Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ ІІ. Подібність трикутників
14. Друга та третя ознаки подібності трикутників

489. Розглянемо трикутники ABC і AED. У них: 1) A— спільний; 2) Отже, ABC ~ AED за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників).

490. Розглянемо трикутники AED і ABC. У них: 1) ALA — спільний; 2) Отже, АВС ~ AED за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому

Відповідь. 12 см.

491. Розглянемо трикутники ABC і KВМ. У них: 1) АВС = KBM як вертикальні; 2)Отже, ABC ~ KВМ за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому

Відповідь. 12 см.

492. Розглянемо трикутники АОС і BOD. У них: 1) AOC = BOD як вертикальні; 2)Отже, АОС ~ BOD за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому BDO = ACO = 12° як відповідні кути подібних трикутників.

Відповідь. 12°.

493. Нехай ABC— трикутник, М∈АС, K∈BC, СМ = 15 см, СK = 12 см, АС = 20 см, ВС = 25 см, АВ = 30 см. Розглянемо трикутники ABC і KМС. У них: 1) C— спільний; 2)Отже, АВС ~ KМС за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому

Відповідь. 18 см.

494.

1) Перевіримо пропорційність сторін: Оскількито і АВС ~ А₁B₁C₁ за трьома пропорційними сторонами (за III ознакою подібності трикутників);

2) перевіримо пропорційність сторін: Оскількито і ABC та А₁B₁C₁ не є подібними.

495. 9 см : 24 см : 27 см = 3 : 8 : 9, то трикутники пропорційні за трьома пропорційними сторонами (за III ознакою подібності трикутників).

496. Нехай ABC і А₁B₁C₁ — трикутник, A = A₁, АВ = 0,6А₁В₁. AС = 0,6A₁С₁, ВС + В₁С ₁ = 48 см. Розглянемо трикутники ABC і А₁B₁C₁. У них: 1) A = A₁ за умовою; 2)Отже, АВС ~ А₁B₁C₁ за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). ТомуНехай ВС = х см, тоді В₁С₁ = (48 - х) см. х = 0,6(48 - х); х = 28,8 - 0,6x; 1,6х = 28,8; х = 18. Отже, ВС = 18 см, тоді В₁С₁ = 48 - 18 = 30 (см).

Відповідь. 18 см; 30 см.

497. Нехай DEF і MKN — трикутники, E = K, DE = 2,5МK = 2,5KN, DF - MN = 30 см. Розглянемо трикутники DEF і MKN. У них: 1) E = K за умовою; 2)Отже, DEF ~ MKN за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). ТомуНехай DF = x см, тоді MN = (x - 30) см.х = 2,5(x - 30); х = 2,5х — 75; 1,5х = 75; х = 50. Огже, DF = 50 см, тоді MN = 50 - 30 = 20 (см).

Відповідь. 50 см; 20 см.

498. Нехай ABC— трикутник, D∈AB, Е ∈АС, AD : DB= AE : ЕС = 3 : 5, ВС = 16 см. За аксіомою вимірювання відрізків AB = AD + DB; DB = AB - AD; AC = AE + ЕС; ЕС = AC - AE. Розглянемо трикутники ABC і ADE. У них: 1) C — спільний; 2) за доведеним вище. Отже, ABC ~ ADE за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому

Відповідь. 6 см.

499. Якщо AВС ~ А₁В₁С₁ ~ A₂В₂С₂, то АВ : А₁В₁ : А₂В₂ = АС : А₁С₁ : А₂С₂ = ВС : В₁С₁ : В₂С₂. Тоді АВ : ВС: АС = А₁В₁ : В₁С₁ : А₁С₁ = А₂В₂ : В₂С₂ : А₂С₂, тобто трикутники, складені з найбільших і найменших сторін подібних трикутників, будуть пропорційні за III ознакою подібності трикутників.

500. Нехай ABC— трикутник, АС = а, AB = BC = b, AM і СK— бісектриси. Оскільки АВ = ВС за умовою, то трикутник ABC — рівнобедрений з основою АС. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника A = C. Якщо СK— бісектриса, то за властивістю бісектрисиАналогічно якщо AM— бісектриса, то за властивістю бісектрисиТодіЗа аксіомою вимірювання відрізків АВ = АK + KВ; АK = АВ — KВ; ВС = ВМ + МС; МС = ВС - ВМ. Розглянемо трикутники ABC і KВМ. У них: 1) B— спільний; 2) за доведеним вище. Отже, АВС ~ KВМ за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). ТомуЗ відношень для бісектрис кутів маємо, щоНехай KВ = х см.b(b - x) = ax; b² - bx = ax;Тоді одержимо:

Відповідь

501. Нехай ABC — трикутник, АВ = 8см, ВС = 12см, АС = 16см, CD = 9см. Розглянемо трикутники ABC і BDC. У них: 1) C— спільний; 2)за доведеним вище. Отже, ABC ~ BDC за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому

Відповідь. 6 см.

