Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 10 КЛАСУ
Тема 19. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ І ОБЕРНЕНО ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Означення та основні властивості тригонометричних функцій
Графіки функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x подані відповідно на рис. 1—4.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Властивості функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctgx подано в таблиці.
Таблиця
|
№ з/п |
Властивості |
Функції |
|||
y = sin x |
y = cos x |
y = tg x |
y = ctg x |
||
1 |
D (y) |
R |
R |
x ≠ |
x ≠ |
2 |
E (y) |
[-1;1] |
[-1;1] |
R |
R |
3 |
Парність |
непарна sin(-x) = -sinx |
парна cos (-x) = cosx |
непарна tg(-x) = -tgx |
непарна ctg(-x) = -ctgx |
4 |
Періодичність, період |
2 |
2 |
|
|
5 |
Нулі функції |
|
|
|
|
6 |
Якщо х = 0 |
sinx = 0 |
cosx = 1 |
tgx = 0 |
не визначено |
7 |
Проміжки, на яких у > 0 |
(2 |
(- |
( |
( |
8 |
Проміжки, на яких у < 0 |
(- |
( |
(- |
(- |
9 |
Проміжки зростання |
|
[- |
(- |
немає |
10 |
Проміжки спадання |
|
[2 |
немає |
( |
11 |
Найменші значення |
y = -1, якщо х = - |
y = -1, якщо х = |
немає |
немає |
12 |
Найбільші значення |
y = 1, якщо х = |
y = 1, якщо х = 2 |
немає |
немає |
n; 
2
n; 
2
n), n∈Z
2
n;
n; Означення та основні властивості обернених тригонометричних функцій
Функція у = arcsin x
Як відомо, функція у = sin х зростає на проміжку [-
;] і набуває всіх значень від -1 до 1, тобто кожного свого значення функція набуває в єдиній точці області визначення. Отже, рівняння sin х = а, |а| ≤ 1, на проміжку [-;] має єдиний корінь, який називають арксинусом числа а і позначають arcsin а.
Арксинусам числа а називають таке число з проміжку [-;],
синус якого дорівнює а.
Приклад 1. Знайдемо arcsin 
.
arcsin = 
, бо sin = i ∈ [-;].
Приклад 2. Знайдемо arcsin (-
).
arcsin (-) = 
, бо sin (-) = i ∈ [-;].
Графік функції у = arcsin х одержимо із графіка функції у = sin х, х ∈ [-;], перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 5).
Рис. 5
Основні властивості функції у = arcsin х:
1. D (у) = [-1;1].
2. Е(у) = [-;].
3. Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна): arcsin (-х) = -arcsin х.
4. Функція зростаюча. Якщо х1 > х2, то arcsin х1 > arcsin х2.
5. у = 0, якщо х = 0.
6. уmax = y(1) =, ymin = y(-1) = -.
Функція у = arccosx
Функція у = cos х спадає на відрізку [0; 
] і набуває всіх значень від-1 до 1, тому рівняння cos х = а, |а| ≤ 1, на проміжку [0; ] має єдиний корінь, який називають арккосинусом числа а і позначають arccos а.
Арккосинусам числа а називають таке число з проміжку (0; ], косинус якого дорівнює а.
Приклад 1. Знайдіть arccos .
arcсos = 
, бо cos = i ∈ [0;].
Приклад 2. Знайдіть arcos (-).
arcсos (-) = 
, бо cos = i ∈ [0;].
Графік функції у = arccos х одержимо із графіка функції у = cos х, х ∈ [0; ], перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 6). Основні властивості функції у = arccos х:
1. D (у) = [-1; 1].
2. Е (у) = [0; ].
3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі OY:
arccos (-х) = - arccos х.
4. Функція спадна. Якщо х1 > х2, то arccos х1, < arccos х2.
5. у = 0, якщо х = 1.
6. уmax = у(-1) = , уmin = у(1) = 0.
Рис. 6
Функція у = arctgх
Функція у = tg х на проміжку (-;) зростає і набуває всіх значень із R. тому для будь-якого а рівняння tgх = a має єдиний корінь із проміжку (-;), який називають арктангенсом числам і позначають arctg а.
Арктангенсом числа а називають таке число з проміжку (-;), тангенс якого дорівнює а.
Приклад 1. arctg
= , бо tg = i ∈ (-;).
Приклад 2. arctg(-1) = - , бо tg (-) = -1 i ∈ (-;).
Графік функції у = arctg х одержимо із графіка функції у = tg х, х ∈(-;), перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 7).
