АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 21

Тема. Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Рівняння sin t = а

Мета уроку: засвоєння учнями виведення і застосування формули для коренів рівняння sin t = а.

Обладнання: Таблиця «Рівняння sin t = а».

І. Перевірка домашнього завдання

1. Відповіді на питання, що виникли при виконанні домашніх завдань.

2. Самостійна робота.

Варіант 1

Розв'яжіть рівняння:

а) 2cos =  . (3 бали)      

б) 2cos2x + cos x – 1 = 0. (3 бали)

в) 4cos x = 4 – sin x. (3 бали) 

г) sin 3х sin x – cos 3х cos x = . (3 бали)

Варіант 2

Розв'яжіть рівняння :

а) 2 cos  =  . (3 бали)   

б) 2cos2x – cosx – 1 = 0. (3 бали)

в) 8 sin2х + cosx + 1 = 0. (3 бали)

г) sin2  - cos2  = 1. (3 бали)

Відповідь:

B-1. a)±+4πn, nZ; б) ±+2πn і π+2πn, nZ; в)2πn, nZ; г) ±+πn,nZ.

В-2. a) ±+, nZ; б) 2πn і ±+2πn, nZ; в) n+2πn, nZ; г) 4πn, nZ.

II. Повідомлення теми уроку

III. Сприймання і усвідомлення матеріалу про розв'язування рівняння sin t = a

Демонструється таблиця 9.     

Пояснення вчителя

1)  Якщо |а| > 1, то рівняння не має роз­в'язків, поскільки  |sin x|   1 для будь-якого t.

2)  Якщо |а| < 1, то, враховуючи те, що sin t — ордината точки Рt одинично­го кола, маємо: ординату, рівну а, мають дві точки одиничного кола (на осі OY відкладаємо число а і через цю точку проведемо пряму, перпендику­лярну до осі ординат (рис. 123), яка перетне коло у двох токах -  і ):

t1 = arcsin a + 2πn, nZ,

t2 = n - arcsin а + 2πn, nZ.

Ці дві формули можна записати у вигляді однієї формули:

t = (-1)k arcsin a + nk, kZ              (1)

Неважко впевнитися, що при парному k = 2π маємо:

t1 = (-1)2n arcsin а + 2πn або t1 = arcsin a + 2πn, nZ;

при непарному k = 2n + 1 маємо:

t2 = (-1)2n+1 arcsin а + (2n + 1)n;

t2 = - arcsin а + 2πn + n;

t2 = n - arcsin a + 2πn, nZ.

3)  Якщо а = 1, то, враховуючи те, що sint — це ордината точ­ки Pt (одиничного кола, маємо: ординату, рівну 1, має точка Рt утворена із точки Р0(1;0) поворотом на кут  + 2πn, nZ.

Отже, t =  + 2πn, nZ. Якщо а = -1, то t = - + 2πn, nZ.

4)  Якщо а = 0, маємо t = 0 + πn; t = πn, nZ.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння sinx = .

Розв'язання

Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n arcsin  + πn, nZ.

Оскільки arcsin  = , то х = (-1)n  + πn, nZ.

Відповідь: (-1)n  + πn, nZ.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння sin х = - .

Розв'язання

Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n arcsin  + πn, nZ.

Оскільки arcsin  = - , то х =(-1)n ·+ πn, nZ; х = (-1)n+1 + πn, nZ.

Відповідь: (-1)n+1 + πn, nZ.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння sin x = – 1.

Розв'язання

Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n arcsin(– 1) + πn, nZ.

Значення arcsin(-1) знайдемо за допомогою мікрокальку­лятора:

arcsin(– 1) 0,427, тоді х  (-1)n · 0,427 + πn, nZ.

Відповідь: (-1)n · arcsin(-1) + πn (-1)n · 0,427 + πn, nZ.

IV. Осмислення вивченого матеріалу

Коментоване виконання вправ

Розв'яжіть рівняння.

1. a) 2sin х - 1 = 0; б) 2sin  = - 1; в) 2sin  = - ;  г) 2sin = .

Відповідь: а) (-1)n + πn, nZ; б) (-1)n+1+ 2πn, nZ; в) +(-1) n+1+, nZ; г) +(-1)n+1 + 4πn, nZ.

2. a) sin 3х cos х - cos 3х sin х = ; 

б) sin 2x cos 2x = - ;

в) sin cos – cossin= ;

г) cos 2x sin 3х + sin 2x cos 3x = 1.

Відповідь: а) (-1)n + , nZ;    б) (-1)n+1 + , nZ; в) (-1)n+3 πn, nZ; г) +, nZ.

3. а) (2sin х – 1)(3sin х + 1) = 0;   б) (4sin 3х – 1)(2sin х + 3) = 0.

Відповідь: а) (-1)n+ πn і (-1)n+1arcsin  + πn, nZ; б) (-1)n +, nZ.

Таблиця 9

V. Підведення підсумків уроку

VI. Домашнє завдання

Розділ II § 2 (1). Запитання і завдання для повторення до роз­ділу II № 13—15. Вправи № 1 (6; 7; 8; 14; 17; 18), № 2 (3).