Готові домашні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 5. Геометричні перетворення

п. 21. Вправи для повторення курсу геометрії 9 класу

21.1. стор. 209. рис.

За теоремою косинусів:

Відповідь: 2√41 см.

21.2. стор. 209. рис.

ABCD — паралелограм. АВ = 2 см; АD = 4 см; ∠ВАD = 60°.

ΔСОD, α — кут між прямими АС і ВD.

21.3. стор. 209. 1) 5² < 4² + 4²; 25 < 16 + 16; 25 < 32. Трикутник гострокутний.

2) 9² > 5² + 6²; 81 > 25 + 32; 81 > 61. Трикутник тупокутний.

3) 13² = 12² + 5²; 169 = 144 + 25; 169 = 169. Трикутник прямокутний.

21.4. стор. 209. рис.

За теоремою косинусів:

Відповідь: 9 см, 24 см.

21.5. стор. 209. рис.

Нехай АС = х см. За теоремою косинусів:

Відповідь: АС = 1 см або АС = 2 см.

21.6. стор. 209. рис.

ABCD — паралелограм.

Нехай АВ = х, ВС = х + 4, ВD = 12 см; АС = 14 см.

За властивістю діагоналей маємо:

Відповідь: 36 см.

21.7. стор. 209. рис.

ABCD — трапеція; ВС || AD; AD = 8 см; CD = 4√3 см.

Коло проходить через точки А, В, С, перетинає пряму AD у точці К.

∠AKB = 60°.

Трапеція АВСК є вписаною в коло, отже АВ = СК, ∠КАС = ∠AKB = 60°, трапеція АВСК є рівнобедрена, тому АС = ВК.

ΔACD. За теоремою синусів:

ΔACD — прямокутний. За теоремою Піфагора: АС² = AD² - CD² = 64 - 48 = 16; АС = 4 см.

Відповідь: ВК = 4 см.

21.8. стор. 209. рис.

ABCD — трапеція. ВС = 3 см; AD = 7 см; АВ = 5 см; CD = 6 см.

Проведемо СК || АВ. СК = 5 см; KD = 7 - 3 = 4 см.

ΔCKD: за теоремою косинусів маємо

Проведемо BK || CD.

21.9. стор. 209. рис.

Нехай коло, вписане в ΔABC, дотикається до сторони АВ в точці D. BD = 1 см; АВ = 5 см; ∠ABC = 120°.

М — точка дотику кола до сторони ВС;

N — точка дотику кола до сторони АС.

За властивістю дотичних, проведених з однієї точки, маємо:

ΔABC. За теоремою косинусів:

ΔDBC. За теоремою косинусів:

Відповідь: √111.

21.10. стор. 209. рис.

ΔАВС; АВ = 11 cм; ВС = 12 см; АС = 13 см, ВМ — медіана, проведена до більшої сторони. AM = МС.

Продовжимо ВМ і відкладемо MD = MB. ABCD — паралелограм.

За властивістю діагоналей паралелограма складемо рівняння:

Відповідь: 9,5 см.

21.11. стор. 209. рис.

ΔАВС, ВМ — бісектриса, ВМ = х.

ΔАВМ. За теоремою косинусів:

Відповідь: ВМ = 12 см.

21.12. стор. 209. рис.

ΔABC, BD — бісектриса ∠C. ВD = а;

ΔABD. За теоремою синусів маємо:

Відповідь:

21.13. стор. 210. рис.

ΔАВС — рівнобедрений, АВ = ВС = х.

Відповідь: 1 : 1 : √3.

21.14. стор. 210. R — радіус описаного кола.

21.15. стор. 210. рис.

ΔАВС; АВ = 5 см; ВС = 8 см; ∠ABC = 60°.

ΔАВС, за теоремою косинусів:

R — радіус описаного кола.

Відповідь:

21.16. стор. 210. рис.

АК — бісектриса ∠BAC.

Відповідь:

21.17. стор. 210. рис.

ABCD — паралелограм. АВ = 4 см. AM — бісектриса ∠BAD, ∠BAD = 60°; ∠ABM = 180° - 60° = 120°; ∠1 = ∠2, ∠2 = ∠3, отже, ∠1 = ∠3.

ΔАВМ — рівнобедрений. АВ = ВМ.

