Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 15. РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Рівняння зі змінною в знаменнику

Рівняння = 0 є рівносильним системі рівнянь

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння = 0.

Розв’язання

= 0;

Отже, х = -3.

Відповідь: -3.

Раціональні рівняння

Рівняння f(х) = g (х) називається раціональний, якщо f(х) і g (х) — раціональні вирази.

Щоб розв’язати раціональне рівняння, потрібно:

1) знайти спільний знаменник усіх дробів, що входять до рівняння:

2) замінити дане рівняння цілим, помноживши обидві його частини на спільний знаменник:

3) розв'язати одержане ціле рівняння:

4) виключити з коренів цілого рівняння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 1 + - = .

Рoзв'язання

1 + - = ; 1 ∙ (x²-1) + ∙ - ∙ = ∙ ;

Отже, х = 2.

Відповідь: 2.

Дробові нерівності

Нерівність > 0 рівносильна двом системам або

Нерівність < 0 рівносильна двом системам або

Нерівність ≥ 0 рівносильна двом системам або

Нерівність ≤ 0 рівносильна двом системам або

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність < 0.

Розв'язання < 0; або тоді або

Звідси х∈(7; +∞) (рис. 1) або х∈(-∞; 2) (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Отже, x∈(-∞; 2)(7; +∞).

Відповідь: (-∞; 2 )( 7; =∞).

Розв'язування раціональних нерівностей методом інтервалів

Щоб розв’язати нерівність f(x) > 0 (f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0), де f(x) = треба:

1) зобразити числа а₁, а₂,..., а_n на числовій прямій (ці числа розташовані в порядку зростання і поділяють числову пряму на декілька проміжків, на яких функція f(х) зберігає свій знак, тобто якщо а_t і a_k — сусідні точки, то для х є (a_t : a_k функція зберігає знак);

2) визначити знаки функції f (х) на кожному з проміжків;

3) записати відповідь, ураховуючи знак нерівності, даної в умові.

Приклад 4. Розв’яжіть нерівність < 0.

Розв'язання

Позначимо на числовій прямій точки: х = - 4, х = - 2, х = 1, х = 3 та знайдемо знак функції f(x) = на кожному проміжку (рис. 3).

Рис. 3

Відповідь: (-4;-2)(1; 3).

Метод інтервалів (узагальнений)

Використовується для розв’язування нерівностей f(х) > 0 (f(х) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0). Метод грунтується на тому, що неперервна на проміжку функція може змінювати знак тільки в тих точках, де її значення дорівнює нулю (але може й не змінювати) (рис. 4).

Щоб розв’язати нерівність методом інтервалів, потрібно:

1) знайти область визначення функції у = f (х);

2) знайти значення х, при яких функція дорівнює нулю (знайти нулі функції): f(х) = 0;

3) розбити область визначення на проміжки, у яких кожний із кінців є коренем рівняння f(х) = 0 або кінцевою точкою проміжку визначення функції у = f(х);

4) визначити знак f(х) на кожному з утворених проміжків;

5) об'єднати проміжки, на яких функція f (х) задовольняє нерівність, у множину розв’язків.

Рис. 4

Приклад 5. Розв’яжіть нерівність ≥ 0.

Розв'язання

Розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники й одержимо ≥ 0.

Позначимо на числовій прямій точки 3; -1; 1; - 4, у яких чисельник або знаменник дробу перетворюється на нуль. Ці точки поділяють числову пряму на п’ять проміжків (рис. 5). При х > 3 усі множники чисельника і знаменника дробу додатні, тому дріб є додатним.

Рис. 5

При переході від одного проміжку до іншого дріб змінює знак, тому можна розставити знаки, як показано на рис. 5. Значення х = -1, х = 3 задовольняють дану нерівність, а прих = 1, х = -4 дріб не має змісту. Таким чином, дана нерівність має розв’язок (-∞; - 4)[-1; 1)[3; +∞).

Відповідь: (-∞; - 4)[-1; 1 )[3; +∞).

Виконайте тест 15

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Скільки коренів має рівняння = 0?

А	Б	В	Г	Д
жодного	один	два	три	безліч

2. Розв’яжіть нерівність х² < х.

А	Б	В	Г	Д
(-∞; 0)	(-∞; 1)	(-∞; 0)(1; +∞)	(0; 1)	(1; +∞)

3. Розв’яжіть нерівність > 0.

А	Б	В	Г	Д
(-∞; 1)(1; +∞)	(1; +∞)	(-∞;1)	(1; 6)	(-∞; 1 )(6; +∞)

4. Розв’яжіть нерівність ≥ 0.

А	Б	В	Г	Д
(-∞; 0)(0; +∞)	[-2; +∞)	(-∞;-2](0; +∞)	[-2; 0)(0; +∞)	(-∞; -2)(-2; +∞)

5. Розв’яжіть нерівність > 1.

А	Б	В	Г	Д
(-∞; 0)(0; 1)	(-∞; 1)	(-∞;-1)(0; 1)	(-1; 1)	(-1;0)(0; 1)

6. Розв’яжіть нерівність ≤ 0.

А	Б	В	Г	Д
(-∞; 1)(1; +∞)	(-∞;5]	(-∞; 1)(1; 5]	(1; 5]	(-∞; 1 )(5; +∞)

7. Розв’яжіть нерівність ≤ 1.

А	Б	В	Г	Д
(-∞; 0)	(∞; 5]	(-∞; 0)[5; +∞)	(0; 5]	[5; +∞)

8. Знайдіть область визначення функції у = .

А	Б	В	Г	Д
(1; 4)	(-∞; 1)(4; +∞)	(-∞; 1)[4; +∞)	[1; 4]	(1; 4]

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між раціональними рівняннями (1—4) та кількістю їхніх розв’язків (А—Д).