ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 22

Тема. Розв'язування задач

Мета уроку: формування вмінь будувати зображення просторових фігур, використовуючи властивості паралельного проектування.

Обладнання: стереометричний набір.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Фронтальне опитування.

1)  Що можна сказати про паралельну проекцію прямої на площину?

2)  Що можна сказати про проекції паралельних прямих на площину?

3)  Точка С ділить відрізок АВ у відношенні АС : СВ = 2 : 3. Паралель­ними проекціями точок А, В, С на площину а будуть точки А1, B1, С1. У якому відношенні точка С1 ділить відрізок А1В1 ?

4)  Трикутник А1В1С1 — паралельна проекція трикутника АВС на пло­щину α (рис. 90). Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:

а) якщо трикутник АВС правильний, то трикутник А1В1С1 обов'яз­ково правильний;

б) трикутник АВС не може дорівнювати трикутнику А1В1С1;

в) якщо ВК — бісектриса трикутника АВС, то B1K1 обов'язко­во — бісектриса трикутника А1В1С1;

г) якщо ВК — медіана трикутника АВС, то В1К1 обов'язково — медіана трикутника A1B1C1.

5)  Поясніть розв'язання задачі № 38.

6)  Чотирикутник A1B1C1D1 є паралельною проекцією рівнобічної тра­пеції ABCD (АВ — основа трапеції) на площину α (рис. 91). Ука­жіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:

а) прямі A1D1 і В1С1 можуть бути паралельними;

б) прямі A1B1 і D1C1 можуть перетинатися;

в) відрізки А1D1 і В1С1 можуть бути рівними;

г) відрізки А1В1 і D1C1 можуть бути рівними;

д) якщо 2АВ = 3DC, то 3А1В1 = 2D1C1.

II. Закріплення та осмислення знань учнів

Формування вмінь будувати зображення фігур

Зупинимося на зображенні найбільше вживаних геометричних фі­гур, з комбінацій яких складається, як правило, зображення будь-якої складної просторової фігури.

ЗОБРАЖЕННЯ ТРИКУТНИКА

Будь-який трикутник може бути зображенням трикутника довільної форми, зокрема: правильного, рівнобедреного, прямокутного.

Доведення

Нехай задано трикутник АВС довільної форми і на площині проекції α задано трикутник А1В1С1. Завжди можна розташувати трикутник АВС і вибрати напрям проектування так, що трикутник проектується в три­кутник, подібний до трикутника А1В1С1 (рис. 92). Побудуємо трикутник AB2C, який подібний до трикутника А1В1С1 вибравши за напрям проек­тування пряму BB2, одержимо, що ΔАВС проектується в ΔАВ2С такий, що ΔАВСΔА1В1С1.

Слід зазначити, що медіани і середні лінії трикутника зображають відповідно медіанами і середніми лініями зображення.

Задача.

На зображенні рівностороннього трикутника побудуйте зображення його центра.

Розв'язання

Нехай АВС (рис. 93) — дане зображення рівностороннього трикут­ника. Центр правильного трикутника — точка перетину його медіан. Тому, побудувавши медіани АК і CM на зображенні, які перетнуться в точці О, одержимо: точка О — центр правильного трикутника АВС.

ЗОБРАЖЕННЯ ПАРАЛЕЛОГРАМА

Зображенням паралелограма (прямокутни­ка, ромба, квадрата) можна вважати довільний паралелограм, що належить площині проекцій.

Дійсно, нехай ABCD — паралелограм, що проектують, тоді дові­льний трикутник А1В1С1 можна вважати проекцією трикутника АВС (рис. 94). Ураховуючи, що при паралельному проектуванні паралель­ні відрізки переходять в паралельні відрізки, та провівши A1D1 || В1С1 і C1D1 || А1В1, одержимо A1B1C1D1 — паралелограм, який є зображен­ням паралелограма ABCD (зокрема прямокутника, ромба, квадрата).

Задача.

Побудуйте зображення ромба з кутом 120° та зображення висоти ромба, яку проведено з вершини цього кута.

Розв'язання

Нехай паралелограм ABCD (рис. 95) є зображенням ромба A1B1C1D1, у якого <B1 = 120° (рис. 96).

Оскільки ΔА1В1D1 — рівносторонній, то його медіана В1K1 є одно­часно і висотою цього трикутника, а отже, і ромба.

Таким чином, побудувавши середину сторони AD і з'єднавши цю точку з вершиною В, одержимо ВК — зображення висоти (див. рис. 95).

