ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 30

Тема. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Мета уроку: формування знань учнів про властивості перпендикулярних прямих і площин.

Обладнання: стереометричний набір, схема «Властивості прямо і площини, перпендикулярних між собою» (с. 116).

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1.   Колективне обговорення розв'язування задачі № 10.

2.   Математичний диктант.

Дано зображення куба: варіант 1 — рис. 151, варіант 2 — рис. 152.

Користуючись зображенням, запишіть:

1)  площину, яка проходить через точку М прямої AM і перпендику­лярна до неї; (2 бали)

2)  пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку D; (2 бали)

3)  пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку N; (2 бали)

4)  площину, яка перпендикулярна до прямої BD; (2 бали)

5)  прямі, які перпендикулярні до площини АМС; (2 бали)

6)  площини, які перпендикулярні до прямої DC. (2 бали)

Відповідь.

Варіант 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (ACМ); 5) BD і KN; 6) (ADK) і (BCL).

Варіант 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (АСМ); 5) BD i KL; 6) (BCN) і (ADM).

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Теорема 1.

Якщо площина перпендикулярна до од­нієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.

Доведення

Нехай а1 || а2 і a1α. Доведемо, що αа2 (рис. 153). Точки А1 і А2 — точки перетину а1 і а2 з площиною α.

У площині α через точку А2 проведемо довільну пряму х2, а через точку А1 — пряму  х1 таку, що х1 || х2. Оскільки a1 || а2,  x1 || х2 і а1х1, то за теоремою 3.1 а2х2. Оскільки х2 вибрана довільно в площині α, то а2α.

Теорема 2.

Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої пло­щини, то дані прямі паралельні.

Доведення

Нехай aα, bα. Доведемо, що а || b (рис. 154). Припустимо, що аb. Тоді че­рез точку С прямої b проведемо b1 , паралель­ну а. Оскільки аα, то і b1α за доведе­ною теоремою, а за умовою bα. Якщо точки А і В — точки перетину прямих b1 і b з площиною α, то з припущення випливає, що в трикутнику A = В = 90°, що не може бути. Отже, а || b.

Розв'язування задач

1. Визначте вид чотирикутника AA1B1B якщо:

а) АА1α; АА1 || ВВ1; Аα, Вα; AA1 ≠ ВВ1 (рис. 155);

б) АА1α; ВВ1α; Аα, Вα (рис. 156);

в) Аα; Вα; АА1α; ВВ1α; АА1 = ВВ1 (рис. 156).

2. Задача № 12 із підручника (с. 35).

3. Задача № 13 із підручника (с. 35).

4. Задача № 16 із підручника (с. 35).

Теорема 3.

Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралель­них площин, то вона перпендикулярна і до другої.

Доведення

Нехай α || β, аα. Доведемо, що αβ. (рис. 157). Нехай точки А і В — точки перети­ну прямої а з площинами α і β. В площині β проведемо через точку В довільну пряму b. Через пряму b і точку А проведемо площину γ, яка перетинає α по прямій с, причому с || b. Оскільки аα , то ас (за означенням пря­мої, перпендикулярної до площини). Оскіль­ки ас, b || с і а, b, с лежать в γ, то аb. Враховуючи, що b — довільна пряма площи­ни β, маємо  аβ.

Теорема 4.

Якщо дві площини, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то вони па­ралельні.

Доведення

Нехай αа, βа, доведемо, що α || β (рис. 158). Нехай точки А і В — точки перети­ну прямої а з площинами α і β. Припустимо, що α  β. Візьмемо точку С на прямій перети­ну площин α і β. Са, бо в противному ви­падку через точку С проходили б дві різні пло­щини α і β, перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Проведемо площину γ через точ­ку С і пряму а, ця площина перетинає α і β по прямих АС і ВС відповідно. Оскільки аα, то аАС, аналогічно аВС. Отже, в пло­щині γ через точку С проходять дві різні пря­мі АС і ВС, які перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Отже, α || β.

Розв'язування задач

1.   Нехай ABCD – прямокутник, BSАВ, AMАВ (рис. 159). Як розташовані площини AMD і BSC?

2.   В1β; АА1α, АА1β; BВ1 || АА1; АА1 = 12 cm, A1B = 13 см (рис. 160). Знайти АВ.

3.    А1α; В1α, А2β, В2β, AA1α; α || β (рис. 161). Визначте вид трикутників AA1B1 і АА2В2

III. Домашнє завдання

§3, п. 17; контрольні запитання № 5, 6; задачі № 14, 15 (с. 35).

IV. Підведення підсумку уроку

При підведенні підсумку уроку можна скористатися даною схемою.

Запитання до класу

1)  Як розташовані прямі, які перпендикулярні до площини?

2)  Як розташовані в просторі площини, які перпендикулярні до прямої?

3)  Як розташовані пряма і площина, якщо паралельна пряма до даної прямої перпендикулярна до площини?

4)  Як розташовані пряма і площина, якщо площина, паралельна до даної площини, перпендикулярна до даної прямої?