Рис. 7
Основні властивості функції у = arctg х:
1. D (y) = R.
2. Е (у) = (-;).
3. Графік симетричний відносно початку координат; функція непарна: arctg (-х) = -arctg х.
4. Функція зростаюча. Якщо х1 < х2, то arctg х1 < arctg х2.
5. у = 0, якщо х = 0.
6. у > 0,якщо х > 0; у < 0, якщо х < 0.
Функція у = arcctgх
Функція у = ctgх на інтервалі (0; ) спадає і набуває всіх значень із R. тому для будь-якого числа а в інтервалі (0; ) існує єдиний корінь рівняння ctg х = а. Це число називають арккотангенсом числа а і позначають arcctg а.
Арккотангенсам числа а називають таке число з інтервалу (0; ), котангенс якого дорівнює а.
Приклад 1. arcctg = , бо ctg = i ∈ [0;].
Приклад 2. arcctg(-) = 
, бо ctg = i ∈ [0;].
Графік функції у = arcctg х можна одержати із графіка функції у = ctg х у результаті перетворення симетрії відносно прямої у = х (рис. 8).
Основні властивості функції у = arcctgx:
1. D (y) = R.
2. Е(у) = (0; ).
Рис. 8
3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі ОУ:
arcctg (-х) = - arcctg x.
4. Функція спадна. Якщо х1 < х2, то arcctg х1 > arcctgx2.
5. х = 0, якщо у = .
6. у > 0 для всіх х ∈ R.
Зауваження
При знаходженні області визначення треба пам’ятати:
1. Якщо функція має вигляду = tg (f(x)), то слід вважати f(х) ≠ + n, n∈Z (тангенс чисел + от, n∈Z, не визначений).
Наприклад: якщо y = tg (x - ), то х - ≠ + n, n∈Z, тобто х ≠ 
+ 
, n∈Z.
2. Якщо функція має вигляд у = ctg (f (х)), то слід вважати f(х) ≠ n, n∈Z (котангенс чисел n, n∈Z, не визначений).
Наприклад: якщо у = ctg (2x - ), то 2х - ≠ + n, n∈Z, тобто х ≠ + , n∈Z.
3. Якщо функція має вигляд у = arcsin (f (х)), то слід вважати -1 ≤ f(х) ≤ 1 (арксинус визначений лише для чисел, модуль яких не перевищує 1).
Наприклад: якщо у = arcsin (3х- 1), то -1 ≤ 3х - 1 ≤ 1, тобто 0 ≤ x ≤ 
.
4. Якщо функція має вигляду = агссоs(f(x)), то слід вважати -1 < f(х) < 1 (арккосинус визначений лише для чисел, модуль яких не перевищує 1).
Наприклад: якщо у = arccos (2х + 1), то -1 ≤ 2х + 1 ≤ 1, тобто -1 ≤ х ≤ 0.
Виконайте тест 19
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку A.
1. Знайдіть область визначення функції у = sin 3x + tg2x.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
х ≠ |
х ≠ |
х ≠ |
х ≠ |
х ≠ |
2. Знайдіть нулі функції y = 5cos(-
).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
- |
- |
|
|
|
3. Знайдіть область значень функції у = 10 - 9sin2 3x.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
[1; 2] |
[1; 1] |
[1; 10] |
(1; 2) |
(1; 10) |
4. Знайдіть область визначення функції у = arccos(1 - х2).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(-∞;- |
[ |
(-∞;- |
(- |
[- |
]
)
5. Знайдіть найменший додатний період функції у = 2cos (2x - 
).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
4 |
6. Знайдіть найменший додатний період функції у = -3 tg 5х.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
7. Знайдіть найбільше значення функції y = sin2x - 2cos2x.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-1 |
-2 |
0 |
1 |
2 |
8. Оберіть найменше значення серед чисел: sin
; sin
; sin
; sin; sin
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
sin |
sin |
sin |
sin |
sin |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1—4), та їхніми властивостями (А—Д).
1 |
у = ctg х |
А |
Найменше значення функції дорівнює - 1 при х = - |
2 |
у = sin х |
Б |
Функція найменшого значення не має |
3 |
у = cos x |
В |
Функція є спадною на всій області визначення |
4 |
у = cos 3х |
Г |
Функція зростає на проміжках [- |
Д |
Найменший додатний період функції дорівнює |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Скільки цілих чисел входять в область визначення функції у = arccos(х - 1)?
11. Обчисліть cos(arcsin 
).
12. Знайдіть найбільше значення функції у = (1 + sinх)2.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.
