Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 24. ПІРАМІДИ, ЇХ ВИДИ ТА ВЛАСТИВОСТІ

Піраміда

Пірамідою (n-кутною) називаєтеся многогранник, у якого одна грань є довільним n-кутником, а інші n граней — трикутники, які мають спільну вершину. N-кутник називається основою, а трикутники — бічними гранями. Спільна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.

На рис. 1 зображено піраміду SABCD, ABCD — основа; ∆SAВ, ∆SBC, ∆SCD, ∆SDA — бічні грані піраміди; 5 — вершина піраміди; SA, SB, SC, SD — бічні ребра.

Висотою піраміди називаєтеся перпендикуляр, проведений із вершини піраміди на площину основи. На рис. 1 SO — висота піраміди.

Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а основа висоти піраміди співпадає з центром цього многокутника

Висота бічної грані правильної піраміди, проведеної із вершини піраміди, називається її апофемою.

На рис. 2 зображено правильну трикутну піраміду SABC, SK ⊥ СВ, SK — апофема

Рис. 1

Рис. 2

У правильній піраміді:

— бічні ребра рівні;

— бічні грані рівні;

— апофеми рівні;

— двогранні кути при основі рівні;

— двогранні кути при бічних ребрах рівні;

— кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх вершин основи;

— кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних граней;

— кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних ребер.

Діагональним перерізом піраміди називається переріз площиною, яка проходить через два бічних

ребра піраміди, що не належать одній грані.

Властивості паралельних перерізів піраміди Теорема. Якщо піраміда перерізаєтеся площиною, паралельною основі, то:

1) бічні ребра та висота піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини;

2) переріз — многокутник, подібний основі;

3) площі перерізу та основи відносяться як квадрати їх відстаней від вершини піраміди.

Якщо довільну n-кутну піраміду перерізати площиною, паралельною основі, то ця площина відітне від піраміди многогранник, дві грані якого подібні n-кутники, а інші я граней — трапеції. Цей многогранник називаєтеся зрізаною пірамідою (рис. 3).

Паралельні грані зрізаної піраміди називаються основами, а всі інші — бічними. Висотою зрізаної піраміди називаєтеся перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи на площину- іншої основи.

Рис. 3

Зрізана піраміда називається правильною, якщо вона складає частину правильної піраміди. Висота бічної грані правильної зрізаної піраміди, проведена до ребра основи, називається апофемою.

У правильній зрізаній піраміді:

— бічні ребра рівні;

— бічні грані рівні;

— апофеми рівні;

— двогранні кути при кожній основі рівні;

— двогранні кути при бічних ребрах рівні;

— кожна точка прямої, яка проходить через центри її основ, рівновіддалена від усіх вершин кожної основи, рівновіддалена від площин бічних граней, рівновіддалена від прямих, на яких лежать бічні ребра.

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. В основі піраміди лежить десятикутник. Скільки ця піраміда має граней?

2. Бічне ребро піраміди дорівнює 10 см і утворює з основою піраміди кут 60°. Знайдіть висоту піраміди.

3. Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює а і дорівнює половині сторони основи. Знайдіть площу перерізу, який проходить через дві апофеми.

4. Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює а, а бічне ребро — b.

5. У піраміді переріз, паралельний основі, ділить висоту у відношенні 2 : 3 (рахуючи від вершини). Знайдіть площу (у см²) перерізу, якщо відомо, що вона менша за площу основи на 84 см².

6. Знайдіть висоту правильної трикутної зрізаної піраміди, якщо сторони основ дорівнюють а та b(а > b) і кут нахилу бічного ребра до більшої основи дорівнює а.

7. Основа піраміди — рівнобедрений трикутник, у якого основа дорівнює 12 см, а бічна сторона — 10 см. Бічні грані утворюють з основою піраміди двогранні кути 45°. Знайдіть довжину висоти піраміди.

8. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник, основа якого 6 см, а висота, проведена до основи. — 9 см; кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13 см. Знайдіть довжину висоти піраміди.

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний. на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду, бічне ребро якої дорівнює l і утворює кут а з площиною основи. Установіть відповідність між геометричними величинами (І—4) та їх буквеними виразами (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10-—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 10 см. Знайдіть найбільшу сторону (у см) основи, якщо висота піраміди дорівнює 8 см.

11. Знайдіть апофему (у см) правильної трикутної зрізаної піраміди, якщо її бічне ребро дорівнює 5 см, а сторони основ дорівнюють 3 см та 11 см.

12. Знайдіть площу (у см²) діагонального перерізу правильної чотирикутної зрізаної піраміди, висота якої дорівнює см, сторони основ дорівнюють 2 см і 8 см.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.