Відповіді до підручника Алгебра 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 3. Квадратні рівняння
Вправи для повторення розділу

До § 20

993.

994.

1) 1,8x² = 0; x² = 0; x = 0;

2) 2х² - 32 = 0; 2x = 32; х² = 16; x = ±4;

3) 5x² — 7x = 0; х(5х - 7) = 0; x = 0 або 5х - 7 = 0; x = 0 або 5x = 7; x = 0 або x = 1,4;

4) -x² - 9 = 0; х² = -9; рівняння не має розв’язків;

5) x = 0 або x = 0 або x = 0 або x = -16;

6) 3x - 15 = 0; 3x² = 15; x² = 5;

995. Отже, число є коpенем рівняння x² — 2x - 1 = 0.

996.

1) 3x² + 3х + 2х — 2 - 5x - 4 = 0; 3x² - 6 = 0; 3(х² - 2) = 0; x² - 2 = 0; x² = 2;

2) 4x² — 6x + 4х + 16 - х - 16 = 0; 4х² - 3х = 0; х(4х - 3) = 0; х = 0 або 4х - 3 = 0; х = 0 або 4х = 3; х = 0 або х = 0,75.

997. Нехай ширина прямокутника дорівнює х см, тоді його довжина дорівнює 1,5х см. Рівняння: 1,5x • х = 54; х² = 36; х = ±6. Значення х = -6 не задовольняє умову задачі. Тоді ширина прямокутника дорівнює 6 см, а довжина — 1,5 • 6 = 9(см). Периметр прямокутника дорівнює Р = 2(6 + 9) = 2 • 15 = 30 (см).

Відповідь. 30 см.

998.

1) a • 3² - 7 • 3 + (a² + 21) = 0; 9a - 21 + x² + 21 = 0; a² + 9a = 0; a(a + 9) = 0; a = 0 або a + 9 = 0; a = 0 або a = -9;

2) 3² + (a² - 4) • 3 - 9 = 0; 9 + 3a² — 12 - 9 = 0; 3a² -12 = 0; 3a² = 12; a² = 4; a = ±2.

999.

1) x² - (4a - 5)х = 0; D = (4a - 5)² = 16a² -40a + 25 = 0; a = 1,25;

2) a²x² - a = 0; D = -4 • a² • (-a) = 4a > 0; a³ > 0; a > 0.

До § 21

1000.

1) х² + 2х - 4 = 0; D = 2² - 4 • 1 • (-4) = 4 + 16 = 20 > 0 — рівняння має два корені;

2) 3х² - 2х + 3 = 0; D = (-2)² — 4 • 3 • 3 = 4 - 36 = -32 < 0 — рівняння не має коренів;

3) x² - 2x + 1=0; D = (-2)²— 4 • 1 • 1 = 4 - 4 = 0 — рівняння має один корінь;

4) 7x² + х - 1 = 0; D = 1² - 4 • 7 • (-1) = 1 + 28 = 29 > 0 — рівняння має два корені.

1001.

1) х² + 7х - 8 = 0; D = 7² - 4 • 1 • (-8) = 49 + 32 = 81;

2) 16х² - 8х + 1 = 0; D = (-8)² — 4 • 16 • 1 =64 - 64 = 0;

3) 2x² — х - 3 = 0; D = (-1)² -4 • 2 • (-3) = 1 + 24 = 25;

4) x² + 3x - 10 = 0; D = 3² — 4 • 1 • (-10) = 9+ 40 = 49;

5) х² + 4х + 7 = 0; D = 4² - 4 • 1 • 7 = 16 - 28 = -12 < 0; рівняння не має коренів;

6) 2x² + 5х - 3 = 0; D = 5² - 4 • 2 • (-3) = 25 + 24 = 49;

1002.

1) x² = 6x — 7; x² — 6x + 7 = 0; D = (-6) — 4 • 1 • 7 + 36 — 27 = 9;

2) x² + 7x = -12; x² + 7x + 12 = 0; D = 7² - 4 • 1 • 12 = 49 - 48 = 1;

3) 10x = 25x² + 1; 25x² - 10 + 1 = 0; D = (-10)² - 4 • 25 • 1 = 100 - 100 = 0;

4) 2 - 9x = 5x²; 5x² + 9x - 2 = 0; D = 9² - 4 • 5 • (-2) = 81 + 40 = 121;

1003.

1) Графіком функції у = x² є парабола.

Графіком функції у = 3 — 2x є пряма лінія.

