Кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює куту між векторами
та
(див. рисунок) або, якщо кут між цими векторами тупий, куту 180° -
. Знайдемо координати точки М:
M (;
;
) = M(0; -1; 1).
Тоді (-4; 0; -3),
(-3; -4; 0);
cos =
=
==
.
= arcos
- гострий кут. Отже, кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює arcos
Відповідь: arcos .
Рис. 6
Задача 8. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах (3; 0; -4) і
(0; 5; 0).
Розв’язання
Нехай паралелограм ABCD побудований на векторах і
(див. рисунок).
Площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними: 5 = || ∙ |
| sin
(див. рисунок).
|| =
= 5; |
| =
= 5; cos
=
=
= 0.
Оскільки cos = 0, то
= 90°. Тоді sin
= 1 і S = 5 ∙ 5 ∙ 1 = 25.
Відповідь: 25.
Рис. 7
Виконайте тест
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку A.
1. Дано вектори (3;-2;-1),
(1;1;2),
(-3;2;4). Знайдіть координати вектора
= 2
+ 3
-
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
інша відповідь |
2. Знайдіть ||, якщо А (2; - 3; - 1), С(3; 1; - 2).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
3 |
2 |
3 |
10 |
3. Дано вектори (4;-3;0),
(-6; 0; 8). Знайдіть |
+
|.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
13 |
15 |
4. Дано вектори (4;-3;0),
(-6;0;8). Знайдіть |
| + |
|.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
13 |
15 |
50 |
інша відповідь |
5. Точки А (1; 3; -1), В (2; 1; 2), С (1; -2; 1) є вершинами паралелограма ABCD. Знайдіть координати вершини О.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
D (0; 0; -2) |
D (-2; 0; 0) |
D (0; -2; 0) |
D(1; 1; —2) |
інша відповідь |
6. При якому значенні n вектори (3; 1;5) і
(-6; - 2; n) колінеарні?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
n = 10 |
n = 5 |
n = 0 |
n = - 5 |
n = -10 |
7. При якому значенні р вектори (3; р; -1) і
(р; -2; 5) взаємно перпендикулярні?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
р = -5 |
p = 10 |
p = 5 |
p = -10 |
інша відповідь |
8. Одиничні вектори і
утворюють кут 120°, а одиничний вектор
перпендикулярний до них. Знайдіть довжину вектора
+
+
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
2 |
3 |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Нехай ABCDA1B1C1D1 — паралелепіпед. Установіть відповідність між різницями векторів (1—4) так значеннями(А-Д).
1 |
|
А |
|
2 |
|
Б |
|
3 |
AD1 - |
В |
|
4 |
|
Г |
2 |
Д |
2 |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Визначте величину кута(у градусах) між векторами -
і
, якщо відомо, що
(3; 5;-4),
(-2; 5; - 4) і
(0;0;2).
11. Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний добуток ∙
.
12. Паралелограм ABCD побудовано на векторах а і b як на сторонах. Відомо, що | | = 3, |
| = 5, |
+
| = 7. Знайдіть величину кута (у градусах) між векторами
і
.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.