Готові домащні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 2. Квадратична функція

§ 13. Розв'язування систем рівнянь другого степепя з двома змінними

Початковий рівень

Отже, пара чисел х = 2, у = 1 є розв’язком системи рівнянь.

Отже, пара чисел х = 2, у = 1 не є розв’язком системи рівнянь.

Пара чисел (1; -3) є розв’язком системи рівнянь.

Пара чисел (0; -1) не є розв’язком системи рівнянь.

Середній рівень

525. рис. 1)

Розв’язки системи рівнянь: (-2; 0), (3; 5).

2) рис. (-1; -3), (4; 12).

3) розв’язків немає.

526. 1) (-1; 0), (0; 1).

2) розв’язків немає.

527. 1) рис.

Графіки мають дві спільніточки: (3; 0), (0; -3).

Перевіркою впевнюємося, що ці пари є розв’язками системи.

2) рис.

Графіки мають дві спільні точки (1; 4) і (-1; -4).

Перевіркою встановлюємо, що ці пари є розв’язками системи.

Графіки мають 4 спільні точки: (3; -4), (4; -3), (-3; 4), (-4; 3).

528. 1) рис.

Графіки мають дві спільні точки (-2; 0) і (0; 2).

Перевіркою встановлюємо, що ці пари є розв’язком системи.

2) рис.

Графіки мають дві спільні точки (1; 6) i (-1; -6).

Перевіркою встановлюємо, що ці пари є розв’язком системи.

3) рис.

Графіки мають чотири спільні точки: (3; 4), (4; 3), (-3; -4), (-4; -3).

Перевіркою встановлюємо, що ці пари є розв’язком системи.

529. Підставимо в друге рівняння замість х вираз 4y та отримаємо:

За формулою х = 4у знаходимо х, що відповідають знайденим значенням у:

Отже, система має два розв’язки: (-12; -3) і (-1; -4).

(-3; -9), (1; -1) — розв’язки системи.

Відповідь: 1) (-12; -3), (-1; 4); 2) (-3; -9), (1; -1).

(3; -6) і (-1; 2) — розв’язки системи рівнянь.

(-25; -5) і (-1; 1) — розв’язки системи рівнянь.

Відповідь: 1) (3; -6), (-1; 2); 2) (-15; -5), (-1; 1).

(-4; -3) і (3; 4) — розв’язки системи рівнянь.

(-3; -4) і (4; 3) — розв’язки системи рівнянь.

(2; 1) — розв’язок системи.

(2; -1) і (0,4; 2,2) — розв’язки системи.

(-4; -2) і (2; 4) — розв’язки системи.

(2; 1) і (-1; -2) — розв’язки системи.

(0; 2) — розв’язок системи.

— розв'язки системи.

(2; 1) і (2; -1) — розв’язки системи.

Система розв’язків не має.

(3; 1) і (-3; 1) — розв’язки системи.

Система розв’язків не має.

Достатній рівень

535. 1) рис.

Графіки мають дві спільні точки: (-4; 0) і (-1; -3).

Отже, (-4; 0) і (-1; -3) — розв’язки системи.

2) рис.

Графіки мають одну спільну точку (2; 0).

Отже, (2; 0) — розв'язок системи.

536. 1) рис.

Графіки мають дві спільні точки: (-6; 0) і (-1; -5).

Отже, (-6; 0) і (-1; -5) — розв’язки системи.

2) рис.

Графіки мають одну спільну точку (0; 3).

Отже, (0; 3) — розв'язок системи.

537. 1) рис.

Графіки мають одну спільну точку, отже, система має один розв’язок.

2) рис.

Графіки мають чотири спільні точки, отже, система має чотири розв’язки.

(3; 2), (-42; 11) — розв’язки системи.

2) рис.

Графіки мають дві спільні точки: (3; 4) і (5; 0).

Отже, (3; 4), (5; 0) — розв’язки системи.

Отже, (2; 2) і (-2; 4) — розв’язки системи.

Отже, — розв’язки системи.

Отже, (5; 2), (-1; -1) — розв’язки системи.

Отже, (3; 2), (-1,2; 3,4) — розв’язки системи.

Отже, (-3; 2), (3; -1) — розв’язки системи.

Отже, (15; -10) і (2; 3) — розв’язки системи.

540. 1) х + у = 5; у = 5 - х, тоді 5 - х = x² - 7; x² + x - 12 = 0; x₁ = -4, x₂ = 3.

Якщо х = -3, тоді у = 5 - (-4) = 9.

Якщо х = 3, тоді у = 5 - 3 = 2.

