Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ ІV. Многокутники. Площа многокутника
23. Площа трапеції

772. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), AD = 12 см, ВС = 7 см, BF — висота, BF = 6 см. Тоді

Відповідь. 57 см².

773. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), MN— середня лінія, MN = 18 см, BF— висота, BF = 6 см. Тоді S = MN • BF; S = 18 • 6= 108 (см²).

Відповідь. 108 см².

774. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), S = 96 см², BF— висота, BF = 3 см, BC : AD = 3 : 5. Нехай BC = 3х см, тоді AD = 5x см. Тоді 24x = 192; х = 8. Отже, BC = 3 • 8 = 24 (см), тоді AD = 5 • 8 = 40 (см).

Відповідь. 24 см, 40 см.

775. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), S =45 см², AD = 8 см, BF — висота. BF = 6 см. Тоді

Відповідь. 7 см.

776. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), AD=- 16 см, ВС = 14 см, АС = 17 см. Проведемо висоту CF. За властивістю рівнобічної трапеції Розглянемо прямокутний трикутник AFC (AFC= 90°). За теоремою Піфагора AC² = AF² + CF², звідки CF² = AC² - AF²;Тоді маємо:

Відповідь. 120 см².

777. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (AD||BC, BAD = 90°), AD = 16 см, BC = 9 см. Проведемо висоту CF. Тоді ABCF— прямокутник, AF = BC як протилежні сторони. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AD = AF + FD; FD = AD - AF; FD = 16 - 9 = 7 (см). Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). За теоремою Піфагора CD² = CF² + FD², звідки CF² = CD² - FD²;Тоді маємо:

Відповідь. 50 см².

778. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), AD = 32 см, ВС = 14 см, АВ = CD = 15 см. Проведемо висоту CF. За властивістю рівнобічної трапеції Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). За теоремою Піфагора CD² = CF² + FD², звідки CF² = CD² - FD²;Тоді маємо:

Відповідь. 276 см².

779. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, AB = CD), AD = 0,8 м, ВС = 1,2 м, DF = 1,5 смсм. Проведемо висоту DF. Тоді одержимо:

Відповідь. 1,5 м².

780.

1) Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), AD = 60 см, ВС = 40 см, BAD = CDA = 45°. Оскільки кути при нижній основі рівні, то трапеція рівнобічна. Проведемо висоту BF. За властивістю рівнобічної трапеціїРозглянемо прямокутний трикутник AFB (AFB = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника BAF + ABF = 90°, звідки ABF = 90° - BAF, ABF = 90° - 45° = 45°, тому трикутник AFB — рівнобедрений, AF = BF = 10 см. Тоді

Відповідь. 500 см²;

2) нехай ABCD— трапеція (AD||BC), AD = 48 см, ВС = 32 см, АВ =10 см, BAF = 60°. Проведемо висоту BF. Розглянемо прямокутний трикутник AFB (AFB = 90°). Тоді BF = AB • sinBAF;Тоді маємо:

Відповідь.

781. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), AD = 36 см, ВС = 24 см, CD = 20 см, BCD = 150°. Проведемо висоту CF. За властивістю кутів при бічній стороні трапеції C + D = 180°; D =180° - C; D = 180° - 150° = 30°. Тоді маємо:

Відповідь. 300 см².

782. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC), АВ = CD), АС — бісектриса, MN—середня лінія, МK = 6 см, KN = 12 см. Оскільки АС— бісектриса кута А, то ВАС = CAD. BCA = CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній АС, звідки ВАС = ВСА. Тому трикутник ABC — рівнобедрений з основою АС, АВ = ВС. За аксіомою вимірювання відрізків MN = МK + KN; MN = 6 + 12= 18 (см). МK — середня лінія трикутника ABC, томуВС = 2МK; ВС = 2 • 6 = 12 (см). Аналогічно AD = 2KN; AD = 2 • 12 = 24(см). Проведемо висоту BF. За властивістю рівнобічної трапеції . Тому АВ = ВС = 6 см. Розглянемо прямокутний трикутник AFB (AFB = 90°). За теоремою Піфагора АВ² = AF² + FB², звідки BF²= АВ² - AF²; Тоді маємо:

Відповідь.

783. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (AD||BC, BAD = 90°), AD = 17 см, ВС = 9 см, АС— бісектриса кута С. Оскільки АС— бісектриса кута С, то ВСА = ACD. ВСА = CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній АС, звідки ACD = CAD. Тому трикутник ACD — рівнобедрений з основою АС, AD = CD = 17 см. Проведемо висоту CF. Тоді ABCF— прямокутник, AF = BC як протилежні сторони. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AD = AF + FD; FD = AD — AF; FD = 17 - 9 = 8 (см). Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). За теоремою Піфагора CD² = CF² + FD², звідки CF² = CD² - FD²;Тоді

Відповідь. 195 см².

784. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), АВ = 17 см, CD = 25 см, АK і DK — бісектриси кутів А і D, BM = CN = 15 см. Оскільки АK — бісектриса кута А, то ВАK = KAD. BKA = KAD як внутрішні різносторонні при паралельних і прямих AD і ВС та січній АK, звідки BAK = BKA. Тому трикутник АВK — рівнобедрений з основою АK, АВ = ВK = 17 см. Оскільки DK — бісектриса кута D, то ADK = KDC. ADK = CKD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній DK, звідки KDC = CKD. Тому трикутник CKD — рівнобедрений з основою KD, CD = KС = 25 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ВС = ВK + KС; ВС = 17 + 25 = 42 (см). ABCF— прямокутник, MN = BC = 42 (см) як протилежні сторони. Розглянемо прямокутний трикутник АМВ (AMB = 90°). За теоремою Піфагора АВ² = ВМ² + AM², звідки AM² = АВ² - ВМ²; Розглянемо прямокутний трикутник CND (CKD = 90°). За теоремою Піфагора: CD² = CN² + ND², звідки ND² = CD² - CN²;За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AD = AM + MN + ND; AD = 8 + 42 + 20 = 70 (см). Тоді

Відповідь. 840 см².

785. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), АВ = 10 см, CD = 17 см, ВK і СK — бісектриси кутів В і С, ВМ = CN = 8 см. Оскільки ВK — бісектриса кута В, то ABK = KBC. KBC = BKA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній ВК, звідки ABK = BKA. Тому трикутник АВK— рівнобедрений з основою ВK, АВ = АK = 10 см. Оскільки СK — бісектриса кута С, то BCK = KCD. BCK = CKD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній СK, звідки KCD = CKD. Тому трикутник CKD — рівнобедрений з основою КС, CD = KD = 17 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AD = АK + KD; AD = 10 + 17 = 27 (см). MBCN— прямокутник, MN = ВС як протилежні сторони. Розглянемо прямокутний трикутник АМВ (AMB = 90°). За теоремою Піфагора АВ² = ВМ² + АМ², звідки AM² = АВ² - ВМ²; Розглянемо прямокутний трикутник CND (CND = 90°).За теоремою Піфагора CD² = CN² + ND², звідки ND² = CD² - CN²;За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AD = AM + MN + ND; MN = AD — (AM + ND); MN = 27 - (15 + 6) = 6 (см). Тоді

Відповідь. 132 см².

786. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), BAD = CDA = 60°. Проведемо висоту BF. Розглянемо прямокутний трикутник AFB (AFB = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: A + ABF = 90°; ABF = 90° - A; ABF = 90° - 60° = 30°. За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, одержимо:За теоремою Піфагора АВ² = AF² + FB², звідки BF² = АВ²- AF²; Оскільки в трапецію можна вписати коло, то АВ + CD = AD + ВС; Тоді

Відповідь.

787. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), AD = 50 см, ВС = 32 см. Оскільки в трапецію можна вписати коло, то АВ + CD = AD + ВС; AD + BC = 50 + 32 = 82 (см); АВ + CD = 2АВ; 2АВ = 82; АВ = CD = 41 (см). Проведемо висоту BF. За властивістю рівнобічної трапеції одержимо:Розглянемо прямокутний трикутник AFB (AFB = 90°). За теоремою Піфагора АВ² = AF² + FB², звідки BF² = АВ² - AF²;Тоді маємо:

Відповідь. 1640 см².