ЗОБРАЖЕННЯ ТРАПЕЦІЇ

Із властивості паралельного проектування випливає, що зображен­ням трапеції є трапеція, у якій відношення довжин основ зображення дорівнює відношенню довжин основ трапеції, яку проектують.

Задача.

Побудуйте зображення рівнобічної трапеції з основами 3 і 9 см та зображення її висоти.

Розв'язання

Нехай A1B1C1D1 — рівнобічна трапеція, у якій А1D1 || В1С1, A1D1 = 9 см, В1С1 = 3 см. Слід зазначити, що висота С1К1 паралельна осі симетрії М1N1 (точки М1 і N1 — середини основ трапеції) (рис. 97). Але при паралельному проектуванні зберігаються паралельність прямих і відно­шення довжин паралельних відрізків. Звідси випливає побудова: трапе­ція ABCD, у якій AD || ВС і AD = 3 ВС, є зображенням трапеції (рис. 98); побудувавши точки М і N — середини сторін ВС і AD і СК ||  MN, одер­жимо відрізок СК — зображення висоти трапеції.

ЗОБРАЖЕННЯ ЧОТИРИКУТНИКА

Зображенням довільного чотирикутника (не паралелограма і не тра­пеції) є довільний чотирикутник.

ЗОБРАЖЕННЯ ПРАВИЛЬНОГО ШЕСТИКУТНИКА

Розглянемо правильний шестикутник ABCDEF (рис. 99). Точка О перетину діагоналей AD і FC — його центр симетрії, тому ромби АВСО і DEFO симетричні відносно точки О. Ромб АВСО зображаємо у вигляді довільного паралелограма A1B1C1D1 (рис. 100). Для побудови останніх вершин зображення достатньо побудувати точки D1, E1, F1, відповідно симетричні відносно точки О1 точкам А1, B1, С1.

ЗОБРАЖЕННЯ КОЛА

Зображенням кола з центром в точ­ці О1 є еліпс з центром в точці О, який належить площині проекції α. Кожний діаметр еліпса АВ ділить пополам хорди MN, M1N1, M2N2 ..., паралельні до спря­женого з ним діаметра CD (рис. 101).

Слід зазначити, що спряженими ді­аметрами еліпса називаються зобра­ження двох перпендикулярних діаме­трів кола, що проектується.

Розв'язування задачі № 42 із підруч­ника (с. 22).

ЗОБРАЖЕННЯ ТЕТРАЕДРА

Розглядаючи тінь, що дають на екрані каркасна модель тетраедра, можна сформулювати правило його зображення. Зображенням ребер да­ного тетраедра можуть бути сторони і діагоналі довільного опуклого (рис. 102) або неопуклого чотирикутника ABCD (рис. 103).

ЗОБРАЖЕННЯ ПРЯМОКУТНОГО ПАРАЛЕЛЕПІПЕДА

Нехай задано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1. Виберемо три його ребра АВ, AD і АА1, що мають спільний початок (рис. 104). Розглянемо тетраедр A1ABD. Користуючись правилом зображення тет­раедра, приходимо до висновку, що ребра АВ, AD, AA1 можна зобразити у вигляді трьох довільних відрізків, що виходять із однієї точки (рис. 105). Останні його ребра слід зобразити визначеними відрізками, кож­ний із них паралельний одному з побудованих відрізків і дорівнює йому по довжині (рис. 106).

III. Домашнє завдання

§2, п. 13; контрольне запитання № 12; задачі № 39, 40 (с. 22).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1. Чотирикутник A1B1C1D1 є паралельною проекцією трапеції ABCD (AD — основа трапеції) на деяку площину. Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які — неправильні:

а) чотирикутник А1B1C1D1 є трапецією з основою C1D1;

б) чотирикутник А1В1C1D1 може бути ромбом;

в) чотирикутник A1B1C1D1 є трапецією з основою А1D1;

г) чотирикутник A1B1C1D1 є трапецією з основою В1D1;

д) якщо ВС = 5AD, то 5В1C1 = A1D1.

2. Чотирикутник A1B1C1D1 є паралельною проекцією прямокутника ABCD на деяку площину. Укажіть, які з вказаних тверджень є пра­вильними, а які — неправильними:

а) в чотирикутнику A1B1C1D1 є паралельні сторони;

б) в чотирикутнику А1B1С1D1 обов'язково є рівні сторони;

в) чотирикутник А1B1С1D1 може бути трапецією;

г) діагоналі чотирикутника A1B1C1D1 точкою перетину діляться по­полам;

д) діагоналі чотирикутника А1B1С1D1 обов'язково рівні.