АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 23

Тема. Розв'язування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції

Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції (алгебраїчний спосіб).

І. Перевірка домашнього завдання

1. Відповіді на питання, що виникли у учнів при виконанні домашніх завдань.

2. Самостійна робота.

Варіант 1

Розв'яжіть рівняння:

a) cosx = . (3 бали)    

б) tg (х + 2) = 0. (3 бали)

в) 1 + ctg4x = 0. (3 бали)

г) . (3 бали)

Варіант 2

Розв'яжіть рівняння:

a) sinx = . (3 бали)      

б) ctg (х - 3) = 0 . (3 бали)

в)  - tg2x = 0. (3 бали)

г) . (3 бали)

Відповіді: В-1. а) розв'язків немає;  б) - 2 + πn, nZ; в) , nZ; г) , nZ.

В-2. а) розв'язків немає; б) 3 +  + πn, nZ; в)  +, nZ;  г) ±  –  + πn, nZ.

II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетво­рень можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгеб­раїчного.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння sin2х + 4cos x = 2,75.

Розв'язання

Замінивши sin2х на 1 - cos2x, матимемо:

1 – cos2x + 4cos х - 2,75 = 0,

- cos2х + 4 cos х - 1,75 = 0,

cos2 х – 4cos х + 1,75 = 0.

Нехай cos х = t, тоді t2 - 4t + 1,75 = 0.

Звідси t1 = . t2 =  >1.

Оскільки t2 > 1, то cos x =  — розв'язків немає.

Оскільки  t1 = , то cos х = , х = ±  + 2 πn, nZ.

Відповідь: ±  + 2 πn, nZ.

Приклад 2. Розв'язати рівняння tg х + 3ctg х = 4.

Розв'язання

tg х + 3ctg х = – 4, tg х +  = 4.

Нехай tg х = t, тоді t +  = 4, t2 – 4t + 3 = 0, t1 = 1 і t2 = 3.

Маємо: 1) tg x = 1, х = + πn, nZ.

2) tg х = 3, х = arctg 3 + πn, nZ.

Відповідь: + πn, arctg3 + πn, nZ.

III. Формування умінь і навичок учнів розв'язувати триго­нометричні рівняння, що зводяться до алгебраїчних

Виконання вправ______________________________

Розв'яжіть рівняння.

1. а) 2sin2x + cos х – 1 = 0;  

б) tg х - 2ctg х + 1 = 0;

в) 6sin2x + 5cos х – 2 = 0;

г) tg x + 2ctg х = 3.

Відповідь: а) 2πn, ± + 2 πn, nZ; б) + πn, – arctg 2 + πn, nZ; в) ± + 2πn, Z; г) arctg 2 + πn, + πn, nZ.

2. a) cos 2х + sin x = 0;      

б) cos 2х = 3 + 7cos x;

в) 3 + 5sin 3х = cos 6х; 

г) 3cos2 6х + 8sin 3х cos 3х – 4 = 0.

Відповідь: а) + 2πn, (-1)n+1+ πn, nZ;   б) ±  + 2 πn, nZ;  в) (-1)n+1 + , nZ;  г) + , (-1)narcsin+ nZ.

IV. Підсумки уроку

V. Домашнє завдання

Розділ II § 3 (1). Вправи: № 2 (13; 23; 30; 37).