З рисунка бачимо, що графіки перетинаються в точках (-3; 9) і (1; 1), тому коренями рівняння х² = 3 - 2х є x₁ = -3 і х₂ = 1. Розв’яжемо рівняння x² = 3 - 2х аналітично, х² = 3 - 2х; х² + 2х - 3 = 0; D = 2² - 4 • 1 • (-3) = 4 + 12= 16;

2) графіком функції у = х² є парабола.

Графіком функції у = 0,5х + 3 є пряма лінія.

З рисунка бачимо, що графіки перетинаються в точках (= -1,5; ≈2,2) і (2; 4), тому коренями рівняння х² = 0,5х + 3 є х₁ =-1,5 і х₂ = 2. Розв’яжемо рівняння х² = 0,5х + 3 аналітично, х² = 0,5х + 3; х²- 0,5х - 3 = 0; D = (-0,5)² - 4 • 1 • (-3) = 0,25 + 12 = 12,25;

1004.

1) 5(х - 2) = (3х + 2)(х - 2); 5(х - 2) - (3х + 2)(х - 2) = 0; 5х — 10 - 3х² + 6х - 2х + 4 = 0; 3х² - 9х + 6 = 0; D = (-9)²-4 • 3 • 6 = 81 - 72 = 9;

2) х² - 10х - 35 = 0; D = (-10)² - 4 • 1 • (-35) = 100 + 140 = 240;

3)

4)

1005.

1) х² + 2mх + m = 0; D = (2m)²- 4 • 1 • m = 4m² - 4m = 4m(m - 1). Якщо квадратне рівняння має один корінь, то його дискримінант дорівнює нулю: 4m(m - 1) = 0; m = 0 або m - 1 = 0; m = 0 або m = 1;

2) mх² — 4x + 2 = 0; D = (-4)² - 4 • m • 2 = 16 - 8m = 8(2 - m). Якщо квадратне рівняння має один корінь, то його дискримінант дорівнює нулю: 8(2 - m) = 0; 2 - m = 0; m = 2. Рівняння також матиме один корінь, якщо m = 0.

1006.

2х² + ах — 3 = 0; D = а² — 4 • 2 •- (-3) = а² + 24 > 0, тому задане квадратне рівняння завжди має два корені.

1007.

1) x² - x(3 - 2а) - 6а = 0; D = (-(3 -2а))²-4 • 1 • (-6а) = 9 - 12а + 4а² + 24а = 4а² + 12а + 9 = (2а + 3)²;

2) а²x² - 3ах + 2 = 0; D = (-3а)² - 4 • а² • 2 = 9а² - 8а² = а²; для всіх а ≠ 0. Якщо ж а = 0, то рівняння не має розв'язків.

1008.

1. |x + 5x - 3| = 3;

1) x² + 5x - 3 = 3;x² + 5x - 6 = 0; D = 5² - 4 • 1 • (-6) = 25 + 24 = 49;

2) х² + 5х - 3 = -3; х² + 5х = 0; х(х + 5) = 0; х = 0 або х + 5=0; х = 0 або х = -5. Отже, коренями заданого рівняння є -6; -5; 0 і 1;

2. ||х² - 5х + 1| - 4| = 3;

1) (х² - 5х + 1| - 4 = 3; |х² - 5х + 1| = 7;

 а) х² - 5х + 1 = 7; х² - 5х - 6 = 0; D = (-5)² - 4 • 1 • (-6) = 25 + 24 = 49;

 б) x² - 5х + 1 = -7; x² - 5х + 8 = 0; D = (-5)² - 4 • 1 • 8 = 25 - 32 = -7; рівняння не має коренів;

2) |х²- 5х + 1| - 4 = -3; |x² - 5х + 1| = 1;

 а) х² - 5х + 1 = 1; х² - 5х = 0; х(х - 5) = 0; х = 0 або х - 5 = 0; х = 0 або х = 5;

 б) х² - 5х + 1 = -1; x² - 5x + 2 = 0; D = (-5)² — 4 • 1 • 2 = 25 - 8 = 17; Отже, коренями заданого рівняння є -1; 0; 5; 6;

3. х = -3;

4. або х(х + 2) = 0; або х = 0 або х + 2 = 0; або х = 0 або х = -2. Врахувавши умову х > 0, маємо, що коренем заданого рівняння є

До § 22

1009. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток — вільному члену.

