Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
ГЕОМЕТРІЯ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ
Тема 25. ПЛОЩІ ПОВЕРХНІ ТА ОБ’ЄМ МНОГОГРАННИКІВ
Формули площі поверхонь і об’ємів призми, піраміди
Площею бічної поверхні притч є сума площ її бічних граней.
Площею повної поверхні прими є сума площ усіх її граней.
Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми, тобто на довжину бічного ребра.
На рис. 1 Sбіч =Р∆АВС ∙ АА1.
Площу бічної поверхні призми можна обчислити за формулою: Sбіч = Р ∙ АА1 (рис. 2), де Р— периметр перпендикулярного перерізу (перерізу призми площиною, яка перпендикулярна до бічних ребер і перетинає всі її бічні ребра), AA1 — довжина бічного ребра.
Площа повної поверхні призми (Sпр)) дорівнює сумі площі бічної поверхні (Sбіч) і площ двох основ (2Sосн.):
Sпр = Sбіч +2Sосн.
Об’єм V призми дорівнює добутку площі основи на висоту: V = SоснH (рис. 1).
Об’єм V призми можна обчислити за формулою V = Sпер ∙ АА1, де Sпер — площа перпендикулярного перерізу, АА1 — довжина бічного ребра.
Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його вимірів: V = abc (рис. 3).
Об’єм V куба дорівнює кубу його ребра: V = а3.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Площею повної поверхні піраміди є сума площ усіх її граней (тобто основи і бічних граней), а площею бічної поверхні піраміди — сума площ її бічних граней:
Sпір = Sбіч + Sосн; Sбіч = S∆АSB + S∆BSC + S∆CSD + S∆ASD (рис. 4).
Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему:
Sбіч = Pосн ∙ SK =
Pосн ∙ 1 (рис. 5).
Рис. 4
де l — апофема, l = SK.
Якщо бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом , а площа основи дорівнює Sосн, то площа бічної поверхні піраміди
Sбіч = .
Рис. 5
Об’єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту:
Vпір = Sосн ∙ Н (рис. 6).
Рис. 6
Площа повної поверхні зрізаної піраміди дорівнює сумі площ усіх її граней (тобто основ і бічних граней), а площа бічної поверхні зрізаної піраміди — сумі площі!' бічних граней (див. рис. 7).
Sзрпір. = S1 + Sбіч + S2
де Sбіч = SАBB1А1 + SAСС1A1 + SBСС1B1
Рис. 7
Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на апофему (див. рис. 8).
Sбіч = ∙ l.
де P1 і Р2 — периметри основ, l — апофема (рис. 8).
Об’єм V зрізаної піраміди, висота якої H, а площі основ дорівнюють S1 і S2, обчислюється за формулою:
Vзрпір = Н(S1 +
+ S2).
Рис. 8
Виконайте тест
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильнy, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Знайдіть площу поверхні куба, якщо площа його діагонального перерізу дорівнює Q.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Q |
|
2 |
2Q |
3 |
2. Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює а, а бічна поверхня вдвічі більша за площу основи.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
2а |
а |
3. Сторона основи правильної шестикутної призми дорівнює а, а бічне ребро — b. Знайдіть об’єм призми.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
4. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної зрізаної піраміди, якщо бічне ребро дорівнює 3 см, а сторони основ — 5 см і 1 см.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
6 |
8 |
10 |
12 см3 |
|
5. Знайдіть об’єм куба, якщо площа його повної поверхні дорівнює S.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
( |
( |
( |
S3 |
( |
6. Знайдіть висоту правильної чотирикутної зрізаної піраміди, якщо сторони її основ дорівнюють а і b (а > b), а площа бічної поверхні дорівнює сумі площ основ.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
ab |
7. Бічні ребра трикутної піраміди дорівнюють а, b, с і взаємно перпендикулярні. Знайдіть об’єм піраміди.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
аbc |
|
|
|
2abc |
8. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди, якщо радіус кола, описаного навколо її бічної грані, дорівнює R.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
6R2 sin а |
6R2 cos2 |
6R2 sin a cos а |
6R2 sin2 |
6R2 cosa |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний. на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. На рисунку зображено правильну чотирикутнику піраміду, висота і бічне ребро якої дорівнюють З і 5. Установіть відповідність між геометричними величинами (1—4) та їх числовими значеннями (А—Д).
1 |
діагональ основи піраміди |
А |
4 |
2 |
площа діагонального перерізу |
В |
8 |
3 |
площа основи піраміди |
Б |
12 |
4 |
потроєний об’єм піраміди |
Г |
32 |
Д |
96 |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Знайдіть площу (у см2) повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, в якій висота дорівнює 12 см, а апофема — 13 см.
11. Знайдіть об’єм (у см3) правильною шестикутною піраміди, висота якої дорівнює см. а бічне ребро дорівнює 2 см.
12. Знайдіть об’єм (у см3) правильної трикутної піраміди, у якій сторона основи дорівнює 2 см, а бічне ребро —
см.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.