Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ ІV. Многокутники. Площа многокутника
19. Многокутники

641. ABCDEFG— семикутник. Вершини: А, В, С, D, E, F, G; сторони: AB, ВС, CD, DE, EF, FG, AG; діагоналі: АС, AD, AE, AF. Діагоналі розділили семикутник на п’ять трикутників: ABC, ACD, ADE, AEF, AFG.

642. Див. рис. ABCDEF — шестикутник.

643. Див. рис. ABCDE — п’ятикутник.

644. Див. рис. ABCDEFGH — восьмикутник. Щоб поділити коло на 8 рівних дуг, потрібно побудувати центральні кути покожна пара сусідніх з яких має одну спільну сторону.

645. Див. рис. ABCDEFGHLMNK — дванадцятикутник. Щоб поділити коло на 12 рівних дуг, потрібно побудувати центральні кути по кожна пара сусідніх з яких має одну спільну сторону.

646. Нехай АВ = х см, ВС = (х + 1) см, CD = (х + 2) см, DE = (х + 3) см, АЕ = (х + 4) см. Рівняння: х + (х + 1) + (х + 2) + (х + 3) + (х + 4) = 100; 5х + 10 = 100; 5 x = 90; х = 18. Отже, АВ = 18 см, ВС = 18 + 1 = 19 (см), CD = 18 + 2 = 20 (см), DE = 18 + 3 = 21 (см), AE = 18 + 4 = 22 (см).

Відповідь. 18 см, 19 см, 20 см, 21 см, 22 см.

647. За теоремою про суму кутів опуклого многокутника маємо:

1) 180°(n - 2); n = 5, тоді 180°(n - 2) = 180°(5 - 2) = 180° • 3 = 540°;

2) 180°(n - 2); n = 8, тоді 180°(n - 2) = 180°(8 - 2) = 180° • 6 = 1080°;

3) 180°(n - 2); n = 24, тоді 180°(n - 2) = 180°(24 - 2) = 180° • 22 = 3960°.

Відповідь. 1) 540°; 2) 1080°; 3) 3960°.

648. За теоремою про суму кутів опуклого многокутника маємо:

1) 180°(n - 2); n = 9, тоді 180°(n - 2) = 180°(9 - 2) = 180° • 7 = 1260°;

2) 180°(n - 2); n = 16, тоді 180°(n - 2) = 180°(16 - 2) = 180° • 14 = 2520°.

Відповідь. 1) 1260°; 2) 2520°.

649. За теоремою про суму кутів опуклого многокутника маємо:

1) 180°(n - 2) = 1800°; n - 2 = 1800° : 180°; n - 2 = 10; n = 10 + 2; n = 12. Отже, оскільки л є натуральним числом, то такий многокутник існує і він є дванадцятикутником;

2) 180°(n - 2) = 720°; n - 2 = 720° : 180°; n - 2 = 4; n = 4 + 2; n = 6. Отже, оскільки n є натуральним числом, то такий многокутник існує і він є шестикутником;

3) 180°(n - 2) = 1600°; n — 2 = 1600° : 180°; Отже, оскільки n не є натуральним числом, тому такий многокутник не існує.

650. За теоремою про суму кутів опуклого многокутника маємо:

1) 180°(n - 2) = 150° • n; 180n - 360 = 150n; 30n = 360; n = 12. Отже, оскільки n є і натуральним числом, то такий многокутник існує і він є дванадцятикутником;

2) 180°(n - 2) = 100° • n; 180n - 360 = 100n; 80n = 360; n = 4,5. Отже, оскільки n не є натуральним числом, то такий многокутник не існує.

651. За теоремою про суму кутів опуклого п’ятикутника маємо: 180°(лn - 2); n = 5; і 180°(5 - 2) = 180° - 3 = 540°. Тоді A + B + C + B + E = 116° + 98° + 124° + 102° + 130° = 570°. Оскільки 570° ≠ 540°, то вимірювання виконано неправильно.

652. Нехай A = 3х, тоді B = 3х, C = 4х, D = 4х, E = 5х, F = 5х. За теоремою про суму кутів опуклого шестикутника маємо: 180°(n - 2); n = 6; 180°(6 - 2) = 180°- 4 = 720°. Тоді A + B + C+ D + E + F = 720°; 3х + 3х + 4х + 4х + 5х + 5х = 720°; 24х = 720°; х = 30°. Отже, A = 3 • 30° = 90°, тоді B = 3 • 30° = 90°, C = 4 • 30°= 120°, D = 4 • 30° = 120°, E = 5 • 30° = 150°,F = 5 • 30°= 150°.