1) Сума коренів дорівнює -17, а добуток — 60;

2) сума коренів дорівнює 0, а добуток — -12;

3) сума коренів дорівнює 5 : 2 = 2,5, а добуток — 3 : 2 = 1,5;

4) сума коренів дорівнює 4 : (-1) = -4, а добуток — 5 : (-1) = -5.

1010.

1) Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком. Тому х₁ + х₂ = 7; 5 + x₂ = 1; х₂ = 2;

2) сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком. Тому х₁ + х₂ = -3; -6 + х₂ = -3; х₂ = 3.

1011.

Нехай хі і х₂— корені квадратного рівняння. Тоді Тоді коефіцієнт q = 2 • (-4) = -8.

Відповідь. x₁ = 2; х₂ = -4; q = -8.

1012. 3x² + bx - 7 = 0; За теоремою Вієта тому корені рівняння різних знаків.

1013. Нехай х₁ і х₂ — корені квадратного рівняння, Система: Тоді другий коефіцієнт дорівнює р -(-6 + (-9)) = -(-15) =15 або р = -(6 + 9) = -15.

Відповідь. р = 15; x₁ = -6; х₂ = -9 або р = -15; x₁ = 6; х₂ = 9.

У підручнику вказана неповна відповідь.

1014. Нехай x₁ і x₂ — корені квадратного рівняння х₁ = 2х_2. Система:

Тоді добуток коренів дорівнює а вільний член — с = 1,6.

Відповідь, с = 1,6.

1015. Нехай х₁ і х₂ — корені квадратного рівняння 3х² + bх - 12 = 0. Тоді маємо зведене квадратне рівняння Система: Розглянемо виpаз За теоремою Вієта маємо, що Тоді b² = 9 • 25 = 225; b = ±15.

Відповідь, b = +15.

1016. х² - 2ах + (2а - 1) = 0; 4а² - 6а + 2 = 0; 2а² - 3а + 1 = 0; а₁ = 1, a₂ = 0,5.

Відповідь. а₁ = 1, а₂= 0,5.

1017. 5x² — 16^x + 4 = 0; Запишемо шукане рівняння у вигляді х² +рх + q = 0;

Відповідь. 5x² + 8x + 1 = 0.

До § 23

1018. Нехай ширина прямокутника дорівнює х см, а його довжина — у см. Система: Отже, сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 9 см.

Відповідь. 6 см; 9 см.

1019. Нехай х, х + 1 і х + 2— три послідовні цілі числа. Рівняння: х² + (х + 1)² + (х + 2)² = 302; х² + х² + 2х + 1 + х² + 4х + 4 = 302; 3х² + 6х + 5 = 302; 3х² + 6х - 297 = 0; D = 6² - 4 • 3 • (-297) = 36 + 3564 = 3600; Тоді найменше ціле число дорівнює 9, наступне — 9 + 1 = 10 і третє — 9 + 2 = 11; або найменше ціле число дорівнює -11, наступне — 11 + 1 = -10 і третє — 11 + 2 = -9.

Відповідь. 9, 10 i 11 або -11, -10 і -9.

1020. Нехай х, х + 1, х + 2, х + 3 і х + 4 — п’ять послідовних цілих чисел. Рівняння: х² + (х + 1)² + (х + 2)² = (х + 3)² + (х + 4)²; х² + х² + 2х + 1 + х² + 4х + 4 = х² + 6х + 9 + x² + 8х + 16; 3х² + 6х+ 5 = 2х² + 14х + 25; х² - 8х - 20 = 0;    D = (-8)²-

-4 • 1 • (-201 = 64 + 80= 144; Тоді найменше ціле число дорівнює 10, далі 11,12, 13 і 14, або найменше ціле число дорівнює -2, далі -1, 0, 1 і 2.

Відповідь. 10,11,12,13 і 14 або -2, -1, 0, 1 і 2.

1021. Нехай один катет прямокутного трикутника дорівнює х см, тоді інший його катет — (х + 2) см. Тоді гіпотенуза дорівнює (24 - х - (х + 2)) = (22 - 2х) см. За теоремою Піфагора маємо рівняння: х² + (х + 2)² = (22 - 2х)²; х² + x² + 4х + 4 = 484 - 88х + 4х²; 2x² - 92х + 480 = 0; х² - 46х + 240 = 0; D = 46² — 4 • 1 • 240 = 2116 — 960 = 1156; Значення 40 не задовольняє умову, оскільки воно більше за периметр. Тому один катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а інший — 6 + 2 = 8 (см). Тоді площа три

кутник дорівнює

Відповідь. 24 см².

