Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 4. ТРИКУТНИКИ ТА ЇХ ВИДИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ. РІВНОБЕДРЕНИЙ ТРИКУТНИК ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Трикутник

Трикутник — це геометрична фігура, що складається із трьох точок, які не лежать на одній прямій, і відрізків, які з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки — його сторонами. На рис. 1 зображено трикутник із вершинами А, В, С і сторонами АВ, ВС, АС. Цей трикутник позначається так: ∆АВС.

Кути CAB, ABC, АСВ називаються кутами трикутника. Найчастіше їх позначають однією буквою: ∠A, ∠B, ∠C. Сторону ВС і кут А трикутника ABC називають протилежними. Протилежними є також cтopона АC і кут В, сторона АВ і кут С. Кути А і С, В і С, А і В називаються прилеглими до сторін АС, ВС, АВ.

Периметром трикутника називають суму довжин трьох сторін трикутника. Якщо периметр трикутника позначити буквою Р, а довжини сторін ВС, СА і АВ — відповідно, через а, b, с (рис. 2), то

Р = а + b + с.

Рис. 1

Рис. 2

Теорема. У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін (нерівність трикутника), тобто c < a + b, a < c + b, b < a + c (рис. 2).

Види трикутників

Залежно від довжин сторін розрізняють різносторонні, рівнобедрені і рівносторонні (або правильні) трикутники.

Трикутник, який має три різні за довжиною сторони, називають різностороннім (рис. 3).

Трикутник, який має дві рівні сторони, називають рівнобедреним (рис. 4). Рівні сторони називаються бічними, а третя сторона — основою трикутника. На рис. 4 ∆ABC — рівнобедрений, у нього АВ = ВС, тобто АВ, ВС— бічні сторони, АС — основа.

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називають рівностороннім, або правильніш (рис. 5). У рівностороннього трикутника всі кути рівні, величина кожного з них дорівнює 60°.

Залежно від величини кутів розрізняють гострокутні, прямокутні й тупокутні трикутники.

Гострокутним називається трикутник, у якого всі кути гострі (рис. 6).

Прямокутним називається трикутник, у якого є прямий кут (рис. 7). Сторону прямокутного трикутника, протилежну прямому куту, називають гіпотенузою, а дві інші сторони — катетами. На рис. 7 сторона АС — гіпотенуза, сторони АВ і ВС— катети.

Тупокутним називаєтеся трикутник, у якого є тупий кут (рис. 8).

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Висоти, бісектриси і медіани трикутника

Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений із його вершини до прямої, яка має протилежну сторону. На рис. 9 відрізок BD — висота відповідно гострокутного (рис. 9, а), тупокутного (рис. 9, б) і прямокутного (рис. 9, в) трикутників.

Рис. 9

Рис. 10

Висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці (рис. 10).

Медіаною трикутника називають відрізок, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Нарис. 11 ВМ—медіана трикутника АВС.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці (рис. 12), яка називаєтеся центрам мас трикутника.

Бісектрисою трикутника називають відрізок, який з’єднує вершину кута і точку протилежної сторони й ділите кут навпіл. На рис. 13 BL — бісектриса трикутника ABC.

Усі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці (рис. 14). яка є центром кола вписаного в трикутник.

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Середня лінія трикутника

Середньою лінією трикутника називають відрізок, який з’єднує середини двох його сторін. На рис. 15 MN— середня лінія.

Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

На рис. 15 MN ⊥ АС, MN = АС.

Рис. 15

Поняття про рівність фігур

Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстані між точками, тобто будь-які дві точки А і В однієї фігури F переводяться в точки А₁ і В₁ другої фігури F₁ так, що

AВ = A₁В₁ (рис. 16).

Дві фігури F₁ і F₂ називаються рівними, якщо вони рухом переводяться одна в одну.

Запис F = F₁ означає, що фігура F дорівнює фігурі F₁.

Перетворення симетрії відносно точки і відносно прямої та поворот площини навколо точки є рухами.

Рис. 16

На рис. 17 зображено рівні трикутники ABC і А₁B₁С₁. Рівність трикутників позначається так: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони, кути, медіани, бісектриси, висоти тощо) одного з них відповідно дорівнюють елементам другого. На рис. 24 ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁, AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁.

На рисунку рівні відрізки позначаються рівною кількістю рисок, а рівні кути — однаковою кількістю дужок. У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні куга, а проти рівних кутів — рівні сторони.

Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними)

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники є рівними (рис. 18).

Друга ознака рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами)

Якщо сторона і два прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники — рівні (рис. 19).

Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами)

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є рівними (рис. 20).

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Два прямокутні трикутники рівні, якщо виконується одна з умов:

1) два катети одного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника;

2) катет і гострий кут одного трикутника відповідно дорівнюють катету і гострому кугу друг ого трикутника;

3) гіпотенуза і гострий кут одного трикутника дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого трикутника;

4) гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету другого трикутника.

Властивості рівнобедреного трикутника

Рівнобедрений трикутник має такі властивості.

1. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні. На рис. 21 АВ = ВС, тобто ∆АВС — рівнобедрений, отже, ∠A = ∠C.

2. У рівнобедреного трикутника медіана, проведена до основи, є і бісектрисою, і висотою.

Рис. 21

3. У рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є і бісектрисою, і медіаною.

4. У рівнобедреного трикутника бісектриса, проведена до основи, є і висотою, і медіаною.

На рис. 22 у ∆ABC (АВ = ВС) відрізок BD є і медіаною (AD = DC), і висотою (BD ⊥ АС), і бісектрисою (∠ABD = ∠CBD).

Рис. 22

Ознаки рівнобедреного трикутника

Якщо в трикутнику:

1) два кути рівні,

2) медіана і висота збігаються,

3) медіана і бісектриса збігаються,

4) висота і бісектриса збігаються, то він є рівнобедреним.

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. На рисунку зображено трикутник ABC, периметр якого дорівнює 24 см, периметр трикутника ABD — 12 см, а периметр трикутника BCD — 20 см. Знайдіть BD.

2. На рисунку ВС = AD, ∠1 = ∠2. Яке твердження правильне?

3. На рисунку ОА = OD, ОВ = ОС. Яке з наведених тверджень правильне?

4. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою ВС проведено бісектриси BL₁ і CL₂ Яке з тверджень правильне?

5. На рисунку зображено відрізки АВ і CD, що перетинаються в точці F, яка є серединою кожного з них. Яке твердження правильне?

6. У трикутнику ABC ∠DAC = ∠DCA, АВ = 4 см, АС = 3 см. Периметр трикутника АВD дорівнює 9 см. Знайдіть периметр трикутника AВС.

7. На рисунку АВ = АС, ∠1 = ∠2. Яке з наведених тверджень правильне?

8. У рівнобедреному трикутнику АВС з основою ВС проведено висоти ВН₁, і СН₂. Яке з поданих тверджень правильне?

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Утворіть правильні твердження, об’єднавши їх початок (1—4) та кінець (А—Д).

Розв'яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть основу рівнобедреного трикутника (у см). якщо його периметр дорівнює 26 см, причому бічна сторона на 4 см більша за основу.

11. Знайдіть основу рівнобедреного трикутника (у см), периметр якого дорівнює 20 см, а бічна сторона вдвічі більша основи.

12. Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника (у см), периметр якого дорівнює 18 см, а бічна сторона на 6 см більша основи.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.