Відповідь. 90°, 90°, 120°, 120°, 150°, 150°.

653. Нехай A = 6х, тоді B = 7x, C = 8x, D = 9x, E = 9x, F = 10x, G = 11x. 3a теоремою про суму кутів опуклого семикутника маємо: 180°(n - 2); n = 7; 180°(7 - 2) = 180° • 5 = 900°. Тоді A + B + C + D + E + F +G = 900°; 6х + 7х + 8х + 9х + 9х + 10x + 11х = 900°; 60х = 900°; х = 15°. Отже, A = 6 •15° = 90°, тоді B = 7 • 15° = 105°, C = 8 •15° = 120°, D = 9 • 15° = 135°, E = 9 • 15° = 135°, F= 10 • 15° = 150°, G = 11 • 15° =165°.

Відповідь. 90°, 105°, 120°, 135°, 135°, 150°, 165°.

654. У n-кутнику можна провести з однієї вершини n - 3 діагоналі, а з усіх вершин — діагоналей. Тому: 1) у дев’ятикутнику можна провести(діагоналей); 2) удвадцятикутнику можна провести (діагоналей); 3) у n-кутнику можна провести(діагоналей).

655. У n-кутнику можна провестидіагоналей. Тому: n(n - 3)= 108; n² — 3n - 108 = 0; n₁ = 12, n₂ = -9 — не задовольняє умову задачі. Отже, даний многокутник є дванадцятикутником. Тоді сума його кутів дорівнює 180°(n - 2) = 180°(12 - 2) = 180° - 10 = 1800°.

Відповідь. 12 сторін; 1800°.

656. Нехай ABCDE... — многокутник, вписаний у коло, АВ = ВС = CD = DE = .... Тоді ОАВ = ОВС = OCD = ODE = ... за трьома сторонами (за III ознакою рівності трикутників), бо ОА = ОВ = ОС = OD = ОЕ = .... Тоді OAB = ABO = OBC = OCB = OCD = ODC = ODE = OED = ... як відповідні елементи рівних трикутників. Це означає, що відрізки ОA, ОВ, ОС, OD, ОЕ,... — бісектриси кутів многокутника, тому A = B = C = D = ...

657. Нехай ABCDE... — многокутник, описаний навколо кола, A = B = C = D = E = .... Центр вписаного в многокутник кола міститься в точці перетину бісектрис трикутника. За означенням бісектриси кута маємо: A₁BO = OBB₁ B₁CO = OCC₁, C₁DO = ODD₁, D₁EO = OEE₁, ..., тому трикутники ABO, BCO, CDO, DEO, ... рівнобедрені за властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника. Проведемо радіуси кола в точки дотику. Тоді ОААВ, ОВВС, OCCD, ODDE, .... Тоді ОА₁ — висота рівнобедреного трикутника ОАВ, яка є одночасно медіаною, звідки АА₁ = А₁В. Аналогічно BB₁ = В₁С, CC₁ = C₁D, DD₁ = D₁E, .... Розглянемо прямокутні трикутники ОА₁В і ОСВ₁. У них: 1) OBA₁ = OBB₁ за означенням бісектриси; 2) ОВ— спільна сторона. Тому ОА₁В - ОСВ₁, звідки A₁B = ВВ₁ як елементи рівних трикутників. Аналогічно можна показати, що В₁С = СС₁, C₁D = DD₁, ... . Тому АВ = ВС = CD = DE ... .

658. Нехай ABCDE— п’ятикутник, АВ = ВС = CD = DE = АЕ, BAE = DEA = 90°. Проведемо діагональ BD п’ятикутника, тоді ABDE — квадрат, BD =AE, ABD = BDE = 90°. Далі, трикутник BCD — рівносторонній, звідки CBD = BCD = CDB = 60°. За аксіомою вимірювання кутів ABC = ABD + DBC; A = ВС = 90° + 60° = 150°. Аналогічно CDE = 150°.

Відповідь. 150°, 60°, 150°.

659. За теоремою про суму кутів опуклого многокутника маємо: 180°(n - 2). Якщо в цьому многокутнику 3 кути дорівнюють по 100°, а решту— (n - 3) кути— по 120°, то маємо рівняння: 3 • 100° + (n - 3) • 120° = 180°(n - 2); 300 + 120n - 360 = 180n - 360; 60n = 300; n = 5. Отже, даний многокутник є п’ятикутником.