1022. Нехай було х команд. Кожна з них має зіграти з рештою з (х - 1) матчів. Тому всього було зіграно х(х - 1) матчів. Рівняння: х(х - 1) = 240; х² - х - 240 = 0;

D = (-1)² - 4 • 1 • (-240) = 1 + 960 = 961;

Значення -15 не задовольняє умову задачі. Отже, у чемпіонаті взяло участь 16 команд.

Відповідь. 16 команд.

1023. Нехай ширина ящика дорівнює х м, тоді його довжина дорівнює 1,5х м. Бічні стінки є прямокутниками з площею 0,4х м² і 0,4 • 1,5х = 0,6х (м²), до того ж таких

стінок є по 2. Рівняння: x • 1,5x + 0,66 = 2(0,4x + 0,6x); 1,5x² -2х + 0,66 = 0; 150x² — 200x + 66 = 0; 75x² — 100x + 33 = 0; D = (-100)² - 4 • 75 • 33 = 10000 - 9900 = 100; Якщо ширина ящика дорівнює то його довжина дорівнює об’єм ящика якщо ширина ящика дорівнює 0,6 м, то його довжина дорівнює 0,6 • 1,5 = 0,9 (м), а об’єм ящика V = 0,4 • 0,6 • 0,9 = 0,216 (м³).

Відповідь. або 0,216 м³.

1024. Нехай ширина аркуша картону дорівнює x см, тоді його довжина дорівнює 2x см. Ширина дна коробки дорівнює x - 5 - 5 = (x - 10) см, а довжина дна — 2x - 5 - 5 = (2x - 10) см. Висота коробки дорівнює 5 см. Тоді об’єм коробки дорівнює V= 5 • (x - 10) • (2x - 10) (см³). Рівняння: 5(x - 10)(2x - 10) = 10500; (x - 10)(2x - 10) = 2100; 2x² — 10x — 20x + 100 - 2100 = 0; 2x² — 30x - 2000 = 0; x² — 15x - 1000 = 0; D = (-15)² — 4 • 1 • (-1000) = 225 +4000 = 4225; Значення x = -25 не задовольняє умову задачі. Отже, ширина аркуша дорівнювала 40 см, а довжина — 2 • 40 = 80 (см).

Відповідь. 40 см х 80 см.

До § 24

1025.

1) x² + x - 5; D = 1² - 4 • 1 • (-5) = 1 + 20 = 21 > 0 — можна розкласти;

2) x² + 2x + 7; D = 2² - 4 • 1 • 7 = 4 — 28 = -24 < 0 — не можна розкласти;

3) 9x² + 6x + 1; D = 6² - 4 • 1 • 9 = 36 - 36 = 0 — можна розкласти.

1026.

1) x² + 5x + 4; D = 5² - 4 • 1 • 4 = 25 -16 = 9;

2) x² — 4x - 12; D = (-4)² - 4 • 1 • (-12) = 16 + 48 = 64;

3) 2х²- 12x + 18; D = (-12)² — 4 • 2 • 18 = 144 - 144 = 0;

4) -4x² + 7x + 2; D = 7² - 4 • (-4) • 2=49 + 32 = 81;

1027.

1) x² + 3x - 4; D = 3² - 4 • 1 • (-4) = 9 + 16 = 25;

x² + 3x - 4 = (x — 1)(x + 4);

2) 2x² - 7x — 4; D = (-7)² - 4 • 2 • (-4) = 49 + 32 = 81;

3) -x² + 3x + 18; D = 3² - 4 • (-1) • 18 = 9 + 72 = 81; -x² + 3х + 18 = -(x - 6)(x + 3);

4) -4x² + 9x - 2; D = 9² - 4 • (-4) • (-2) = 81 - 32 = 49; -4x²+ 9x — 2 = -4(x - 0,25)(х - 2) = (1 - 4х)(х - 2).

1028.

1) x² + 6x — 7 = x² + 6x + 9 — 9 - 7 = (x + 3)² - 16;

2) x² — 8x - 9 = x² — 8x + 16 - 16 - 9 = (x - 5)² - 25.

1029.

1)

2)

3)

4)

1030.

1)

2)

3)

4)

1031.

1032.

1)

2)

3)

4)

1033.

