АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 54

Тема. Основні властивості логарифмів

Мета уроку. Вивчення основних властивостей логарифмів. Познайомити учнів з логарифмуванням і потенціюванням виразів.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Три учні відтворюють розв'язування вправ № 4, 6, 18.

2. Усне розв'язування вправ на обчислення логарифмів з використанням таблиці 22 для усних обчислень.

Таблиця 22

3. Відповіді на запитання, що виникли в учнів під час виконання домашнього завдання.

II. Сприймання і усвідомлення основних властивостей логарифмів

При виконанні перетворень виразів, які містять логарифми, при обчисленнях і при розв'язуванні рівнянь, нерівностей часто використовуються властивості логарифмів.

Для будь-яких а > 0, а ≠ 1 і будь-яких додатних х і у виконуються рівності:

1.  logа l = 0;

2. logаa = 1;

3. logа xy = logа x + logа y;

4. logа  = logа x – logа y;

5. logа х р = p logа x (р  R);

6.  =  loga x (p  R);

7. loga x =  (b > 0, b ≠ 1).

Доведемо рівності 3—7. За основною логарифмічною тотожністю

                        (І)

                       (II)

Перемноживши рівності (І) і (II), одержуємо: ху =  ·  = ,  

звідси за означенням логарифма маємо loga xy = loga x + loga y.

Отже, логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів.

Розділивши рівності (І) і (II), одержуємо: = ,

звідси за означенням логарифма маємо: loga  = loga х – loga у.

Отже, логарифм частки дорівнює різниці логарифмів.

Піднісши ліву і праву частини рівності (І) до степеня з показ­ником р, маємо:             (ІІІ)

звідси за означенням логарифма маємо: logа х р = p logа x.

Отже, логарифм степеня дорівнює добутку показника сте­пеня на логарифм основи цього степеня.

З рівності (III) маємо: , звідси за означенням логарифма маємо:

, тоді p;  .

Формула 7 називається формулою переходу від одної основи логарифма до другої основи. Доведемо її.

За правилом логарифмування степеня (формула 5) та основ­ною логарифмічною тотожністю одержуємо: ,

звідси logb х = loga х · logb a або loga = .

За допомогою формули 7 можна знаходити логарифми з довіль­ною основою а, маючи таблиці логарифмів, складених для якої-небудь основи b. Найбільш вживаними є таблиці десяткових і на­туральних логарифмів.

III. Осмислення основних властивостей логарифмів

1. Розглянемо приклади використання формул 3-7. Обчислимо:

1) log6 18 + log6 2 = log6(18 – 2) = log6 36 = 2;

2) log12 48 – log12 4 = log6  = log12 12 = 1;

3) log6 = log6 = log6 3 = · 1 = ;

4) log125 5 = log125 5 = log5 5 =  · 1 = ;

5)  = log4 16 = log4 42 = 2 log4 4 = 2 · 1 = 2.

2. Використовуючи калькулятор (або таблиці), обчислимо:

1)   log3 2 = ;

2)   log3 2 = .

3. Виконання вправ № 29, 30.

IV. Сприймання і усвідомлення логарифмування і потенці­ювання виразів

Дія знаходження логарифма числа (виразу) називається лога­рифмуванням.

Приклад. Прологарифмуйте вираз у = .

Розв'язання

lg y = lg = lg (a2b2) – lg c3 = lg a2 + lg b2 – lg c3 = 2 lga + 2 lg b – 3 lg c.

Дія, обернена до логарифмування, називається потенціюванням.

Потенціювання — знаходження числа (виразу) за його лога­рифмом.                          

Приклад. Пропотенціюйте вираз lg х =  lg 5а – 3 lg b + 4 lg c.

Розв'язання

lg x =  lg 5a – 3 lg b + 4 lg c;              

lg x = lg  – lg b3 + lg c4;

lg x = lg  – lg b3 + lg c4; lg x = lg ( · с4) – lg b3;

lg x = lg ;  x = .

Виконання вправ № 24 (4), 31 (4).

V. Підведення підсумків уроку

VI. Домашнє завдання

Розділ V § 1. Запитання і завдання для повторення № 6—14. Вправи № 24 (2), 27, 28, 31 (3).