Готові домашні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 5. Геометричні перетворення

п. 19. Центральна симетрія. Поворот

19.1. стор. 180. рис.

ΔА₁В₁С₁ симетричний ΔАВС відносно точки О.

19.2. стор. 180. рис.

ΔABC₁ симетричний ΔABC відносно точки О — середини сторони АВ.

19.3. стор. 180. рис.

Коло з центром O₁ симетричне даному відносно точки М.

19.4. стор. 180. рис.

Відрізок АВ — образ відрізка АВ при повороті на кут 45° проти годинникової стрілки.

19.5. стор. 180. рис.

Образ трикутника ABC при повороті навколо центра О за годинниковою стрілкою па кут 90°.

19.6. стор. 180. рис.

Проведемо промені АО і BO. АО = ОС; BO = OD. Сполучимо А, В, С, D. ABCD — паралелограм.

19.7. стор. 180. рис.

а || b, АВ ⊥ а, АВ ⊥ b. М — середина відрізка АВ, М — точка, відносно якої пряма а буде симетрична прямій b.

19.8. стор. 180. рис.

∠ABC; ΔАВС — рівносторонній. О — точка перетину висот, медіан, бісектрис кутів трикутника. ∠AOB = ∠ВОС = 120°. При повороті навколо точки О проти годинникової стрілки на кут 120° відрізок АВ буде образом відрізка ВС.

19.9. стор. 181.рис.

MN = NK, NM ⊥ NK, О — середина відрізка МК.

Відрізок МК буде образом відрізка MN при повороті навколо точки О за годинниковою стрілкою на кут 90°.

19.11. стор. 181. Образ точки А — точка С; образ точки D — точка С; образ точки М — середина сторони AD; образ сторони CD — сторона АС; образ діагоналі BD — діагональ BD.

19.12. стор. 181. рис.

Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл.

При симетрії відносно точки О образом АВ є CD, образом CD є АВ; образом ВС є AD, образом AD є ВС. Отже, О — центр симетрії паралелограма.

19.13. стор. 181. рис.

У кола всі радіуси рівні. Радіус дорівнює половині діаметра. X — довільна точка кола, ОХ = ОХ₁. Образ точки X є точка X₁. Точка О — центр кола є центром симетрії.

19.14. стор. 181. рис.

А₁ є образ т. А відносно точки М. A₁M = МА.

B₁ є образ точки В₁. ВМ = В₁М.

Якщо в чотирикутнику діагоналі в точці перетину діляться навпіл, цей чотирикутник є паралелограм.

19.15. стор. 181. 1) А(3; -1) симетрична А₁(-3; 1) відносно початку координат; точка В(0; -2) симетрична В₁(0; 2) відносно початку координат.

2) Точка М(2; -3) — центр симетрії. Точка А(3; -1) симетрична точці А₂(1; -5) відносно точки М. Точка B(0; -2) симетрична точці В₂(4; -4) відносно точки М.

19.16. стор. 181. рис.

Пряма, О — центр симетрії.

Пряма проходить через центр симетрії. X — довільна точка, ОХ = OX₁, образом точки X є Х₁. Точки X і Х₁ належать прямій. Отже, образом прямої, яка проходить через центр симетрії, є ця сама пряма.

19.17. стор. 181. 1) А(х; -2) і В(1; у) симетричні відносно початку координат; х = -1; у — 2.

2) А і В симетричні відносно точки М(-1; 3). М — середина відрізка АВ.

19.18. стор. 182. При повороті навколо точки О зі своїми образами збігаються фігури на мал. а) і в).

19.19. стор. 182. Образ точки С є точка В.

Образ точки С₁ є точка В₁.

Образ точки О є сама точка О.

Образом сторони ВС є сторона АВ.

Образом медіани ВВ₁ є медіана АА₁.

Образом відрізка ОС₁ є відрізок ОВ_1.

Образом ΔА₁В₁С₁ є сам ΔА₁В₁С₁.

19.20. стор. 182. 1) Образом сторониAF є сторона АВ.

Образом діагоналі BF є діагональ АС.

Образом діагоналі AD є діагональ EВ.

Образом шестикутника є сам шестикутник.

2) Образом сторони АF є сторона ВС.

Образом діагоналі BF є діагональ BD.

Образом діагоналі AD є діагональ CF.

Образом шестикутника є шестикутник.

19.21. стор. 182. Образом точки А є точка В.

Образом точки О є точка О.

Образом точки С є точка D.

Образом сторони AD є сторона АВ.

Образом діагоналі BD є діагональ АС.

19.22. стор. 182. рис.

Нехай ΔАВС має центр симетрії, тоді образом вершини А с вершина В. Отже, центр симетрії — це середина сторони АВ. Проте в цьому випадку образ вершини С не належатиме ΔABC. Отже, трикутник не має центра симетрії.

19.23. стор. 183. рис.

ОМ — промінь. Нехай точка А належить променю, якщо А — центр симетрії, то АХ = АХ₁. Якщо АХ₁ < АО, це неможливо. Отже, промінь не може мати центр симетрії.

19.24. стор. 183. рис.

ABCD — чотирикутник, який має центр симетрії.

При центральній симетрії образом сторони даного чотирикутника с сторона цього самого чотирикутника.

За ключовою задачею 1. п. 19 образом прямої при симетрії відносно точки, яка не належить прямій, є пряма, паралельна даній. Отже, ABCD — є паралелограм.