1) Тричлен має один корінь, якщо його дискримінант дорівнює нулю. x² + bx + 4; D = b² — 4 • 1 • 4 = b² - 16; b² - 16 = 0; b² = 16; b = ±4. Отже, якщо b = ±4, то тричлен х² + bх + 4 має єдиний корінь;

2) тричлен має один корінь, якщо його дискримінант дорівнює нулю. ах² + 8х + 64; D = 8²- 4 • а • 64 = 64 - 256а; 64 - 256а = 0; 256а = 64; а = 0,25. Отже, якщо а = 0,25, то тричлен ах² + 8х + 64 має єдиний корінь;

3) тричлен має один корінь, якщо його дискримінант дорівнює нулю. х² - 18х + с; D = (-18)² - 4 • 1 • с = 324 - 4с; 324 - 4с = 0; 4с = 324;с = 81. Отже, якщо с = 81, то тричлен х² - 18х + с має єдиний корінь.

1034.

1) х² — 5aх - 6а²; D = (-5а)² - 4 • 1 • (-6а²) = 25а² + 24а² = 49а²; х² - 5ах - 6а² = (х - 6а)(х + а);

2) х² + 3bх — 10b²; D = (3b)² - 41 • (-106²) = 9b² + 40b² = 49b²; х² + 3bх - 10 b² = (х- 2b)(х + 56).

1035. x² - 8х + 19 = х² — 8x + 16 - 16 + 19 = (х - 4)² + 3. Вираз (х - 4)² + 3 досягає найменшого значення 3, якщо х = 4.

1036. -а² - 4а — 17 = -(а² + 4а + 17) = -(а² + 4а + 4 — 4 +17) = -((х + 2)² + 13) = -(х + 2)² - 13. Вираз -(х + 2)² - 13 досягає найбільшого значення -13, якщо х = -2.

До § 25

1037.

1) 2x⁴ + x² - 3 = 0. Зробимо заміну х² - у. Маємо: 2x + у - 3 = 0; у₁ = 1, у₂ = -1,5. Повертаймося до заміни: 1) у₁ = 1; х² - 1; x₁,₂ = ±1; 2) у₂ = -1,5; x² = -1,5 — рівняння не має розв’язків. Отже, коренями вихідного рівняння є -1; 1;

2) 3х⁴ - 2х² - 40 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: 3у² - 2у - 40 = 0; у₁ = 4, Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 4; x² = 4; х₂ = ±2; 2) — рівняння не має розв’язків. Отже, коренями вихідного рівняння є -2; 2;

3) х⁴ + х² + 9 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у² + у + 9 = 0. Це рівняння не має розв’язків, а тому й задане рівняння теж не має розв’язків;

4) x⁴ — 7x² + 10 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у² - 7у + 10 = 0; у₁ = 5, y₂ = 2.

Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 5; х² = 5; 2)y₂ = 2; x² = 2; Отже, коренями вихідного рівняння є

1038.

1) х₁ = -2;

2) х₁ = 0;

3) x₁ = 1;

4) х₁ = -3,5; х₂ = 3.

1039.

1) х⁴ - 16х² = 0; (x - 16) = 0; х² = 0 або x - 16 = 0; х = 0 або x = 16; х = 0 або х = ±4. Отже, коренями вихідного рівняння є -4; 0; 4;

2) х² -х² - 6х = 0; (х²- х - 6) = 0; х = 0 або х² - х - 6 = 0; х = 0 або х= -2; х = 3. Отже, коренями вихідного рівняння є -2; 0; 3.

1040. у = x⁴ - 3х² - 4; у = 0; x⁴ - 3х² - 4 = 0. Зробимо заміну х²= у. Тоді: у² - 3у - 4 = 0; у₁ = 4, у₂ = -1. Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 4; х² = 4; x_1,2 = ±2; 2) у₂ = -1; х² = -1 — рівняння не має розв’язків. Отже, графік функції у = x⁴ - 3х² - 4 перетинає вісь абсцис у точках (-2; 0) і (2; 0).

1041.

1) х₁ =-1,5; x₂ = -1;

2)

х₁ = 0,

3) х₁ = -5; x₂ = 6;

4) Перше рівняння системи не має розв’язків,

оскільки D = -39 < 0, тому розв’язків не м є і задане рівняння:

5)

x₁ = -1; x₂ = 1.

1042.

1) x₁ = -3;

2) x₁ = -3; x₂ = 3;

3) x₁ = 0.

1043.

