Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
5. Ромб

136. На рисунку ABCD — ромб, АВ = ВС = CD = AD = 5 cm, A = 40°, AE — висота (AEBC), AF— висота (AFDC), BM — висота (BMAD), BN— висота (BNDC).

137. Нехай ABCD — паралелограм, у якому AB = AD. За властивістю протилежних сторін паралелограма АВ = DC, AD = ВС, тому AB = ВС = CD = AD. Якщо в паралелограма всі сторони рівні, то за означення ромба маємо, що ABCD — ромб.

138. Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні між собою, то обов’язково рівними будуть і його протилежні сторони. Тому такий чотирикутник за ознакою є паралелограмом. А якщо в паралелограма всі сторони рівні (за умовою), то він є ромбом.

139. Нехай ABCD — ромб, АС— діагональ, CAD = 42°. Оскільки діагональ АС ромба є бісектрисою його кутів, то CAB = CAD = 42°. Тоді BAD = 2CAD; BAD = 2 • 42° = 84°. За властивістю кутів ромба, прилеглих до однієї сторони, маємо: BAD + D = 180°; D = 180° - BAD; D = 180° - 84° = 96°. Протилежні кути ромба рівні, тому BCD = BAD = 84°, B = D = 96°.

Відповідь. 84°, 96°, 84°, 96°.

140. Нехай ABCD — ромб, діагоналі перетинаються в точці О, C = 140°. Протилежні кути ромба рівні, тому DAB = BCD = 140°. Оскільки діагональ АС ромба є бісектрисою його кутів, то BAO = OAD = 140° : 2 = 70°. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, тому AOB = 90°. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: OBA + BAO = 90°; OBA = 90° - BAO; OBA = 90° - 70° = 20°.

Відповідь. 20°, 70°, 90°.

141. Нехай ABCD — ромб, AB = BC = CD = AD = АС. Розглянемо рівносторонній трикутник ABC. За властивістю кутів рівностороннього трикутника ABC = BCA = CAB = 60°. Оскільки АС — діагональ ромба, то вона е бісектрисою його кутів. Тому DAB = DAC +CAB; DAB = 60° + 60° = 120°. Отже, B = D = 60°,A = C = 120°.

Відповідь. 60°, 120°, 60°, 120°.

142. Нехай ABCD — ромб, P_ABCD = 24 см, AE = 3 см. Оскільки в ромба всі сторони рівні, то АВ = ВС = CD = AD = 24 : 4 = 6 (см). Розглянемо прямокутний трикутник AED (AED = 90°). У ньому катет АЕ удвічі менший за гіпотенузу AD, тому ADE = 30°. За властивістю кутів ромба, прилеглих до однієї сторони, маємо, що D + С = 180°; С = 180° - D; С = 180° - 30° = 150°.

Відповідь. 30°, 150°, 30°, 150°.

143. Нехай ABCD — ромб, BD = 9 см, А = 60°. Розглянемо рівнобедрений трикутник BAD (AB = AD як сторони ромба). Оскільки кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, то цей трикутник — рівносторонній, тому ABD = ADB = 60° і AB = AD = BD = 9 см. Тоді Р_ABCD = 4АВ; Р_ABCD = 4 • 9 = = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

144. Нехай ABCD — ромб, D більший за CAD у 8 разів. Розглянемо рівнобедрений трикутник ADC (AD = DC як сторони ромба). За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: CAD = ACD. Нехай CAD = х, тоді D = 8х. За теоремою про суму кутів трикутника маємо рівняння: х + х + 8х = 180°; 10х = 180°; х = 18°. Отже, CAD = 18°. Оскільки АС — діагональ ромба, то вона є бісектрисою його кутів. Тому BAD = 2CAD = 2 • 18° = 36°.

Відповідь. 36°.

145. Нехай ABCD — ромб, АС і BD — діагоналі, ОАВ : ОВА = 2 : 7. Розглянемо прямокутний трикутник BOA (ВОА = 90°, бо діагоналі ромба перпендикулярні). Нехай ОАВ = 2х, тоді ОВА = 7х. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ОАВ + ОВА = 90°; 2х + 7х = 90°; 9х = 90°; х = 10°. Отже, OAD = 2 • 10° = 20°, ОВА = 7 • 10° = 70°. Тоді А = С = 2 • 20° = 40°, В = = D = 2 • 70° = 140°.