502. Оскільки АН • АВ = АС • AD, то Розглянемо трикутники АНС і ADB. У них: 1) A — спільний; 2)за умовою. Отже, АНС ~ ADB за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому ACH = ABD як відповідні кути подібних трикутників. HCD і ACH — суміжні. За властивістю суміжних кутів HCD + ACH = 180°, звідки HCD + ABD = 180°. Аналогічно можна показати, що CHB + BDC = 180°. Розглянемо чотирикутник CHBD. У ньому сума протилежних кутів дорівнює по 180°, тому навколо нього можна описати коло, вершини кутів при цьому лежатимуть на колі.

503. Нехай ABC — трикутник, ВМ — медіана, MKC = BCM. Розглянемо трикутники ВМС і СМK. У них: 1) M — спільний; 2) BCM = MKC за умовою. Отже, ВМС ~ СМК за двома рівними кутами (за І ознакою подібності трикутників). ТомуОскільки ВМ— медіана, то АМ = МС. Розглянемо трикутники KАМ і АВМ. У них: 1) M— спільний; 2)Отже,KАМ ~ АВМ за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому AKM = BAM як відповідні кути подібних трикутників.

504. Нехай AB і CD — відрізки, ABCD = М, AM • MB = CM • MD.Розглянемо трикутники ADM і CBM. У них: 1) AMD = CMB як вертикальні; 2)за умовою. Отже, ADM ~ СВМ за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому DAM = BCM як відповідні кути подібних трикутників. Тоді за властивістю належності чотирьох точок колу маємо, що точки А, В, С і D лежать на одному колі.

505. Нехай два кола перетинаються по хорді EF. Розглянемо коло (O₁, R₁). Для хорд AB і EF, що перетинаються в точці М, за властивістю маємо: FM • ME = ВМ • МА. Аналогічно для хорд CD і NK одержимо: FM • ME = DM • МС. З останніх рівностей матимемо, що ВМ • МА = DM • МС. ТодіРозглянемо трикутники BMC і DMA. У них: 1) BMC = DMA як вертикальні; за доведеним вище. Отже, ВМС ~ DMA за двома пропорційними сторонами та рівними кутами, утвореними цими сторонами (за II ознакою подібності трикутників). Тому BCM = DAM як відповідні кути подібних трикутників, звідки DAB = BCD.

506. Нехай ABCD — паралелограм, Р_АBCO = 46 см, BAD = ADB, P_BCD = 32 см. Оскільки BAD = ADB, то трикутник ABD— рівнобедрений з основою AD (AB =BD). Діагональ розбиває паралелограм на два рівних трикутники, тому ADB = BCD, звідки P_ADB = P_BCD = 32 см. P_ABCD= 2(АВ + AD); 2(AB + AD) = 46; AB + AD = 23 (см). P_ADB = AB + AD + BD, P_ADB = AB + AD + AB; 32 = 23 + AB; АВ = 9 (см). Тоді AD = 23 - AB; AD = 23 - 9 = 14 (см). За властивостями сторін паралелограма AB = CD = 9 см, AD = ВС = 14 см.

Відповідь. AB = CD = 9 cm, AD = ВС = 14 см.

507. Нехай ABCD — квадрат, BD — діагональ, DE = AD, FKBD. Розглянемо прямокутний трикутник BEF (BEF = 90°). Оскільки BD — діагональ квадрата, то вона є бісектрисою кута B, тому ABD = DBC = 90° : 2 = 45°. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника FBE + BFE = 90°; BFE = 90° - FBE; BFE = 90°- 45° = 45°. Отже, трикутник BEF — рівнобедрений з основою BF (BE = FE). Розглянемо рівнобедрений трикутник DAE (DE = AD). За властивістю кутів при основі рівнобедрсного трикутника AED = EAD. Нехай AED = EAD = x. Тоді BAE= 90° - х. За аксіомою вимірювання кутів маємо: BED = BEF + FEA + AED; FEA = 180°- (BEF + AED); FEA = 180° - (90° + х) = 90° - х. Тоді трикутник AFE — рівнобедрений з основою АЕ, звідки AF = FE. З того, mo BE = FE і AF = FE слідує, що AF = FE = BE.

508. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), B = 90°, C = 150°, ВС = 5 см, СK — висота. Оскільки АВСK — квадрат, то АВ = ВС = СK = АK = 5 см. За аксіомою вимірювання кутів BCD = BCK + KCD; KCD = BCD - BCK; KCD = 150° - 90° = 60°. Розглянемо прямокутний трикутник CKD. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника KCD + KDC = 90°; KDC= 90° - KCD; KDC = 90° - 60° = 30°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:CD = 2СK; CD = 2 • 5 = 10 (см).

Відповідь. 10 см.

509. Порахуємо кількість трикутників з вершиною у червоній точці. Зрозуміло, що одну «синю» вершину можна вибрати із 999 точок, а іншу — із 998, що залишилися. Проте кожен такий трикутник врахований двічі за рахунок того, що помінявши при виборі сині точки місцями, ми одержимо той самий трикутник. Тому кількість трикутників дорівнюєКількість n-кутників з вершиною у червоній точці дорівнює кількості (n - 1)-кутників, усі вершини яких містяться у синіх точках. Тому кількість многокутників з вершиною у червоній точці є більшою на 498501, ніж многокутників, усі вершини яких містяться у «синіх» точках.