Відповідь: 4√3 см².

21.18. стор. 210. рис.

ΔАВС, АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см.

Знайдемо площу ΔАВС за формулою Герона:

R — радіус описаного кола.

r — радіус вписаного кола.

Найбільша висота проведена до найменшої сторони АВ.

Відповідь:

21.19. стор. 210. рис.

Дано 2 кола з радіусами: O₁А = 17 см; O₂A = 39 см.

Відстань між центрами кіл О₁О₂ = 44 см. АВ — спільна хорда цих кіл.

АВ ⊥ О₁О₂; AK = КВ.

ΔAO₁O₂. Знайдемо S_ΔAO1O2 за формулою Герона.

21.20. стор. 210. рис.

ABCD — паралелограм. АВ = CD = 15 см; BD і АС — діагоналі; АС = 25 см; BD = 11 см.

ΔCOD. Знайдемо cos α, α — кут між діагоналями.

Відповідь: 132 см².

21.21. стор. 210. рис.

ABCD — трапеція. ВС || AD. ВС = 16 см; AD = 44 см; АВ = 17 см; CD = 25 см.

Проведемо СК || АВ, СК = АВ = 17. АК || ВС, АК = ВС = 16; DK = AD - ВС = 44 - 16 = 28 (см). СК ⊥ AD, СК — висота ΔKCD і висота трапеції.

Відповідь: 450 см².

21.22. стор. 210. рис.

ABCD — трапеція. ВС || AD. ВС = 5 см; AD = 12 см. АС і BD — діагоналі, АС = 9 см; BD = 10 см.

Продовжимо основу AD, DK = ВС; CK || BD, CK = BD.

ΔАСК. Знайдемо де

де CF ⊥ AD, CF — висота ΔACK і CF — висота трапеції ABCD.

Відповідь; 36 см².

21.23. стор. 210. Правильний n-кутник, r = 6 см; n — кількість сторін.

21.24. стор. 210. У коло вписано квадрат зі стороною 4 см. Коло описане навколо квадрата. а₄ = R√2, а₄ — сторона квадрата, R — радіус кола.

а₃ — сторона трикутника, вписаного в це коло.

21.25. стор. 210. R — радіус описаного кола.

Відповідь: 1 : 2.

21.26. стор. 210. рис.

АС, BD, АВ — сторона правильного дванадцятикутника.

MN — сторона правильного шестикутника. MN = а.

О — центр многокутників.

ОМ = R — радіус описаного кола навколо шестикутника. ОМ = а.

Відповідь: 2а(2 - √3).

21.27. стор. 211. l = 6π см, l — довжина дуги кола, n = 24°, n — градусна міра дуги.

Відповідь: 45 см.

21.28. рис. стор. 211.

АС — діаметр кола. АС = 8 см; СО = ОА = OM — радіуси кола, ОМ = 4 см.

ΔМОА — рівнобедрений. ∠A = ∠M = 42°;

Відповідь:

21.29. стор. 211. рис.

ABCD — квадрат. АВ = 2√2 см;

21.30. стор. 211. рис.

O₁ і O₂ — центри кругів, О₁O₂= R; AO₁ = АO₂ = R.

ΔАО₁O₂ — рівносторонній. ∠AO₁O₂ = 60°; ∠AO₁B = 120°.

Довжина дуги l — довжина лінії, яка обмежує фігуру (на рисунку червона);

S_фігури дорівнює сумі площ двох сегментів.

Відповідь:

21.31. стор. 211.

Відповідь: 54°.

21.32. стор. 211. Довжина кола колеса вагона

2,4492 х 1000 = 2449,2 м проїжджає колесо за 2,5 хвилини.

2449,2 : 2,5 = 979,68 м/хв ≈ 59 км/год.

21.33. стор. 211. рис.

Довжина дуги сегмента ∪АСВ = m, ∠АОВ = 120°. Знайдемо радіус ОА = R.

ΔAOD — прямокутний, ∠AOD = 60°;

CD — діаметр кола, вписаного в сегмент. Довжина кола

Відповідь:

21.34. стор. 211. рис.

АВ і АС — дотичні до кола. ∠BAC = 60°;

21.35. стор. 211.