Відповідь. 40°, 140°, 40°, 140°.

146. Нехай ABCD — ромб, точки М і К — відповідно середини сторін АВ і ВС. Оскільки в ромба всі сторони рівні, то АВ = ВС = CD = AD. Так як М i K — відповідно середини сторін АВ і ВС, то АМ = МВ = ВK = KС як половини рівних відрізків. А = С як протилежні кути ромба. Розглянемо трикутники AMD і CKD. У них: 1) AD = CD як сторони ромба; 2) А = С як протилежні кути ромба; 3) AM = KС як половини рівних сторін ромба. Отже, AMD = CKD за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому MD = KD як відповідні елементи рівних трикутників.

147. Нехай ABCD — ромб, точки E і F— відповідно середини сторін ВС і CD. Оскільки в ромба всі сторони рівні, то AB = ВС = CD = AD. Так як E і F — відповідно середини сторін ВС і CD, то BE = EC = CF = FD як половини рівних відрізків. АС— діагональ ромба, тому вона є бісектрисою його кутів, звідки ECA = FCA. Розглянемо трикутники АЕС і AFC. У них: 1) EC = CF як половини рівних сторін ромба; 2) ECA = FCA за доведеним вище; 3) АС — спільна сторона. Отже, АЕС = AAFC за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому EAC = FAC як відповідні елементи рівних трикутників.

148. Нехай ABCD— ромб, ВМ і BN — відповідно висоти, проведені до сторін AD і CD. Оскільки в ромба всі сторони рівні, то АВ = ВС = CD = AD. Так як ВМ і ВN— висоти, то BMA = BNC = 90°. A = C як протилежні кути ромба. Розглянемо прямокутні трикутники АМВ і CNB. У них: 1) A = C як протилежні кути ромба; 2) АВ = ВС як сторони ромба. Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників АМВ = CNB за гіпотенузою і гострим кутом. Тому BM = BN як відповідні елементи рівних трикутників.

149. Нехай ABCD — ромб, ВМ — висота, проведена до сторони AD, AM = MD, BD = 4 см. Оскільки в ромба всі сторони рівні, то АВ = ВС = CD = AD. Розглянемо трикутник ABD. Так як AM = MD і ВМ— висота, то вона є ще й медіаною, тому трикутник ABD— рівнобедрений (АВ = BD = 4 см). Тоді Р_ABCD = 4АВ = 4 • 4 = 16 (см). Оскільки АВ = AD як сторони паралелограма, то трикутник ABD — рівносторонній. За властивістю рівностороннього трикутника A = 60°. За властивістю кутів ромба, прилеглих до однієї сторони, маємо: A + B = 180°, звідки B = 120°. За властивістю протилежних кутів ромба A = C = 60°, B = D = 120°.

Відповідь. 16 см, 60°, 120°, 60°, 120°.

150. Нехай ABCD — ромб, ВМ і BN— відповідно висоти, проведені до сторін AD і CD, BD — діагональ. Оскільки BD — діагональ, то за властивістю ромба вона є бісектрисою його кутів, томуТак як ВМ і BN — висоти, то BMD = BND = 90°. Розглянемо прямокутні трикутники BMD і BND. У них: 1) BDM = BDN за доведеним вище; 2) BD — спільна сторона. Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників BMD = BND за гіпотенузою і гострим кутом. Тому MBD = NBD як відповідні елементи рівних трикутників.

151. Нехай ABCD — ромб, Е∈АВ, F∈AD, АЕ = AF. Оскільки в ромба всі сторони рівні, то AB - ВС = CD = AD. Так як АЕ = AF, то BE = DF як різниці рівних відрізків. Розглянемо трикутники СВЕ і CDF. У них: 1) СВ = CD як сторони ромба; 2) BE = DF за раніше доведеним; 3) B = D як протилежні кути ромба. Отже, СВЕ = CDF за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому СЕ = CF як відповідні елементи рівних трикутників. Тоді трикутник ЕСЕ— рівнобедрений, а за властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо, що CEF = CFE.

152. Нехай ABC — трикутник, AM— бісектриса BAC, МК||АС, , MD||AB, Оскільки МК||АС і MD||AB, то чотирикутник AKMD— паралелограм. Так як діагональ AM є бісектрисою його кута KAD, то AKMD — ромб, а діагоналі ромба перпендикулярні. Тому АМDK.