Отже, (-4; 9), (3; 2) — точки перетину прямої х + у = 5 і параболи у = x² - 7.

2) тоді

Нехай у² = t, тоді

Якщо у = 3, тоді

Якщо у = -3, тоді

Якщо у = 5, тоді

Якщо у = -5, тоді

Отже, (5; 3), (-5; -3), (3; 5), (-3; -5) — координати точок перетину кола x² + у² = 34 і гіперболи xу = 15.

Отже, (3,5; 3/7) —розв’язок системи.

Якщо x = -2, тоді

Якщо x = 2, тоді

Отже, (2; 5), (2; -5), (-2; 5), (-2; -5) — розв’язки системи.

Якщо у = 4, тоді 2 ∙ 16 + 4x = 36; 4x = 4; x = 1.

Якщо у = -4, тоді 2 ∙ 16 — 4x = 36; 4x = -4; x = -1.

Отже, (1; 4), (-1; -4) — розв’язки системи.

Якщо x = -1, тоді 1 - у = -4; у = -5.

Якщо x = 1, тоді 1 + у = -4; у = 5.

Отже, (1; 5), (-1; -5) — розв’язки системи.

Отже, (5; 1/2) — розв’язок системи.

Якщо у = -2, то

Якщо у = 2, то

Отже, (1; 2), (-1; 2), (1; -2), (-1; -2) — розв’язки системи.

Якщо х = 2, то

Якщо x = -2, то

Отже, (2; 1), (-2; -1) — розв’язки системи.

Якщо у = 1, то

Якщо y = -1, то

Отже, (-3; 1), (3; -1) — розв’язки системи.

Високий рівень

Якщо y = 3, х = 3 - 1 = 2.

Якщо y = -1,5, x = -1,5 - 1 = -2,5.

Отже, (2; 3) і (-2,5; -1,5) — розв’язки системи.

Якщо х = 4, y = 4 - 5 = -1.

Якщо х = 2, у = 2 - 5 = -3.

Отже, (4; -1), (2; -3) — розв’язки системи.

Якщо х = 2, y = 2 - 1 = 1.

Якщо

Отже, — розв’язки системи.

Якщо х = -1, у = -3 ∙ (-1) - 11 = 3 - 11 = -8.

Якщо

Отже, — розв’язки системи.

Введемо заміну: х + у = t, ху = v, тоді маємо

Якщо v = 3, t = 2, маємо:

(-1; 3) і (3; -1) не є розв’язками системи.

Якщо v = 2, t = 3, маємо:

Якщо х = 2, y = 3 — 2 = 1.

Якщо х = 1, y = 3 - 1 = 2.

Отже, (2; 1) і (1; 2) — розв’язки системи.

Уведемо заміну: х - у = t, ху = v, тоді маємо:

Якщо у = -3, x = 1 - 3 = -2.

Якщо y = 2, х = 1 + 2 = 3.

Отже, (-2; -3) і (3; 2) — розв’язки системи.

Уведемо заміну: x + y = t, x - y = v.

Отже, (2,5; -1,5) і (0; 1) — розв’язки системи.

Уведемо заміну: тоді

Тоді маємо:

Отже, — розв’язки системи.

Нехай тоді Маємо:

Отже, (3; 2) і (-10; -15) — розв’язки системи.

Нехай x - y = t, x + y = v.

Отже, (0,5; 2,5) і (-1,5; 0,5) — розв’язки системи.

547. Рис.

1) Якщо а = 2, система має один розв’язок.

2) Якщо а = -2, система має три розв’язки.

Вправи для повторення

549.

За умовою задачі маємо рівняння:

x = -44 — не задовольняє умові задачі. Отже, швидкість течії 2 км/год.

Відповідь: 2 км/год.

550. Якщо x ≠ 0, маємо: у = x² + 4x - 5.

Графіком є парабола, гілки якої напрямлені вгору.

Точки перетину з віссю Оx: x² + 4x - 5 = 0; x₁ = 5, x₂ = 1.

Координати вершини параболи:

Область визначення (-∞; 0) U (0; +∞).

551. Найменший місячний обсяг виробництва

Відповідь: 5000.

552. 1) Нехай зошит коштує x грн, олівець у грн, тоді маємо:

Отже, зошит коштує 9 грн, олівець коштує 6 грн.

2) Нехай x — власна швидкість човна, у — швидкість течії, тоді за умовою задачі маємо:

Отже, власна швидкість човна — 18 км/год, швидкість течії у = 4 ∙ 18 - 70 = 72 - 70 = 2 (км/год).

Відповідь: 18 км/год, 2 км/год.