Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 28. КОНУСИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Конусам називається тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного із його катетів.

Якщо прямокутний трикутник (рис. 1) SAO обертається навколо катета SO, то його гіпотенуза SA описує бічну поверхню, а катет ОА — круг — основу конуса. Радіус цього крута називається радіусом конуса; точка S. відрізок SA, відрізок SO, пряма SO називаються відповідно вершиною, твірною, висотою і віссю конуса.

Осьовий переріз конуса — переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса є рівнобедреними трикутниками, рівними між собою. На рис. 2 ∆SAВ — осьовий переріз (SA = SB). Переріз конуса площиною, яка паралельна площині основи конуса, є круг.

Зрізаним конусом називається частина конуса, обмежена його основою і перерізом, паралельним площині основи (рис. 3). Зрізаний конус можна одержати в результаті обертання рівнобедреної трапеції навколо її осі симетрії або обертаючи прямокутну трапецію навколо осі, що збігається з бічною стороною трапеції, перпендикулярною до основ.

Осьовий переріз зрізаного конуса — рівнобічна трапеція. На рис. 3 ABCD — осьовий переріз.

Зрізаний конус обмежений двома кругами — його основами — і бічною поверхнею.

Відстань між основами — висота зрізаного конуса

На рис. 3 ОО₁ — висота, АВ — твірна.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Примітки. Якщо точніше, то тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного із його катетів, називається прямим круговим конусом. Саме такі конуси розглядають у шкільному курсі стереометрії і називають їх просто конусами. У широкому розумінні слова конус — це тіло, утворене всіма відрізками, які з’єднують дану точку (вершину конуса) з точками деякої обмеженої плоскої фігури (основою конуса).

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Радіус основи конуса дорівнює б см, висота — 8 см. Знайдіть твірну конуса.

2. Твірна конуса дорівнює l і утворює з площиною основи кут а. Знайдіть радіус кону са.

3. Знайдіть площу осьового перерізу зрізаного конуса, якщо висота зрізаного конуса дорівнює 10 см, а радіуси основ дорівнюють 5 см і 7 см.

4. Твірна конуса дорівнює l і нахилена до площини основи під кутом а. Знайдіть площу осьового перерізу.

5. Твірна конуса дорівнює l. Знайдіть площу перерізу, що проходить через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює а.

6. У зрізаному конусі задано: висоту H, твірну L і бічну поверхню S. Знайдіть площу осьового перерізу.

7. Відношення площі основи конуса до площі його осьового перерізу дорівнює п. Знайдіть кут нахилу твірної конуса до основи.

8. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 3 см і 6 см, а твірна — 5 см. Знайдіть кут нахилу твірної до площини основи.

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. На рисунку зображено конус, твірна якого дорівнює l і утворює з площиною основи кут а. Установіть відповідність між геометричними величинами (1—4) та їх буквеними виразами (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Перпендикуляр, проведений із центра основи конуса на твірну, ділить її на відрізки 36 см і 64 см (рахуючи від вершини конуса). Знайдіть висоту (у см) конуса.

11. Відстань від центра основи конуса до твірної дорівнює 12 см. Знайдіть висоту (у см) конуса якщо його радіус дорівнює 20 см.

12. У зрізаному конусі радіуси основ дорівнюють 5 см і 3 см. Через дві його твірні проведено переріз площиною, що відтинає від кіл основ дуги по 120°. Знайдіть площу (у см2) перерізу, якщо висота зрізаного конуса дорівнює см.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.