153. Нехай ABCD— паралелограм, AF і BE — відповідно бісектриси кутів BAD і СВА. Розглянемо паралельні прямі ВС і AD та січну AF. Тоді BFA = EAF як внутрішні різносторонні. Оскільки рівними є кути однієї пари внутрішніх різносторонніх кутів, то рівними є кути й іншої пари, тобто BAF = EFA, звідки слідує, що AB||EF. Тоді в чотирикутнику ABFE BF||AE і AB||EF, тому цей чотирикутник є паралелограмом. Оскільки в паралелограмі ABFE AF і BE— бісектриси його кутів, то ABFE — ромб.

154. Нехай ABC — трикутник, BD — бісектриса, LР — її серединний перпендикуляр. Оскільки BD — бісектриса, то за означенням KBO = PBO. Розглянемо прямокутні трикутники РОВ і LОВ (POB = KOB = 90°). У них: 1) ВО — спільна сторона; 2) KBO = PBO за доведеним вище. Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників РОВ = KОВ за катетом і гострим кутом. Тому КО = OP і KВ = РВ як відповідні елементи рівних трикутників. Розглянемо прямокутні трикутники ВОР і DOK (BOP = DOK = 90°). У них: 1) BO = OD, бо KР— серединний перпендикуляр BD; 2) ОР = KО за доведеним вище. Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників BOP = DOK за двома катетами. Тому KD = BP як відповідні елементи рівних трикутників. Аналогічно з рівності трикутників ВОK і DOP можна довести, що KB = DP. Оскільки в чотирикутнику BKDP всі сторони рівні, то цей чотирикутник є ромбом.

155.

1) Дано: АВ = а —сторона ромба ABCD —кут ромба. Побудувати: ромб ABCD.

Будую довільну пряму m. Позначаю на прямій m точку А. Будую кут, який дорівнює куту Р₁А₁K₁ вершина якого міститься у точці А, а одна зі сторін кута збігається з прямою m. У заданому куті а проводжу коло з центром у вершині А₁ так, щоб воно перетнуло сторони кута, наприклад, у точках K₁ і Р₁. Проводжу коло того самого радіуса з центром у точці А. Нехай воно перетне пряму mу точці K. Проводжу коло радіуса K₁Р₁ з центром у точці K, кола перетнуться у точці Р. Проводжу промінь АР. PAK = P₁A₁K₁. З точки А проводжу коло діаметра АВ = а, яке в перетині з прямою m дає точку D, а в перетині з променем АР — точку В. З точки В проводжу коло довільного радіуса, яке перетне пряму m у двох точках — Мі N. Проводжу кола з центрами в точках М і N радіуса, більшого за половину MN. У результаті перетину цих кіл одержую точки S і Т, через які проводжу пряму k таку, що k MN. Аналогічно будую пряму Ik, яка проходить через точку В. З точки В проводжу коло радіуса АВ = а, яке в перетині з прямою l дає точку С. Сполучаю відрізком точкиС і D. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий, бо в ньому АВ = а,за побудовою;

2) Дано: АС = a, BD = b — діагоналі ромба ABCD. Побудувати: ромб ABCD. Будую довільну пряму m. Позначаю на прямій m точку О. З точки О проводжу коло довільного радіуса, яке перетне пряму m у двох точках — М і N. Проводжу кола з центрами в точках М і N радіуса, більшого за половину MN. У результаті перетину цих кіл одержую точки S і Т, через які проводжу пряму k таку, що kMN. Проводжу коло діаметра АС = а з центром у точці О, яке в перетині з прямою m дає точки А і С, і коло діаметра BD = b з центром у точці О, яке в перетині з прямою k дає точки В і D. Сполучаю відрізками точки А і В, В і С, С і D та А і D. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий, бо в ньому АС = a, BD = b за побудовою;

3) Дано: RZ = h — висота ромба ABCD,— кут ромба. Побудувати: ромб ABCD.

