Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 2. КУТИ ТА ЇХ ВИДИ. ВЕЛИЧИНА КУТА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ. СУМІЖНІ І ВЕРТИКАЛЬНІ КУТИ

Кут

Кутом називається фігура, яка складається з точки, вершини кута, і двох променів, що виходять із цієї точки (промені називаються сторонами кута). Кут позначається знаком ∠. На рис. 1 зображено кут із вершиною О і сторонами ОА і О В. Цей кут позначається так: ∠AOB (літера, яка позначає вершину, завжди ставиться всередині) або ∠O. Нерідко кут позначається цифрою: ∠1. Кут називається розгорнутим, якщо кожна його сторона є продовженням іншої сторони (рис. 2). Два кути називаються рівними, якщо їх можна сумістити накладанням. Наприклад: на рис. 3 ∠1 = ∠2.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Величина кут а та її властивості

Основні властивості вимірювання кутів виражаються аксіомами.

Аксіома вимірювання кутів

Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами, тобто якщо промінь ОС проходить між сторонами кута АОВ то ∠AOB = ∠AOC + ∠COB (рис. 4).

За одиницю вимірювання кутів приймається градус (позначається — 1°) — кут, який дорівнює частині розгорнутого кута. Меншими одиницями вимірювання кутів є мінута (позначається знаком ') і секунда (позначається знаком "): 1° = 60', 1' = 60".

Додатне число, яке показує скільки разів градус і його частини вкладуються в даному куті, називається градусною мірою кута.

Рівні кути мають рівні градусні міри і навпаки: якщо кути мають рівні градусні міри, то кути рівні. Кут називається прямим, якщо він дорівнює 90° (рис. 5); гостріш, якщо він менше 90° (рис. 6); тупим, якщо він більше 90°, але менше 180° (рис. 7).

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Бісектрисою кута називається промінь, який виходиш із вершини кута і поділяє його на два рівних кути. На рис. 8 промінь ОС — бісектриса кута АОВ, оскільки ∠AOC = ∠СОВ (рівні кути на рисунках позначають однаковими дужками).

Основна властивість відкладання кутів виражається аксіомою.

Аксіома відкладання кутів

Від будь-якої півпрямої в задану півплощину можна відкласти кут із даною градусного мірою, меншою за 180°, причому тільки один.

Суміжні і вертикальні кути та їх властивості

Оточення. Суміжними називаються два кута, у яких одна сторона спільна, а дві інші є продовженням одна одної.

На рис. 9 кута АОВ і ВОС — суміжні.

Суміжні кута мають таку властивість.

Теореми. Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

∠AOB + ∠BOC = 180° (рис. 9), оскільки ∠AOB і ∠BОC — суміжні.

Оточення. Вертикальними називаються два кута, у яких сторони одного кута є продовженням сторін другого.

На рис. 10 вертикальними кутами будуть ∠AOB і ∠COD; ∠AOC і ∠BOD.

Вертикальні кути мають таку властивість.

Теореми. Вертикальні кута рівні.

∠AOB = ∠COD, ∠AOC = ∠BOD (рис. 10), оскільки ∠AOB і ∠COD; ∠AOC і ∠BOD— вертикальні.

Рис. 9

Рис. 10

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Визначте кількість гострих кутів, зображених на рисунку.

2. Який кут утворюють стрілки годинника, коли показують 3 год?

3. Визначте величину кута, утвореного бісектрисами двох суміжних кутів.

4. Який кут є суміжним із кутом COD?

5. Якщо один із суміжних кутів у 3 рази більше другого, то чому дорівнює більший кут?

6. Один із кутів, утворених при перетині двох прямих, удвічі менший суми трьох інших. Чому дорівнює найменший із цих кутів?

7. Бісектриса кута, величина якого 110°, з продовженням однієї з його сторін утворює кут. Визначте його градусну міру.

8. Різниця величин суміжних кутів дорівнює 20°. Визначте величину меншого кута.

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між указаними кутами (1—4) та їх величинами (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Кут між бісектрисою кута і продовженням однієї з його сторін дорівнює 135°. Знайдіть величину даного кута

11. Величина кута АВС дорівнює 140°. Промінь BD лежить між сторонами кута АВС. Знайдіть величину ∠ABD (у градусах), якщо ∠ABD: ∠DBC = 2 : 5.

12. Від прямої АВ в різних півплощинах відкладено ∠BAC = 30° і ∠BAD = 70°. Знайдіть ∠CAD.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.