ΔАВС — рівнобедрений, АВ = ВС. ВК ⊥ АС; АК = КС = 2.

ΔАВК — прямокутний.

21.36. стор. 211. А(5; -3), В(4; 6). М — середина відрізка АВ.

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої АВ. у = kx + b. Підставимо координати точок А і В.

Кутовий коефіцієнт серединного перпендикуляра до відрізка

— рівняння серединного перпендикуляра.

Підставимо координати т. М(4,5; 1,5).

Відповідь: (-9; 0) — точка перетину з віссю Оx.

21.37. стор. 211. Координати середини відрізка CD — точка М. М(3; -1).

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої CD.

Кутовий коефіцієнт серединного перпендикуляра до відрізка CD

Рівняння перпендикуляра у = k₁x + b₁; у = 1/2х + b₁. Знайдемо b₁, підставимо координати середини відрізка CD, точки M(3; -1).

Знайдемо координати перетину з віссю ординат,

Відповідь:

21.38. стор. 211. рис.

Діагоналі чотирикутника рівні, суміжні сторони рівні. ABCD — квадрат.

21.39. стор. 211. рис.

М(5; -1); N(2; 0) — центр кола; N₁ — другий кінець діаметра.

Відповідь: N₁(-1; 2).

Точка С лежить між точками В і А.

ΔАBС — прямокутний, АВ — гіпотенуза.

Центром кола є середина гіпотенузи.

— центр; радіус кола

Рівняння кола:

21.42. стор. 212. (х + 2)² + (у - 3)² = 52.

Центр кола O(-2; 3). Радіус кола С(-8; 7), Р(4; -1). М — середина СD; М(-2;3).

Відповідь: стор. CD с діаметром даного кола.

21.43. стор. 212. O(0; у) — координати центра кола. ОА і ОВ — радіуси кола.

— центр кола, ОА = √10 — радіус кола.

Рівняння кола: х² + (у - 5)² = 10. т. С(-3; 4) належить колу. 9 + (4 - 5)² = 10.

21.44. стор. 212. рис.

А і В — точки перетину кола з віссю Ох. A(x₁; 0), В(х₂; 0).

Рівняння кола

Відповідь: А(-9; 0), В(-1; 0).

21.45. стор. 212.

Лінія рівняння кола, у якого радіус R = 5.

Довжина кола: С = 2πR; С = 10π.

Відповідь: 10π.

21.46. стор. 212. у = kx + b; k = b. Підставимо координати т. Р(-3; 5).

5 = 6 ∙ (-3) + b; b = 5 + 18 = 32.

у = 6х + 23 — рівняння прямої.

Відповідь: у = 6х + 23.

21.47. стор. 212. k = tg α = tg 135° = -1.

у = -х + b, підставимо координати точки S(-1; 4).

4 = 1 ∙ 1 + b; b = 3.

у = -x + 3 — рівняння прямої.

Відповідь: у = -х + 3.

21.48. стор. 212. 5х + 3у = 6; 3у = -5х + 6;

Знайдемо b. — рівняння прямої.

Відповідь:

21.49. стор. 212. А(-3; -2), В(2; 5).

Рівняння прямої АВ: у = kх + b.

Координати середини відрізка АВ — точка М.

k₁ = -5/7; знайдемо b₁, підставимо координати точки М.

— рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки А і В.

21.50. стор. 212. рис.

Нехай D(х; у).

21.52. стор. 212. рис.

21.53. стор. 213.

21.54. стор. 213. рис.

21.55. стор. 213. рис.

21.56. стор. 213.

21.57. стор. 213. Координати векторів:

Вектори колінеарні.

21.58. стор. 213. якщо вектори колінеарні, то

Відповідь: -4.

Відповідь: 3.

21.60. стор. 207. рис.

Координати

21.61. стор. 213.

Якщо вектори перпендикулярні, то скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю.

Відповідь: -4/5.

α — кут між векторами

Відповідь:

21.64. стор. 214. Рівняння прямої MA, у = kx + b, знайдемо k.

Підставимо координати точок М і N у рівняння.

Дотична до кола перпендикулярна прямій, проведеній у точку дотику.

Рівняння дотичної:

Знайдемо b₁, підставимо координати точки А у рівняння прямої. -3 = -25 + b₁; b₁ = 22.