Будую довільну пряму m. Позначаю на прямій m точку А. Будую кут, який дорівнює куту Р₁А₁K₁ вершина якого міститься у точці А, а одна зі сторін кута збігається з прямою m. У заданому куті проводжу коло з центром у вершині А, так, щоб воно перетнуло сторони кута, наприклад, у точках K₁ і Р₁. Проводжу коло того самого радіуса з центром у точці А. Нехай воно перетне пряму m у точці K. Проводжу коло радіуса K₁Р₁ з центром у точці K, кола перетнуться у точці Р. Проводжу промінь АР. PAK = P₁A₁K₁. Позначаю на прямій m точку R. З точки R проводжу коло довільного радіуса, яке перетне пряму m у двох точках — М і N. Проводжу кола з центрами в точках М і N радіуса, більшого за половину MN. У результаті перетину цих кіл одержую точки S і Т, через які проводжу пряму k таку, що kMN. З точки R проводжу коло радіуса RX = h, яке перетне пряму k у точці Z. Аналогічно описаному вище будую пряму l, яка проходить через точку Z і таку, що lm. Пряма l у перетині зі стороною кута РАМ дасть точку В. З точки В проводжу коло радіуса АВ, яке в перетині з прямою l дає точку С. З точки А проводжу коло радіуса АВ, яке в перетині з прямою m дає точку D. Сполучаю відрізком точки С і D. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий, бо в ньому RZ = h, PAK = P₁A₁K₁ = за побудовою.

156.

1) Дано: АВ = а — сторона ромба, АС = b — діагональ ромба ABCD. Побудувати: ромб ABCD.

Будую довільну пряму m. Позначаю на прямій m точку А. З точки А проводжу коло радіуса АС = b, яке перетне пряму m у точці С. Проводжу кола з центрами в точках А і С радіуса АВ = а. У результаті перетину цих кіл одержую точки В і D. Сполучаю відрізками точки А і В, В і С, С і D та А і D. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий, бо в ньому АВ = а, АС = b за побудовою;

2) Дано: RC = h — висота ромба ABCD, АС = а — діагональ ромба. Побудувати: ромб ABCD.

Будую довільну пряму m. Позначаю на прямій m точку R. З точки R проводжу коло довільного радіуса, яке перетне пряму m у двох точках — М і N. Проводжу кола з центрами в точках М і Nрадіуса, більшого за половину MN. У результаті перетину цих кіл одержую точки S і Т, через які проводжу пряму k таку, що kMN. З точки R проводжу коло радіуса RC = h, яке перетне пряму kу точці С. Аналогічно описаному вище будую пряму l, яка проходить через точку С і таку, що lk. Проводжу коло радіуса АС, яке в перетині з прямою m дає точку А. Аналогічно описаному вище будую серединний перпендикуляр відрізка АС, який перетне прямі m і l відповідно у точках D і В. Сполучаю відрізками точки А і В, В і С, С і D та А і D. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий, бо в ньому RC = h, АС = а за побудовою.

157. Нехай ABCD — прямокутник, AD = 9 см, BDA = 30°, АМСK — ромб. Оскільки діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл, то AO = OD. Звідси випливає, що трикутник AOD — рівнобедрений з основою AD. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника OAD = ODA = 30°. Так як АС — діагональ ромба АМСK, то за властивістю діагоналей ромба CAK = CAM = 30°. Тоді MAK = 2 • CAK = 60°. Так як протилежні кути ромба рівні, то MAK = MCK = 60°. BCD = BCK + KCD; KCD = BCK - BCK; KCD = 90° - 60° = 30°. Розглянемо прямокутний трикутник CDK (CDK = 90°). Оскільки катет KD лежить проти кута 30°, то він дорівнює половині гіпотенузи:Нехай KD = х см, тоді KС = 2х см. АK = KС як сторони ромба. AD = АK + KD. Рівняння: х + 2х = 9; 3х = 9; х - 3. Отже, KD = 3 см, тоді KС = 2 • 3 = 6 (см).

Відповідь. 6 см.

158. Дано: АС = а — діагональ ромба ABCD,— кут ромба. Побудувати: ромб ABCD.

Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку Е. Будую кут, який дорівнює половині кута Р₁А₁K₁, вершина якого міститься у точці А, а одна зі сторін кута збігається з прямою m. Щоб побудувати кут, який дорівнює половині кута Р₁А₁K₁, необхідно побудувати бісектрису заданого кута. У заданому куті а проводжу коло з центром у вершині А, так, щоб воно перетнуло сторони кута, наприклад, у точках K₁ і Р₁. Проводжу два кола довільного радіуса, але більшого за А₁K₁, з центрами в точках K₁ і Р_1З які перетнуться в точці М₁ Проводжу промінь А₁М₁, який є бісектрисою кута Р₁А₁K₁. Проводжу коло того самого радіуса з центром у точці А. Нехай воно перетне пряму m у точці K. Проводжу коло радіуса K₁R₁ з центром у точці K, кола перетнуться у точці R. Проводжу промінь AR. Проводжу коло з центром у точці А радіуса АС = а, яке в перетині з променем AR дає точку С. Позначаю на прямій m точку R. З точки Rпроводжу коло довільного радіуса, яке перетне пряму m у двох точках — М і N. Проводжу кола з центрами в точках М і N радіуса, більшого за половину MN. У результаті перетину цих кіл одержую точки S і Т, через які проводжу пряму k таку, що kMN. Аналогічно описаному вище будую пряму l, яка проходить через точку С і таку, що lk. Продовжую сторону кута АР до перетину з прямою l у результаті одержую точку В. Проводжу коло радіуса АВ з центром у точці А, яке в перетині з прямою m дасть точку D. Сполучаю відрізками точки А і В, В і С, С і D та А і D. Отже, побудований ромб ABCD— шуканий, бо в ньому АС = а, за побудовою.

159. Дано: АС = а — діагональ ромба ABCD,— кут ромба. Побудувати: ромб ABCD.

Продовжую сторону кута K₁А₁ за точку А₁, добудовуючи розгорнутий кут. F₁A₁P₁ — суміжний з P₁A₁K₁, він дорівнює іншому куту ромба, бо сума прилеглих кутів до однієї сторони дорівнює 180°. Подальші побудови див. № 158.

160.

1) Дано: а = d₁ + d₂ — сума діагоналей ромба ABCD,.— кут між діагоналлю і стороною ромба. Побудувати: ромб ABCD.

Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. Будую кут з вершиною у точці А, який дорівнює куту P₁A₁Q₁. Будую коло з центром у точці А радіуса а, у результаті його перетину з прямою m одержую точку K. Будую серединний перпендикуляр RQ відрізка АK, у результаті його перетину з прямою m одержую точку X. Будую бісектрису прямого кута AXR — промінь XY. Перетин променя XY зі стороною кута дає точку В. Будую пряму l таку, що l проходить через точку В і lm. У результаті перетину прямих l і m одержую точку О. Будую на прямій lза точкою О відрізок OD = ВО. Аналогічно на прямій m будую ОС = АО. Сполучаю точки А і D, В і С та С і D. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий за побудовою;

2) Дано: a = d₁ - d₂ — різниця діагоналей ромба ABCD,— гострий кут ромба. Побудувати: ромб ABCD.

Схема побудови. Будую довільну пряму r і позначаю на ній точку А. Будую кут з вершиною у точці А, який дорівнює куту P₁A₁Q₁. Будую бісектрису побудованого кута, на якій відкладаю відрізок АЕ = а. Будую серединний перпендикуляр RQ відрізка АЕ, у результаті його перетину з прямою m одержую точку G. Будую бісектрису прямого кута RGE— промінь GF. Перетин променя GF зі стороною кута дає точку В. Будую пряму l таку, що l проходить через точку В і lm. У результаті перетину прямих l і m одержую точку О. Будую на прямій l за точкою О відрізок OD = ВО. Аналогічно на прямій т будую ОС = АО. Сполучаю точки А і D, В і С та С і D. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий за побудовою;

3) Дано: AB = а— сторона ромба ABCD, b = d₁ + d₂— сума діагоналей ромба. Побудувати: ромб ABCD.

Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. Будую коло радіуса b з центром у точці А, яке в перетині з прямою m дасть точку K. Будую серединний перпендикуляр RQ відрізка АK, у результаті його перетину з прямою m одержую точку X. Будую бісектрису прямого кута RXA — промінь XY. Будую коло радіуса а з центром у точці А, яке в перетині з прямою XY дасть точку В. Будую пряму l таку, що І проходить через точку В і lm. У результаті перетину прямих l і m одержую точку О. Будую на прямій l за точкою О відрізок OD = ВО. Аналогічно на прямій m будую ОС = АО. Сполучаю точки А і В, А і D, В і С та С і D. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий за побудовою;

4) Дано: а = d₁ + d₂—- сума діагоналей ромба ABCD,— тупий кут ромба. Побудувати: ромб ABCD.

Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. Будую кут з вершиною у точці А, який дорівнює куту P₁A₁K₁. Будую бісектрису побудованого кута, на якій відкладаю відрізок АK = а. Будую серединний перпендикуляр RQ відрізка АK, у результаті його перетину з відрізком АK одержую точку G. Будую бісектрису прямого кута RGA — промінь GF. Перетин променя GF зі стороною кута дає точку В. Будую пряму l таку, що l проходить через точку В і lm. У результаті перетину прямих l і АK одержую точку О. Будую на прямій l за точкою О відрізок OD = BO. Аналогічно на прямій АK будую ОС = АО. Сполучаю точки А і D, В і С та С і D. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий за побудовою;

5) Дано: AB = а — сторона ромба ABCD, b = d₁ — d₂ — різниця діагоналей ромба. Побудувати: ромб ABCD.

Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. Будую коло радіуса b з центром у точці А, яке в перетині з прямою m дасть точку Е. Будую серединний перпендикуляр RQ відрізка АЕ, у результаті його перетину з прямою т одержую точку G. Будую бісектрису прямого кута RGE — промінь GF. Будую коло радіуса а з центром у точці А, яке в перетині з прямою GF дасть точку В. Будую пряму l таку, що l проходить через точку В і lm. У результаті перетину прямих l і m одержую точку О. Будую на прямій l за точкою О відрізок OD = BО. Аналогічно на прямій m будую ОС = АО. Сполучаю точки А і В, А і D, В і С та С і D. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий за побудовою;

161. Дано: М— середина сторони АВ ромба ABCD, N i K — основи висот, проведених з вершини В до сторони AD і з вершини D до сторони ВС відповідно. Побудувати: ромб ABCD.

Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку N. Через точку N проводжу пряму k таку, що km. Через точку К проводжу пряму l таку, що lk, у результаті перетину прямих l і k одержую точку В. Через точку K проводжу пряму р таку, що рm, у результаті перетину прямих р і m одержую точку D. Будую промінь ВМ, який у перетині з прямою m утворює точку А. Проводжу коло радіуса АВ з центром у точці D, яке в перетині з прямою l дасть точку С. Сполучаю відрізками точки А і В, В і С, С і D та А і D. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий за побудовою.

162. Нехай CAB— заданий кут, АВ = АС, DCAC, DBAB. Розглянемо прямокутні трикутники DCA і DBA (DCA = DBA = 90°). У них: 1) АС = АВ за умовою; 2) AD — спільна сторона. Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників DCA = DBA за гіпотенузою і катетом. Тому CAD = BAD як відповідні елементи рівних трикутників, звідки слідує, що AD — бісектриса кута САВ.

163. Нехай ABC— заданий трикутник, AD = AB, СЕ = ВС, DE = 18 см, BDA = 15°, BEC = 36°. Розглянемо рівнобедрений трикутник DAB (AD = АВ). За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ABD = ADB = 15°. Кут ВАС — зовнішній кут при вершині А трикутника DAB. Тому він дорівнює сумі двох інших не суміжних з ним кутів трикутника: BAC = ADB + ABD; BAC = 15° + 15° = 30°. Розглянемо рівнобедрений трикутник ЕСВ (СЕ = ВС). За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: CBE = BEC = 36°. Кут ВСА — зовнішній кут при вершині С трикутника ВСЕ. Тому він дорівнює сумі двох інших не суміжних з ним кутів трикутника: BCA = CBE + BEC; BCA = 36° + 36° = 72°. Розглянемо трикутник ABC. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: BAC + BCA + ABC = 180°; ABC = 180° - (BAC + BCA); ABC = 180° - (30° + 72°) = 78°. Р_ABC = АВ + BC + AC = DA + AC + CE = DE = 18 (см).

Відповідь. 30°, 78°, 72°; 18 см.

164. Розглянемо «найгірший» випадок, коли 100 клітинок утворюватимуть квадрат 10 х 10 клітинок. Тоді знайти 25 клітинок, які не мають спільних точок, можна, наприклад, так (див. рис.). Якщо при виборі 100 клітинок якась кількість клітинок не дотикатиметься між собою або не матиме навколо себе 8 інших клітинок, то виконати умову задачі буде ще простіше.