788. Нехай ABCD — прямокутна трапеція (AD||BC, BAD = 90°), АВ = 8 см, DC = 45°. Проведемо висоту CF. Тоді ABCF— прямокутник, АВ = CF = 8 см як протилежні сторони. Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника FCD + D = 90°; F - CD = 90°- D; FCD = 90°- 45° = 45°. Отже, трикутник CFD — рівнобедрений з основою CD, звідки CF = FD = 8 см. За теоремою Піфагора CD² = CF² + FD²; Оскільки в трапецію можна вписати коло, то АВ + CD = AD + ВС; Тоді

Відповідь.

789. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (AD||BC, BAD = 90°), CD = 28 см, ADC = 30°. Проведемо висоту CF. Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо: Тоді ABCF— прямокутник, AB = CF = 14 см як протилежні сторони. Оскільки в трапецію можна вписати коло, то АВ + CD = AD + ВС; AD + ВС = 14 + 28 = 42 (см). Тоді

Відповідь. 294 см².

790. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), MN— середня лінія, MK = KN. Проведемо висоту BF. МК— середня лінія трапеції ABXY, KN— середня лінія трапеції YXCD. Тоді за наслідком з теореми про площу трапеції маємо: S_ABXY = МK • BF; S_YXCD = KN • BF. Врахувавши, що МK = KN, маємо: S_ABXY = S_YXCD, тобто трапеції рівновеликі.

791.

1) Дано: Трапеція, AD і ВС— основи, BF— висота. Побудувати: рівновеликий паралелограм.

Схема побудови. Будую у трапеції ABCD середню лінію MN. Для цього достатньо побудувати серединні перпендикуляри до її бічних сторін і сполучити точки перетину серединних перпендикулярів з основами відрізком MN. Проводжу в трапеції висоту BF. Будую довільну пряму m і вибираю на ній довільну точку А. Через точку А проводжу пряму nm. Будую коло з центром у точці А радіуса BF, яке в перетині з прямою n дасть точку F. Через точку F проводжу пряму kn, на якій вибираю довільну точку В. Будую коло з центром у точці А радіуса MN, яке в перетині з прямою m дасть точку D, і коло з центром у точці В радіуса MN, яке в перетині з прямою k дасть точку С. Сполучаю відрізком точки С і D. Паралелограм ABCD — шуканий, бо S_тр. = MN • BF, S_пар. = AD • AF;

2) Дано: Трапеція, AD і ВС— основи, BF— висота. Побудувати: рівновеликий прямокутник.

Схема побудови. Будую у трапеції ABCD середню лінію MN. Для цього достатньо побудувати серединні перпендикуляри до її бічних сторін і сполучити точки перетину серединних перпендикулярів з основами відрізком MN. Проводжу у трапеції висоту BF. Будую довільну пряму m і вибираю на ній довільну точку А. Через точку А проводжу пряму nm. Будую коло з центром у точці А радіуса BF, яке в перетині з прямою n дасть точку В. Через точку В проводжу пряму kn. Будую коло з центром у точці А радіуса MN, яке в перетині з прямою m дасть точку D, і коло з центром у точці В радіуса MN, яке в перетині з прямою k дасть точку С. Сполучаю відрізком точки С і D. Прямокутник ABCD— шуканий, бо S_тр. = MN • BF, S_пр. = AD • AB.

792. Дано: Трапеція, AD і ВС — основи, BF— висота Побудувати: рівновеликий трикутник.

Схема побудови. Будую довільну пряму m і вибираю на ній довільну точку А. Через точку А проводжу пряму nm. Будую коло з центром у точці А радіуса BF, яке в перетині з прямою n дасть точку В. Будую коло з центром у точці А радіуса AD, яке в перетині з прямою m дасть точку D, і коло з центром у точці D радіуса ВС, яке в перетині з прямою m дасть точку С. Сполучаю відрізком точки С і В. Трикутник ABC — шуканий, бо S_тр. = MN •BF,

793. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, AB = CD), AD = 40 см, ВС = 24 см, ACCD. За властивістю рівнобічної трапеції одержимо: Розглянемо прямокутний трикутник ACD (ACD = 90°). За метричним співвідношенням у прямокутному трикутнику маємо: CF² = AF • FD;Тоді маємо:

Відповідь. 512 см².

794. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (AD||BC, AB = CD), АВ = CD = 15 см, (О; R) — описане коло, R = 12,5 см, ACCD. Оскільки ACD = 90°, то трикутник ACD — прямокутний, тому центр кола, описаного навколо трикутника, міститься на середині гіпотенузи. Тоді АО = OD = R = 12,5 см, звідки AD = 2AO; AD = 2 • 12,5 = 25 (см). За метричним співвідношення у прямокутному трикутнику ACD маємо: CD² = AD • FD;За аксіомою вимірювання відрізків AD = AF + FD; AF= AD - FD; AF = 25 — 9 = 16 (см). За метричним співвідношення у прямокутному трикутнику ACD маємо: CF² = AF • FD;За властивістю рівнобічної трапеції одержимо: Тоді маємо:S = AF • CF; S= 16 • 12 = 192 (см²).

Відповідь. 192 см².

795. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), ACBD, АС = 48 см, MN— середня лінія, MN = 25 см. Побудуємо висоту трапеції CF і пряму CK||BD. Чотирикутник BCKD — паралелограм, звідки ВС = DK, BD = СK як протилежні сторони паралелограма; ACBD, CK|BD, тому АССK. За теоремою про середню лінію трапеціїAD + ВС = 2MN; AD + ВС = 2 • 25 = 50 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AK = AD + DK = AD + ВС; АK = 50 (см). Трикутники ABC і CDK мають рівні сторони ВС і DK і спільну висоту CF, тому вони є рівновеликими, S_abc = S_CDK. Розглянемо прямокутний трикутник АСK (ACK = 90°). За теоремою Піфагора АK² = АС² + СK², звідки СK² = АK² - АС²;Тоді маємо:

Відповідь. 336 см².

796. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), ВС = а, АС — бісектриса, ACCD. Оскільки АС — бісектриса кута А, то ВАС = CAD. CAD = АСВ як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. Тому ВАС = АСВ, звідки маємо, що трикутник ВСА— рівнобедрений з основою АС, тому АВ = ВС = а. Нехай CAD = x, тоді BAD = 2х. Оскільки CDA = BAD як кути при основі рівнобічної трапеції, то CDA = 2х. Розглянемо прямокутний трикутник ACD (ACD = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника CAD + CDA = 90°; х + 2х = 90°; 3х = 90°; х = 30°. Отже, CAD = 30°, тоді CDА = 2 • 30° = 60°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:AD = 2CD; AD= 2 • а = 2а. Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). CF = CD • sinCDF;Тоді маємо:

Відповідь.

797. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), (О; R) — вписане коло, АМ = 9 см, MB = 4см. За властивістю відрізків дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо: ВМ = ВР = 4 cm, AM = АK = 9 см. Оскільки трапеція рівнобічна, то AD = 2АK; AD = 2 • 9 = 18 (см); ВС = 2ВР; ВС = 2 • 4 = 8 (см). Проведемо висоту CF. За властивістю рівнобічної трапеції одержимо:Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). За теоремоюПіфагора маємо: CD² = CF² + FD², звідки CF² = CD² - FD²; Тоді маємо:

Відповідь. 156 см².

798. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (AD||BC, BAD = 90°), (О; R) — вписане коло, R= 12 см, ND = 16 см. За властивістю вписаного кола АK = АМ = МВ = BP = ON = 12 см. За властивістю відрізків дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо: DK = DN = 16 см, CP = CN. За аксіомою вимірювання відрізків AD = АK + KD, AD = 12+ 16 = 28 (см). Розглянемо прямокутний трикутник COD (COD = 90°). За метричним співвідношенням у прямокутному трикутнику ОМ² = CN • ND;За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВР + PC; ВС = 12 + 9 = 21 (см). AB = 2R; AB = 2 • 12 = 24 (см). Тоді

Відповідь. 588 см².

799. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (AD||BC, AB = CD), BM = 15 см, MF = 12 см, АВ = ВС. За аксіомою вимірювання відрізків BF = BM + MF; BF= 15 + 12 = 27 (см). Оскільки AB = ВС, то трикутник ABC — рівнобедрений з основою АС, звідки ВАС = BCA як кути при основі рівнобедреного трикутника. BCA = CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній АС, тому BAC = CAD, а це означає, що АС — бісектриса кута А. Розглянемо прямокутний трикутник AFB (AFB = 90°). За властивістю бісектриси маємо:Нехай АВ = 5х см, тоді AF= 4х см. За теоремою Піфагора маємо: AB² = BF³ + AF²; (5х)² = 27² + (4х)²; 25x² = 729 + 16х²; 9х² = 729; х² = 81; х = 9. Отже, АВ = 5 • 9 = 45 (см), тоді AF = 4 • 9 = 36 (см). За властивістю рівнобічної трапеції одержимо:AD = 2AF + BC; AD = 2 • 36 + 45 = 117 (см). Тоді

Відповідь. 2187 см².

800. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (AD||BC, BAD = 90°), СM = 15см, MF= 9см, CD-BC. За аксіомою вимірювання відрізків CF = CM + MF; CF = 15 + 9 = 24(см). Оскільки CD = BC, то трикутник BCD— рівнобедрений з основою BD, звідки CBD = CDB як кути при основі рівнобедреного трикутника. CBD = BDA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній BD, тому CDB = BDA, а це означає, що BD — бісектриса кута D. Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). За властивістю бісектриси маємо:Нехай DC = 5x см, тоді DF= 3x см. За теоремою Піфагора маємо: DC² = CF² + DF²; (5х)² = 24² + (3x²; 25x² = 576 + 9х²; 16х² = 576; х² = 36; х = 6. Отже, DC = 5 • 6 = 30 (см), тоді DF = 3 • 6 = 18 (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AD = AF + FD = BC + FD, AD = 30 + 18 = 48 (см). Тоді

Відповідь. 936 см².

801. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), AM = MB, S — площа трапеції. Проведемо висоту BF і середню лінію MN. Якщо АМ = MB, то за теоремою Фалеса BR = RF. За наслідком з теореми про площу трапеції маємо: S = MN • BF. S_CMD = S_CMN + S_NMD. Проведемо висоти СK і DP трикутників CMN і NMD. Маємо:

Відповідь.

802. Нехай ABCD — паралелограм, P_ABCD = 50 см, P_ABD = 40 см, AD = BD. Нехай АВ = х см, AD = y см. Тоді P _ABCD = 2(AB + AD); 50 = 2(х + y); x + y = 25; P_ABD = AB + BD + AD; 40 = x + y + y; 40 = 25 + y; y = 40 — 25 = 15. Тоді x + 15 = 25; x = 10. Отже, AB= 10 см, AD = 15 см.

Відповідь. 10 см, 15 см.

803. Нехай ABCD— ромб, (О; R) — коло, d = АС, АМ = МВ. Діагоналі ромба перпендикулярні, тому трикутник АОВ— прямокутний. Оскільки AM = МВ, то ОМ— медіана. За властивістю медіани прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, маємо:звідки ОМ = АМ. Тоді трикутник АОМ — рівносторонній, бо ОА = ОМ як радіуси, ОМ = AM за доведеним вище. Тоді OAM = AMO = AOM = 60°. Розглянемо прямокутний трикутник АОВ (AOB = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника OAM + ABO = 90°; ABO = 90° - OAM; ABO = 90° - 60° = 30°. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, тому DAB = 2OAM; DAB = 2 • 60°= 120°; ABC = 2ABO; ABC = 2 • 30° = 60°.

Відповідь. 120°, 60°, 120°, 60°.

804. Нехай ABC — трикутник, M∈AB, K∈BC, D∈AC, MK||AC, DK||AB, BK : KС = 3 : 2, AC = 15 см, AB = 25 см. Оскільки MK||AC, то MBK ~ ABC, звідки за властивістю подібних трикутниківНехай ВK = 3х см, тоді KС = 2х см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВK + KС; ВС = 3х + 2х = 5х (см). Маємо: Чотирикутник AMKD— паралелограм, бо МK||АС, DK||AB за умовою. За аксіомою вимірювання відрізків AB = АМ + MB; АМ = АВ - MB; AM = 25 - 15 = 10 (см). P = 2(AM + MK); P = 2(10 + 9) = 2 • 19 = 38 (см).

Відповідь. 38 см.

805. He можна. Діагональ квадрата, сторона якого дорівнює 1 см, за теоремою Піфагора дорівнює а це менше від 1,5 см. Тому квадрат, сторона якого дорівнює 1 см, можна покрити тільки одну вершину квадрата, сторона якого дорівнює 1,5 см.