Готові домашні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 1. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ

§ 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами

Початковий рівень

67. О — середина CD.

68. О — середина MN.

Достатній рівень

Так як АВ = АС, то ΔАВС — рівнобедрений.

KL = КМ, тому ΔKLM — рівнобедрений.

81. О₁ — середина АС;

O₂ — середина BD;

О₁ і O₂ збігаються. Отже, діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, тому ABCD — паралелограм.

82. О₁ — середина КМ;

O₂ — середина LN;

О₁ і O₂ збігаються. Отже, діагоналі чотирикутника KLMN перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, тому KLMN — паралелограм.

83. О — середина діагоналі КМ;

О — середина діагоналі LN.

Нехай N(x; у), тоді Отже, N(-5; 5).

84. О — середина діагоналі АС;

О — середина AD. Нехай D(x; у), тоді Отже, D(4; -31).

АВ = CD і ВС = AD. Протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, тому ABCD — паралелограм.

2) Знайдемо О₁ — середину діагоналі АС.

O₂ — середина діагоналі BD.

О₁ і O₂ не збігаються. Отже, діагоналі чотирикутника ABCD не діляться точкою перетину навпіл, отже, ABCD не паралелограм.

86. КМ — середня лінія ΔАВС; KM || АС. К — середина АВ; М — середина ВС.

87. АВ — середня лінія ΔPLK; AB || KL.

A — середина PK;

В — середина PL;

88. Нехай A(x; 0), B(0; y), N — середина АВ. Тому

у = 24. Тому A(-10; 0).

89. M(x; 0), N(0; у), тоді

90. AM — медіана ΔABC, тому M — середина BC.

91. N — середина АС;

96. Якщо точка K лежить на осі абсцис, то вона має координати (х; 0).

Так як МK = NK, то

Отже, К(-3; 0).

97. Нехай С(0; у) — шукана точка на осі ординат.

Отже, С(0; 8).

Високий рівень

М — середина AB.

K — середина AM.

К — середина PN.

D — середина KN.

Отже, точки А, В, С лежать на одній прямій і т. В лежить між точками А і С.

Отже, точки P, L, М лежать на одній прямій, точка М лежить між точками P і L.

102. O₁ — середина АС;

O₂ — середина ВD;

О₁ і O₂ збігаються. Отже, діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, тому ABCD — паралелограм.

АС = ВD. Діагоналі паралелограма ABCD рівні. Отже, ABCD — прямокутник.

103. О₁ — середина АС; O₁(3; 5); О₂ — середина ВD; O₂(3; 5).

Діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. ABCD — паралелограм.

У паралелограма ABCD діагоналі не рівні, а сусідні сторони рівні. Отже, ABCD — ромб.

Так як трикутник рівиосторонній, то АС = АВ і АС₂ = АВ₂, тому

АВ² = ВС² + АС², так як тобто 500 = 10 + 490, то ΔАВС — прямокутний. ∠А і ∠В — гострі кути прямокутного трикутника.

(знаходимо за таблицею або за допомогою калькулятора).

Отже, LM² = KL² + KM².

Отже, ΔKLM — прямокутний, ∠K = 90°, ∠L і ∠M — гострі.

(знаходимо за таблицею).

Вправи для повторення

ABCD — рівнобічна трапеція. BK ⊥ AD; CM ⊥ AD.

KM = BC = 6 см; AK + MD = 16 - 6 = 10 (см); AK = MD = 5 (см).

З ΔABK: AB = 2 ∙ AK = 2 ∙ 5 = 10 см (властивість прямокутного трикутника з кутом 30°).

За теоремою Піфагора: ВK² = АВ² - АK² = 10² - 5² = 75.

З ΔBKD — прямокутного: ВD² = ВК² + KD². KD = КМ + MD = 6 + 5 = 11; ВD² = 75 + 112 = 75 + 121 = 196; ВD = 14 (см).

AB — хорда, AB = 20 CM; CD — діаметр. AB ⊥ CD, тоді CD ∩ AB = K; KA = KB = 15 CM.

Нехай KD = x CM, тоді CK = (x + 40) CM.

ΔCAD — прямокутний (∠A = 90°). AK — висота, проведена до гіпотенузи.

AK² = CK ∙ KD або x(x + 40) = 15²; х²+ 40x - 225 = 0; x₁ = 5, x₂ = -45 — не є розв’язком задачі. Отже, х = 5, тобто KD = 5 см; СК = 45 CM. d = CD = 5 + 45 = 50 (CM).

Нехай KC = х, тоді 25² = 20² + KC²; КС² = 225; KC = 15, тоді ВК = 20 - 15 = 5 см.

З ΔАВК:

Або: АK ⊥ ВС;

Розв’яжіть та підготуйтесь до нового матеріалу

113. О — середина MN;