660. Нехай ABCDEF— опуклий шестикутник, A = B = C= D = E = F. За теоремою про суму кутів опуклого шестикутника маємо: 180°(n - 2) = 180°(6 - 2) = 180° • 4 = 720°, а кожен з кутів дорівнює по 720° : 6 = 120°. Проведемо через сторони ВС і FE шестикутника пряму MN. Тоді сума кутів п’ятикутника ABMNF дорівнює 180°(n - 2) = 180°(5 - 2) = 180° • 3 = 540°. Тоді A + B + BMN + MNF + F = 540°; 120° + 120° + BMN + MNF + 120° = 540°; BMN + MNF = 180°. Ці кути є внутрішніми односторонніми при прямих ВС і FE та січній MN, тому за ознакою паралельності прямих BC||FE. Аналогічно можна довести, що AB||DE і AF||CD.

661. Нехай ABCDE — опуклий п’ятикутник, A = B = C = D = E. За теоремою про суму кутів опуклого п’ятикутника маємо: 180°(n - 2) = 180°(5 - 2) = 180° • 3 = 540°, а кожен з кутів дорівнює по 540° : 5 = 108°. Проведемо через сторони AB і CD п’ятикутника пряму MN. Тоді сума кутів п’ятикутника AMNDE дорівнює 180°(n - 2) = 180°(5 - 2) = 180° - 3 = 540°. Тоді A + AMN + MND + D + E = 540°; 108° + AMN + MND + 108°+ 108° = 540°; BMN + MNF = 216°. Ці кути є внутрішніми односторонніми при прямих AB і CD та січній MN, тому оскільки BMN + MNF = 216° ≠ 180°, прямі AB і CD не паралельні. Аналогічно можна довести це твердження і для інших пар прямих.

662. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (AB = CD, AD||BC), АС — діагональ, BCA = ACD, MN— середня лінія, MK = 7 см, KN = 11 см. MK— середня лінія трикутника ABC, звідкиВС = 2МK; ВС = 2 • 7 = 14 (см). KN — середня лінія трикутника ACD, звідкиAD = 2KN; AD = 2 • 11 = 22 (см). BCA = CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній АС, тому трикутник ACD— рівнобедрений з основою АС, CD = AD = 22 (см). AB = CD = 22 см як бічні сторони рівнобічної трапеції. P_ABCD= АВ + BC + CD + AD; P_ABCD= 22 + 14 + 22 + 22 = 80 (см).

Відповідь. 80 см.

663. Нехай ABC — прямокутний трикутник (ABC = 90°), BF— медіана, BF = 13 см, BD — висота, BD = 12 см. За властивістю медіани прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи,маємо: АС = 2BF; АС = 2 • 13 = 26 (см). За означенням медіани Розглянемо прямокутний трикутник BDF. За теоремою Піфагора BF² = BD² + DF²; DF² = BF² - BD²; . За аксіомою вимірювання відрізків AF = AD + DF; AD = AF -DF; AD = 13 - 5 = 8 (см); АС = AD + DC; DC = AC - AD, DC = 26 - 8 = 18 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ВDA (BDA = 90°).За теоремою Піфагора AB² = BD² + AD²; Розглянемо прямокутний трикутник BDC (BDC = 90°). За теоремою Піфагора ВС² = BD² + DC²;Тоді Р_АВС = АВ + ВС + АС;

Відповідь.

664. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), AD — бісектриса, CD = 6 см, DB = 10 см. За властивістю бісектриси трикутникаНехай АС = 3х см, тоді АВ = 5x см. За аксіомою вимірювання відрізків BC = BD + DC; ВС = 10 + 6 = 16 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ABC. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС²; (5x)² = (3х)² + 16²; 25x² = 9x² + 256; 16x² = 256; x² = 16; х = 4. Отже, АС = 3 • 4 = 12 (см), тоді АВ = 5 • 4 = 20 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ACD.За теоремою Піфагора AD² = AC² + CD²; Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, міститься на середині гіпотенузи, тому

Відповідь.

665. Нехай M1_, М₂, ..., M₁₀₀₀ — дані точки, X— деяка точка кола, Y— діаметрально протилежна їй точка, х_i — відстань від точки М, до точки X, у_i — відстань від точки М, до точки Y. x_i + y_i ≥XY = 2, до того ж рівність виконується лише для двох значень коли точка М, збігається з точками X або Y. (х₁ + x₂ + ... + x1000) + (y₁ ⁺ y² + … + y₁₀₀₀) ≥ 2 • 1000 = 2000. Отже, х₁ + х₂ + ... + x₁₀₀₀ > 1000 або y₁ + y2 + ... + y₁₀₀₀ > 1000.