Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 27. ЦИЛІНДРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони.

На рис. 1 зображено циліндр, утворений обертанням прямокутника ОАBO₁ навколо OO₁, OO₁ — вісь циліндра. Сторони ОА і О₁В описують рівні круги, які лежать у паралельних площинах і називаються основами циліндра. Радіуси кругів називаються радіусами циліндра. Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверхнею циліндра. Вирізки бічної поверхні, які паралельні і дорівнюють АВ, називаються твірними циліндра.

Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ, кінці якого належать основам. Висота циліндра дорівнює його твірній.

Переріз циліндра площиною, перпендикулярною до його осі,— круг, що дорівнює основі (рис. 2), а переріз площиною, паралельною осі, — прямокутник (рис. 3) або відрізок.

Осьовий переріз — прямокутник зі сторонами, що дорівнює висоті циліндра і діаметру його основи (рис. 4).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Примітка. Якщо точніше, то тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони, називається прямим круговим циліндрам. Саме такі циліндри розглядають у шкільному курсі стереометрії і називають їх просто циліндрами. У широкому розумінні слова циліндр — це тіло, яке складається з двох обмежених плоских областей, які можна сумістити паралельним перенесенням, і всіх відрізків, які з’єднують їх відповідні точки.

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п'ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Осьовим перерізом циліндра є квадрат, площа якого дорівнює 16 см². Знайдіть висоту циліндра.

2. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 13 см. Знайдіть радіус циліндра, якщо його висота дорівнює 5 см.

3. Знайдіть площу (у см²) осьового перерізу циліндра, якщо радіус циліндра і його висота відповідно дорівнюють 3 см і 8 см.

4. Діагональ осьового перерізу циліндра нахилена до площини основи під кутом 45°. Знайдіть радіус циліндра, якщо висота циліндра дорівнює 8 см.

5. Сторони прямокутника дорівнюють 3 см і 5 см. Знайдіть бічну поверхню (у см²) циліндра, отриманого від обертання цього прямокутника навколо більшої сторони.

6. Висота циліндра дорівнює Я, радіус основи — R. Кінці даного відрізка лежать на колах обох основ, довжина відрізка дорівнює l. Знайдіть відстань від цього відрізка до осі циліндра.

7. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює d і утворює з основою кут а. Знайдіть площу осьового перерізу.

8. Кінці відрізка лежать на колах основ рівностороннього циліндра (осьовий переріз — квадрат), кут між радіусами, проведеними в кінці відрізка, дорівнює а. Знайдіть кут між цим відрізком і віссю циліндра

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. На рисунку зображено циліндр, твірна і діаметр якого дорівнюють 8 і 6. Установіть відповідність між геометричними величинами (1—4) та їх числовими значеннями (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. У циліндрі на відстані 3 см від осі й паралельно до неї проведено переріз, діагональ якого дорівнює 17 см. Знайдіть радіус (у см) циліндра, якщо його висота дорівнює 15 см.

11. У циліндрі, радіус основи якого 10 см, паралельно осі проведено переріз, діагональ якого дорівнює 13 см. Знайдіть на якій відстані (у см) від осі проведено цей переріз, якщо висота циліндра дорівнює 5 см.

12. Знайдіть площу (у см³) перерізу циліндра площиною, яку проведено паралельно осі циліндра на відстані 8 см від неї, якщо висота циліндра дорівнює 5 см, а радіус основи — 10 см.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.