19.25. стор. 183. При симетрії відносно точки О образи точок А₁ і В₁ належать колу із центром O₂. Образом прямої, яка проходить через центр симетрії, є ця сама пряма, отже образи точок A₁ і В₁ також належать прямій A₁В₁.

Відрізок А₂В₂ — образ відрізка A₁В₁, тому A₁В₁ = А₂В₂, ЩО й треба довести.

19.26. стор. 183. рис.

ΔАВС; АВ = ВС = АС = 1 см; AC₁ = ВС = 1 см; ВС₁ = 1 см або BC₁ = 2 см. Задача має 2 розв’язки.

19.27. стор. 183. рис.

ABCD — квадрат. Точка В є образом точки D; точка С₁ є образом точки С; точка А є образом точки А.

ΔАВС₁ — образ ΔADC. Звідси ∠ABC₁ = ∠ADC = 90°, отже, точки С₁, В, С лежать на прямій. C₁C = C₁B + ВС = 2 см.

Відповідь: 2 см.

19.28. стор. 183. рис.

Вершини паралелограма A₁B₁C₁D₁ лежать на сторонах паралелограма ABCD. Розглянемо центральну симетрію із центром О — точки перетину діагоналей паралелограма ABCD. При центральній симетрії з центром у точці О образом ABCD є паралелограм ABCD. Точки А₁, B₁, C₁, D₁ належать сторонам паралелограма ABCD, отже, A₁B₁C₁D₁ є образом A₁B₁C₁D₁ при симетрії відносно точки О. Точки перетину цих паралелограмів збігаються.

19.29. стор. 183. рис.

Точки А і С належать гострому куту М. Знайдемо середину відрізка АС — точку О. Скористаємося ключовою задачею 2 пункту 19. Пряма АВ образ прямої MD при центральній симетрії відносно точки О. Проведемо BO, D — точка перетину ОВ і сторони кута. ABCD — шуканий паралелограм.

19.30. стор. 183. рис. l₁ і l₂ — дані прямі, О — дана точка.

Побудуємо образ прямої l₁ при центральній симетрії відносно точки О. Отримаємо пряму l₃, яка перетинає пряму l₂ у точці Е. Знайдемо точку К симетричну точці Е відносно точки О. OK = ОЕ. ЕК — шуканий відрізок.

19.31. стор. 183. рис. Скористаємося задачею 4 п. 19.

Будуємо пряму A₁B₁ як образ прямої АВ при повороті навколо центра М на кут 90° проти годинникової стрілки. К — точка перетину цих прямих.

Будуємо ∠NMK = 90°. ΔNMK — прямокутний рівнобедрений трикутник.

19.32. стор. 184. рис.

Розглянемо поворот у точці С проти годинникової стрілки на кут 60°.

Образами точок Е і В відповідно будуть точки D i А. Отже, відрізок AD і його середина К будуть образами відрізка BE і його середини М. Отже, точки С, М, К є вершинами рівностороннього ΔКМС.

19.33. стор. 184. рис.

Нехай l₁, l₂, l₃ — дані паралельні прямі, О — довільна точка прямої l₂. l₄ — образ прямої l₁ при повороті навколо точки О проти годинникової стрілки на кут 60°. Прямі l₃ і l₄ перетинаються в точці М. Знайдемо прообраз точки М. Відкладемо від променя ОМ кут, що дорівнює 60°. Прообраз точки М і точка N.

ΔOMN — рівносторонній шуканий трикутник.

19.34. стор. 184. рис.

Нехай дано О — точка перетину діагоналей шуканого ромбу. l₁, l₂, l₃ — три попарно непаралельні прямі.

Побудуємо відрізок АС, серединою якого є точка О, а кінці В і С належать прямим l₁ і l₃. ВС — діагональ ромба.

Через точку О проведемо серединний перпендикуляр OD до відрізка ВС, D — точка перетину OD і l₂. ОА = OD.

ABCD — шуканий ромб.

19.35. стор. 184. рис.

Розглянемо поворот з центром у точці А проти годинникової стрілки на кут 90°. Образом відрізка AD буде відрізок АВ. E₁ — образ точки Е. ΔАВЕ₁ — образ ΔADE. Звідси ΔАВЕ₁ = ΔADE, тоді DE = BE₁, АЕ = AE₁, ∠E₁AB = ∠EAD, ∠FAD = ∠E₁FA. Отже, ΔAE₁F — рівнобедрений, AE₁ = E₁F.

AE = BF + ED.

19.36. стор. 184. рис.

ΔABC — рівносторонній, ∠APB = 150°. Розглянемо поворот із центром у точці А за стрілкою годинника на кут 60°. Образом ΔАВР буде ΔАСР₁. Р₁ — образ точки Р. ∠AP₁C = ∠APB = 150°. ΔAPP₁ — рівносторонній. ∠AP₁P = 60°; ∠PP₁C = 90°; Р₁С = РВ, РР₁= АР.

Існує прямокутний трикутник із сторонами PA, РВ, PC.

19.37. стор. 184. рис.

ΔАСК — прямокутний. АС = 8 см;

ΔВСК — прямокутний. ВК = СК = 4 см;

Відповідь:

19.38. стор. 184. А(-2; 4), В(6; 8), М(x; 0) — точка на осі абсцис.

Відповідь: М(5; 0).

19.39. стор. 184. рис.

ΔABC — рівнобедрений, АВ = ВС. М, М₁, М₂ — точки дотику вписаного кола.

— радіус вписаного кола.

Відповідь: 120/7 см.

19.40. стор. 184. рис.