у = -5х + 22. 5х + у = 22 — рівняння прямої, яка дотикається до кола.

Відповідь: 5х + у = 22.

21.65. стор. 214. Образ точки А(3; -2) є точка В(5; -3).

Образ точки С(-3; 4) є точка С (-1; 3).

21.66. стор. 214. Образом точки А(1; -3) є точка A₁(-1; -2).

Образом точки В(0; -5) є точка В₁(-2; -4).

Образом точки С(2; 1) є точка C₁(0; 2).

21.67. стор. 214. С(7; -4), D(-1; 8).

Середина CD — точка M(3; 2). Образом точки M(3; 2) є точка Р(-1; -3).

Образом точки С(7; -4) є точка C₁(3; -9).

Образом точки D(-1; 8) є точка D₁(-5; 3).

21.68. стор. 214. ΔАВС = ΔADC (за двома сторонами і кутом між ними, АВ = AD). При симетрії відносно прямої АС образом АВ є відрізок AD, образом відрізка AD є відрізок АВ. Точки В і Dсиметричні відносно прямої АС.

21.69. стор. 214. K₁(-4; 2) симетрична точці К(4; -2) відносно початку координат.

К₂(4; 2) симетрична точці К(4; -2) відносно осі абсцис.

К₃(-4; -2) симетрична точці К(4; -2) відносно осі ординат.

21.70. стор. 214. Точка А(х; -2) симетрична точці В(3; у) відносно осі абсцис. х = 3; у = 2.

21.71. стор. 214. рис.

Промінь O₁А₁ симетричний променю ОА відносно точки В.

21.72. стор. 214. M(-3; 10), N(-1; 6). Точка К₁ — середина відрізка MN. К₁(-2; 8). К₁ ≠ К.

Відповідь: точки М і N не симетричні відносно точки К.

21.73. стор. 214. 1) Рівняння кола, симетричного колу (х + 4)² + (у - 5)² = 11 відносно початку координат.

O(-4; 5) —> O₁(4; -5). О — центр даного кола, О₁ — центр симетричного кола.

(x - 4)²+ (y + 5)² = 11.

2) Рівняння кола, симетричного колу (х + 4)² + (у - 5)² = 11 відносно точки M(-3; 3).

O(-4; 5) — центр даного кола.

O₁(х; у) — центр симетричного йому кола відносно точки M(-3; 3).

O₁(-2; 1) образ точки O(-4; 5).

Рівняння кола: (х + 2)² + (у - 1)² = 11.

21.74. стор. 214. 1) рис.

2) рис.

21.75. стор. 214. рис.

21.76. стор. 215. Прямокутник необхідно повернути на кут 180°.

21.77. стор. 215. рис.

ΔABC — тупокутний, О — центр гомотетії, k = -2.

ΔA₂B₂C₂ гомотетичний ΔАВС.

21.78. стор. 215. Образом точки А(8; -2) є точка В(4; -1). O(0; 0) — центр гомотетії. Коефіцієнт гомотетії k = 1/2.

21.79. стор. 215. а₁ = 8 см; а₂ = 28 см; а₁ і а₂ — сторони правильних трикутників. S₁ і S₂ — площі правильних трикутників.

21.80. стор. 215.

21.81. стор. 215. рис.

Відповідь: 3 см або 3√3 см.

21.82. стор. 215. рис.

ABCD — квадрат, ВМ : МС = 1 : 2, S_ΔAPD = 27 см. AM і BD перетинаються в точці Р.

Відповідь: 3 см².

21.83. стор. 215. рис.

ABCD — трапеція, АВ : ВМ = 5 : 3.

Відповідь: 27,5 см².

21.84. стор. 215. рис.

ΔАВС, АВ = ВС = 13 см; АС = 10 см; ВК ⊥ АС, ВК — висота ΔАВС.

В цей трикутник вписано коло, МК — дотична до кола. МК || АС. РК — діаметр кола.

де r — радіус вписаного кола, r = OP = ОК;

РК — діаметр кола;

Відповідь:

21.85. стор. 216. ΔА₂В₂С₂ є образом ΔАВС при гомотетії з коефіцієнтом i центpом гомотетії у точці перетину медіан ΔАВС.

Відповідь: