Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ ІV. Многокутники. Площа многокутника
21. Площа паралелограма

697. Нехай ABCD— паралелограм, AD = 14 см, ВK— висота, ВK = 6 см. Тоді S = AD • BK; S = 14 • 6 = 84 (см²).

Відповідь. 84 см².

698.

а) Нехай ABCD — паралелограм, ВС = 5,2 см, ВK — висота, ВK = 4 см. Тоді S = ВС • ВK; S = 5,2 • 4 = 20,8 (см²);

б) нехай ABCD — паралелограм, CD = 3,6 см, СН — висота, СН = 5 см. Тоді S = CD • СН; S = 3,6 • 5 = 18 (см²).

Відповідь, а) 20,8 см²; б) 18 см².

699. S_а) = 3 • 2 = 6 (кв. од.); S_б) = 4 • 2 = 8 (кв. од.); S_в) = 4 • 2 = 8 (кв. од.); S_Г) = 2 • 3 = 6 (кв. од.); S_r) = 4 • 2 = 8 (кв. од.); S_д) = 6 • 1 = 6 (кв. од.); S_е) = 2 • 3 = 6 (кв. од.); S_є) = 1,5 • 4 = 6 (кв. од.); S_ж) = 8 • 1 = 8 (кв. од.). Отже, рівновеликими є паралелограми а), г), д), е), є), площі яких дорівнюють по 6 кв. од., та б), в), г), ж), площі яких дорівнюють по 8 кв. од.

700.

701. Нехай ABCD— паралелограм, AD = 3,4 см, S = 17 см². Проведемо висоту ВK. Тоді S = AD • ВK;

Відповідь. 5 см.

702. Нехай ABCD— паралелограм, ВK і ВМ— висоти, S = 40 см², ВK = 4 см, ВМ = 5 см. Тоді S = AD • ВK; S = CD • BM;

Відповідь. 10 см, 8 см.

703.

1) S = ah; S = 6,2 • 7 = 43,4 (см²);

2) S = ah;

3) S = ah;

704.

1)

1) Нехай ABCD— паралелограм, BK і BM — висоти, AD = 10 см, DC = 15 см, BK = 6 см. Тоді S = AD • BK; S = 10 • 6 = 60 (см²); S = DC • BM;

2) нехай ABCD— паралелограм, BK і BM— висоти, AD = 10 см, DC = 15 см, BM = 6 см. Тоді S = DC • BM; S = 15 • 6 = 90 (см²); S = AD • BK;

2)

1) нехай ABCD — паралелограм, BK і BM— висоти, AD = 10 см, DC = 15 см, BK = 12 см. Тоді S = AD • BK; S = 10 • 12 = 120(см²); S = DC • BM;

2) нехай ABCD— паралелограм, ВK i BM— висоти, AD = 10 см, DC = 15 см, BM = 12 см. Тоді S = DC • BM; S = 15 • 12 = 180 (см²); S = AD • BK;

Відповідь, a) 4 см або 9 см; б) 8 см або 18 см.

705. Нехай ABCD — паралелограм, AD = 25 см, AB = 15 см, BD — діагональ, BDAB. Проведемо з вершини В висоту ВK, яка е висотою паралелограма і прямокутного трикутника ABD (ABD = 90°). За метричним співвідношенням у прямокутному трикутнику ABD маємо: AB²= АK • AD;За аксіомою вимірювання відрізків AD = AK + KD; KD = AD - AK; KD = 25 - 9 = 16 (см). За метричним співвідношенням у прямокутному трикутнику ABD маємо: ВK² = АK • KD;Тоді площа паралелограма ABCD: S = AD • BK; S = 25 • 12 = 300 (см²).

Відповідь. 300 см².

706. Нехай ABCD— паралелограм, АС і BD— діагоналі, АС = 26 см, BD = 24см, BDAB. Проведемо з вершини В висоту паралелограма ВK. Діагоналі паралелограма перегинаються і точкою перетину діляться навпіл, томуРозглянемо прямокутний трикутник ABO (ABO = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АО² = АВ² + ВО², звідки АВ² = АО²- ВО²;Розглянемо прямокутний трикутник ABD (ABD = 90°). За теоремою Піфагора маємо: AD² = AB² + BD²;За метричним співвідношенням у прямокутному трикутнику ABD маємо: АВ² = АK • AD;Розглянемо прямокутний трикутник АKВ (AKB = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АK² + ВK², звідки ВK² = АВ² - АК²;Тоді площа паралелограма дорівнює: S = AD • ВK;

Відповідь. 120 см².

707. Нехай ABCD — паралелограм, BD — діагональ, BD = 18 см, BDAB, ADB = 30°. Проведемо з вершини В висоту паралелограма ВK. ADB = DBC як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній BD. Розглянемо прямокутний трикутник BKD (BKD = 90°). Маємо: BK = BD • sinBDH; KD = BD • соsBDH;За метричним співвідношенням у прямокутному трикутнику ABD маємо: BD²= AD • KD; Тоді площа паралелограма дорівнює: S = AD • ВK;

Відповідь.

708. Нехай ABCD — паралелограм, AD = а і AB = b, BAD = α. Проведемо з вершини В висоту паралелограма ВK. Розглянемо прямокутний трикутник АKВ (AK = KВ = 90°). Маємо: ВK = АВ • sinВАК; ВK = bsinα. Тоді площа паралелограма дорівнює: S = AD • ВK; S = absinα.

Відповідь, absinα.

709. Нехай ABCD — паралелограм, ВK і ВМ — висоти, ВK = 8 см, ВМ = 12 см, KBM = 60°. За теоремою про суму кутів чотирикутника для чотирикутника KBMD маємо: K + B + M+ D= 360°; D = 360° - (K + B + M); D = 360°- (90° + 60° + 90°) = 120°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї егорони паралелограма, D + C = 180°; C = 180° - D; C = 180° - 120° = 60°. Розглянемо прямокутний трикутник BMC (BMC = 90°).За властивістю сторін паралелограма Тоді площа паралелограма дорівнює: S = AD • BK;

Відповідь.

710. Нехай ABCD — паралелограм, ВK і ВМ— висоти, АВ = 14 см, AD = 20 см, KBM = 45°. За теоремою про суму кутів чотирикутника для чотирикутника KBMD маємо: K + B + M + D= 360°; D = 360° - (K + B + M); D = 360° - (90°+ 45°+ 90°) = 135°. За властивістю кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, D + C = 180°; C = 180° - D; C = 180° - 135° = 45°. За властивістю протилежних кутів паралелограма A - C = 45°. Розглянемо прямокутний трикутник АKВ (AKB = 90°). ВK = АВ • sinBAK; Тоді площа паралелограма дорівнює: S = AD • ВK;

Відповідь.

711. Нехай ABCD— ромб, ВМ— висота, ВМ = 6 см, АС = 10 см. Проведемо діагональ BD ромба із точки перетину діагоналей опустимо перпендикуляр ON. Тоді Діагоналі ромба перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, томуРозглянемо прямокутний трикутник ANO (ANO = 90°). За теоремою Піфагора маємо: AO² = AN² + ON², звідки AN² = АO² - ON²;За метричним співвідношенням у прямокутному трикутнику AOD маємо: ON² = AN • ND;. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AN + ND; AN = 4 + 2,25 =6,25 (см). Тоді площа паралелограма дорівнює: S = AD • ВМ; S = 6,25 • 6 = 37,5 (см²).

Відповідь. 37.5 см².

712. Нехай ABCD — ромб, BD — діагональ, BD = a, BAD = 60°. Проведемо висоту ромба BN. Оскільки AB = AD як сторони ромба, то трикутник BAD — рівнобедрений з основою BD. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника ABD = ADB = (180° - 60°) : 2 = 60°, тобто трикутник ABD — рівносторонній, AB = AD = BD = а. Розглянемо прямокутний трикутник ANВ (ANВ = 90°). BN = АВ • sinBAN;Тоді площа паралелограма дорівнює: S = AD • BN;

Відповідь.

713. Нехай ABCD — ромб, ВK і ВМ — висоти. S = AD • ВK; S= CD • ВМ; AD = ВK = CD • ВМ;. Отже, висоти обернено пропорційні сторонам, до яких вони проведені.

714. Нехай ABCD — ромб, ВK і ВМ— висоти, ВK + ВМ = 14 см, CD = 9 см, AD = 12см. S = AD • BK; S = CD • BM; AD • BK = CD • BM. Нехай ВK = х см, тоді ВМ = (14 - х) см. Рівняння: 12х = 9(14 - х); 12х = 126 — 9x; 21x = 126; x = 6. Отже, ВK = 6 см, тоді ВМ = 14 - 6 = 8 (см). Тоді площа паралелограма дорівнює: S = AD • ВK; S = 12 • 6 = 72 (см²).

Відповідь. 72 см².

715. Нехай ABCD— ромб, ВK і ВМ— висоти, AD = CD = 12 см, ВK = 10 см, ВМ = 15 см. S = AD • BK; S = CD • BM; AD • BK = CD • ВМ. Нехай CD = x см, тоді AD = (12 + x) см. Рівняння: (12 + x) • 10 = х • 15; 120 + 10x = 15x; 5x = 120; x = 24. Отже, CD = 24 см, тоді AD = 12 + 24 = 36 (см). Тоді площа паралелограма дорівнює: S = AD • ВK; S = 36 • 10 = 360 (см²).

Відповідь. 360 см².

716. Нехай ABCD — паралелограм, AD = а і AB = b, BAD = α. Проведемо з вершини В висоту паралелограма ВK. Розглянемо прямокутний трикутник АKВ (AK = KВ = 90°). Маємо: ВK = АВ • sinВАK; ВK = bsinα. Тоді площа паралелограма дорівнює: S = AD • ВK; S = absinα. Найбільше значення площа матиме у випадку, коли sina = 1, тобто a = 90°, а це означає, що у паралелограма один з кутів дорівнює 90°, тобто паралелограм є прямокутником.

717. Нехай АСВ — прямокутний трикутник, C = 90°, АС = 7 см, ВС = 24 см, AM— бісектриса. Розглянемо прямокутний трикутник АСВ. За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АС² + ВС²; = За означенням тригонометричних функцій маємо: Оскільки AM — бісектриса, то за властивістю бісектрисиЗа аксіомою вимірювання відрізків маємо: СВ = СМ + MB; MB = СВ - CM; MB = 24 - CM. Нехай CM = xсм, тоді MB = (24 - x) см. 7(24 - x) = 25x; 168 - 7x = 25x; 32x = 168; x = 5,25. Отже, CM = 5,25 см, тоді MB = 24 - 5,25 = 18,75 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ACM. За теоремою Піфагора маємо: AM² = АС² + СМ²; За означенням тригонометричних функцій маємо:

718. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), AM і СK — медіани, АМ = 21 см. За означенням медіани маємо:звідки АK = KB = ВМ = МС. Розглянемо трикутники АМВ і СKВ. У них: 1) В — спільний; 2) KВ = ВМ за доведеним вище; 3) АВ = ВС за умовою. Тому АМВ = СKВ за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тоді AM = СK як відповідні елементи рівних трикутників. За властивістю медіани маємо:звідки АО = СО, тому трикутник АОС — рівнобедрений.

Відповідь. 14 см.

719. Нехай ABC — трикутник, AM— медіана, AD : DM = 1 : 3, KN||АС. За означенням медіани маємо:Нехай AD = х см, тоді DM = 3x см. За аксіомою вимірювання відрізків АМ = AD + DM; АМ = х + 7; х = 4х (см). Розглянемо трикутники АМС і DMN. Оскільки AC||KN, то АМС ~ DMN, тому За аксіомою вимірювання відрізків MC = MN + NC; NC = MC • MN; ВС = BN + NC; BN = ВС - NC = 2МС - NC. Нехай МС = 4у см, тоді МN = 3у см. NC = 4у - 3у = у (см); BN = 2 • 4у -у = 8у - у = 7у(см).

Відповідь. NC : BN = 1 : 7.

720. В опуклому n-кутнику можна провести всьогодіагоналей, тому в дев’ятикутнику буде(діагоналей). Проведемо прямі, паралельні усім діагоналям, так, щоб вони перетиналися в одній точці. Тоді вони розіб’ють площину на 27 • 2 = 54 (кути), які в сумі становлять 360°. Навіть за умови рівності всіх кутів вони дорівнювали бОтже, в опуклому дев’ятикутнику обов’язково знайдуться дві діагоналі, кут між якими менший за 7°.