АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 19

Тема. Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x

Мета уроку: вивчення властивостей обернених тригонометричних функцій: у = arctg х і у = arcctg x.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальна бесіда з класом за питаннями 6, 7, 9—12, до «Запитання і завдання для повторення» розділу II.

2. Самостійна робота.

Варіант 1

Обчисліть:

а) arcsin 1 – 2arccos . (2 бали)     

б) 2 arccos 0,5 – 3 arcsin . (2 бали)

в) sin  (2 бали)                    

г) sin . (3 бали)

д) cos (π - arcsin (-1)). (З бали)

Варіант 2

а) 2 arccos + arcsin . (2 бали)

б)  arcsin(-l) –  arccos . (2 бали)

в) cos . (2 бали)                     

г) cos . (3 бали)

д) sin. (3 бали).

Відповіді: В-1: а) -π; б) ; в) -0,5; г); д) 0. В-2. а) ; б) -1,25; в); г); д) 1.

II. Повідомлення теми уроку

III. Сприймання і усвідомлення поняття arctg a і властивостей функції  у = arctg х

Функція у = tg х на проміжку  зростає і приймає всі значення із R, тому для будь-якого а рівняння tg х = а має єдиний корінь із проміжку , який називається арктангенсом числа а і позначається arctg а.

Арктангенсом числа а називається таке число з проміжку , тангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arctg  = , бо tg = і .

Приклад 2. arctg(-1) = - , бо tg = -1 і -.

Виконання вправ

1. Обчисліть:

а) arctg ;  б) arctg 0;  в) arctg 1; г) arctg ; д) arctg (-).

Відповідь: а) ;  б) 0; в) ;  г) - ;  д) - .

2. Які з поданих виразів мають смисл:

а) arctg π;  б) arctg ;   в) arctg π2?

Відповідь: а); б); в).

Графік функції у = arctg х: одер­жимо із графіка функції у = tg х, хперетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 120).

Розглянемо властивості функції у = arctg х:

1. D(y)=R.

2. Е(у) = .

3. Графік симетричний відносно по­чатку координат, функція непарна: arctg (-х) = - arctg х.

4. Функція зростаюча. Якщо х1< х2 то arctg х1 < arctg х2

5. у = 0, якщо х = 0.

6. у > 0, якщо х > 0; у < 0, якщо х < 0.

Виконання вправ

1. Порівняйте числа:

a) arctg (-3) і arctg 2; б) arctg (-5) і arctg 0; в) arctg  і arctg .

Відповідь: 4) arctg (-3) < arctg 2; б) arctg (-5) < arctg 0; в) arcrg  > arctg .

2. Розташуйте в порядку зростання числа:

а) arctg 50; arctg (-5); arctg 0,5;   б) arctg 1,2; arctg π; arctg (-3).

Відповідь: а) arctg (-5); arctg 0,5; arctg 50; б) arctg (-3); arctg 1,2; arctg π.

3. Розв'яжіть рівняння:

a) arctg(5х – 1) = ;   б) arctg(3 – 5х) = - .

Відповідь: а) х = ; б) х = .

V. Сприймання і усвідомлення поняття arcctg a і властивостей функції  у = arcctg х

Функція у = ctg х на інтервалі (0; π) спадає і приймає всі значення із R, тому для будь-якого числа а в інтервалі (0; π) існує єдиний корінь рівняння ctg х = а. Це число називають арккотангенсом числа а і позначають arcctg a.

Арккотангенсом числа а називається таке число із інтервалу (0; π), котангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arcctg  = , бо ctg  =  і   (0; π).

Приклад 2. arcctg  = , бо ctg  = - і    (0; π).

Виконання вправ

1. Обчисліть: a) arcctg 1;  б) arcctg ;  в) arcctg 0; г) arcctg (-1);  д) arcctg .

Відповідь: а) ;   б) ;   в) ;   г) ;   д) .

Графік функції у = arcctg x можна одержати із графіка функ­ції у = ctg x у результаті перетворення симетрії відносно пря­мої у = х (рис. 121).

Укажемо властивості функції у = arcctg х:

1. D(y)=R.

2. E(y) = (0; π).

3. Графік не симетричний ні відносно початку координат, ні відносно осі OY. arcctg (-х) = π - arcctg х.

4. Функція спадна. Якщо х1< х2  то arcctg х1 > arcctg х2.

5. х = 0, якщо у = .

6. у > 0 для всіх хR.

Значення обернених тригонометричних функцій можна об­числювати за допомогою таблиць або мікрокалькулятора.

VI. Підведення підсумків уроку

VII. Домашнє завдання

Розділ II § 1 (4, 5). Запитання і завдання для повторення розді­лу II № 6—11, 12 (3, 4, 9, 10).