ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 19

Тема. Розв'язування задач

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати властивості паралельних площин до розв'язування задач.

Обладнання: стереометричний набір.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Два учні відтворюють розв'язування задач № 29, 32.

2. Фронтальне опитування.

1)  Сформулюйте властивість ліній пере­тину двох паралельних площин тре­тьою площиною.

2)  Точка О лежить між паралельни­ми площинами α і β (рис. 71а). Дві прямі а і b, які проходять через точку О, перетинають площину α в точках A1, B1, а площину β — в точках А2, В2. Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні:

а) якщо А1В1 = А2В2, то обов'язково А1В2 = В1А2;

б) прямі А1В1 і А2B2 мимобіжні;

в) прямі A1B1 і А2B2 паралельні;

г) прямі а і b лежать в одній площині.

3)  Площини α і β паралельні. Мимобіжні прямі а і b перетинають площину α в точках А1, В1, а площину β — в точках А2, В2 (рис. 71б). Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні:

а) прямі А1В2 і В1А2 перетинаються;

б) прямі А1В1 і А2В2 паралельні;

в) прямі А1В2 і А2В1 лежать в одній площині;

г) через точки А1, А2, В1, В2 можна провести площину.

4) Сформулюйте властивість паралельних відрізків, які лежать між паралельними площинами.

3. Перевірити правильність виконання учнями задач № 29, 32 та відпові­сти на запитання, які виникли в учнів під час розв'язання цих задач.

II. Закріплення та осмислення знань учнів

Розв'язування задач

1.   Рівні трикутники АВС і А1В1С1 розміщені в площинах α і β так, що прямі АА1, ВВ1, СС1 паралельні. Чи випливає з цього, що пло­щини α і β паралельні?

2.   Доведіть, що відрізки паралельних прямих, які лежать між площи­ною і паралельною їй прямою, рівні.

3.   Доведіть, що два кути з відповідно паралельними сторонами або рівні, або їх сума дорівнює 180°.

4.   Задача № 35* із підручника (с. 22).

Розв'язання

Нехай пряма а перетинає площину α1 в точці X1, площину α2 — в точці Х2, площину α3 — в точці Х3 (α1 || α2 || α3) (рис. 72). Нехай друга пряма b перетинає площину α1 в точці Y1, площи­ну α2 — в точці Y2, площину α3 — в точці Y3. Проведемо пряму с через точку X1, так що с || b. Нехай пряма с перетинає площину α2 в точці Z2, а площину α3 — в точці Z3. ΔХ1Х2X3  ΔX1X3Z3, тоді Х1Х2 : Х2Х3 = Х1Z2 : Z2Z3. Але Х1Z2 = Y1Y2, Z2Z3 = Y2Y3. Тому Х1Х2 : Х2Х3 = Y1Y2 : Y2Y3. Таким чином, відношення Х1Х2 : Х2Х3 = Y1Y2 : Y2Y3 не за­лежить від обраної прямої, тобто однакове для будь-яких прямих.

5. Задача № 36 із підручника (с. 22).

Розв'язання

Нехай α не паралельна β. Прямі а, b, с, d — паралельні між собою (рис. 73). Площина α перетинає їх у вершинах паралелограма АВСD, а площина β перетинає ці прямі у точках А1, В1, С1, D1. Доведемо, що А1В1С1D1 — паралелограм. Площини ABB1A1, та DCC1D1 паралельні між собою, тому що АВ || DС, ВВ1 || СС1. Ці дві паралельні площини перетинає площина β по прямих А1В1 та D1С1, тому А1В1 || С1D1. Аналогічно доводимо, що А1D1 || В1С1. Таким чином, А1В1C1D1 — паралелограм.

III. Домашнє завдання

§2, п. 12; контрольні запитання № 10, 11; задачі № 28, 30, 31 (с. 21).

IV. Підведення підсумку уроку

Усне розв'язування задач

1. Прямі а і b, які мають спільну точку, пере­тинають три дані паралельні площини α, β, γ в точках A1, А2, A3 і В1, В2, В3 відпо­відно (точка А2 лежить між точками А1 і А3, а точка В2 — між точками В1 і В3) (рис. 74). Укажіть, які з наведених твер­джень правильні, а які — неправильні:

а) прямі А1В2 і А2В3 мимобіжні;

б) пряма а і точки В1 і В3 обов'язково лежать в одній площині;

в) якщо А1А2 = 25 см, В2В3 = 4 см, А2А3 + В1В2 = 20см, то В1В3 = 14 см;

г) А1А3 : А1А3 = В1В2 : В1B2.

2. Три паралельні площини α, β, γ перети­нають мимобіжні прямі а і b в точках А1, А2, А3 і В1, В2, В3 (площина β лежить між площинами α і γ) (рис. 75). Ука­жіть, які з наведених тверджень правиль­ні, а які — неправильні:

а) прямі А1В2 і А2В3 можуть бути па­ралельними;

б) прямі В1А2 і В2А3 можуть перетина­тися;

в) А1А2 : А2A3 = В1B2 : В2B3;

г) А1А3 : В1В2 = А1А2 : В1В3.