1) x³ - x² = x - 1; х³ - х² - х + 1 =0; (x³ + 1)-(x² + x) = 0; (x + 1)(x² - x + 1)- x(x + 1) = 0; (x + 1)(x² — x + 1 - х) = 0; (x + 1 )(x² — 2x + 1) = 0; x + 1 = 0 або (x -1)² = 0; x₁ = -1 або x = 1. Отже, коренями вихідного рівняння є числа -1; 1;

2) (х² + 2x)² - 2(x² + 2x) - 3 = 0. Зробимо заміну x² + 2х = у. Маємо: у² - 2у - 3 = 0; у₁ = 3, у₂=-1. Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 3; x² + 2х = 3; х² + 2х — 3 = 0; x₁ = -3, x₂ = 1; 2) у₂ = -1; х² + 2х = -1; х² + 2х + 1 = 0; (x + 1)² = 0; x₃ = -1. Отже, коренями вихідного рівняння є числа -3; -1; 1.

1044.

x₁ = -2; х₂ = 0,75. Якщо х₁ = -2, то y₁ = 4 • (-2) = -8; якщо х₂ = 0,75, то у₂= 4 • 0,75 = 3. Отже, графіки перетинаються у точках (-2; -8) і (0,75; 3).

1045.

1)

2)

x = -1.

Відповідь. 1) 2) -1.

1046.

1. (х² - 4х)(х - 2)² + 3 = 0; (х² - 4х)(х² - 4х + 4) + 3 = 0. Нехай х² - 4х = у. Тоді маємо: у(у + 4) + 3 = 0; у² + 4у + 3 = 0; у₁ = -3, у₂ = -1. Повертаємося до заміни: 1) х² - 4х = -3; х² - 4х + 3 = 0; х₁ = 3,х₂= 1; 2) х² - 4х = -1; х² - 4х + 1 = 0;

2. х(х — 1)(x - 2)(х - 3) = 24; (х² - 3х)(х² - 3х + 2) = 24. Нехай х² - 3х = у. Тоді маємо: у(у + 2) - 24 = 0; у² + 2у - 24 = 0; у₁ = -6, у₂ = 4. Повертаємося до заміни: 1) х² - 3х = -6; x² - 3x + 6 = 0; D = -15 < 0 — рівняння не має розв’язків; 2) х² - 3х = 4; х² - 3х -4 = 0; х₁ = -1, х₂=4;

3. Нехай x² - 3х = у ≠ 2. Тоді маємо:

у₁ = 4, у₂ = -2. Повертаємося до заміни: 1) х - 3х = 4; х - 3х - 4 = 0; x₁ = -1,х₂ = 4; 2) х² - 3х = -2; х² - 3х + 2 = 0; х₃ = 1, х₄ = 2;

4. Нехай х² - 5х - у ≠ -4. Тоді маємо: y₁ = -5, у₂ = 15. Повертаємося до заміни: 1) х² - 5х = -5; х² - 5х + 5 = 0; 2) х² - 5х = 15; х² - 5х — 15 = 0;

5. Нехай х² - х = у, у ≠ -1, у ≠ 5. Тоді маємо: y₁ = 3, у₂ = 6. Повертаємося до заміни: 1) х² - х = 3; х² — х — 3 = 0; 2) х² - х = 6; х² - х - 6 = 0; х₃ = -2, х₄ = 3;

6. Hехай х² - 11х = у. Tоді маємо: y₁ = -10; у₂ = -2. Повертаємося до заміни: 1) х² — 11x = -10; x² — 11x + 10 = 0; x₁ = 10, х₂ = 1;

2) x² — 11x = -2; x² — 11x + 2 = 0;

Відповідь. 1) 1; 3; 2) -1; 4; 3) -1; 1; 2; 4; 4) 5) -2; 3; 6) 1; 10;

1047.

1. Нехай x² - 13 =у,х + 1 = z. Тоді маємо: y₁ = 2z,y₂ = 0,5z. Повертаємося до заміни: 1) x² - 13 = 2(х + 1); x² — 13 - 2х - 2 = 0; x — 2x - 15 = 0; х₁ = -3, х₂ = 5;

2) x - 13 = 0,5(х + 1); х²- 13 - 0,5х - 0,5 = 0; 2x² — 26 — х - 1 = 0; 2x² — x - 27 = 0;

2. Нехай х² + 3х = у, 1 - x = z. Тоді маємо: y₁ = 5z, у₂ = -2. Повертаємося до заміни: 1) x2+ 3х = 5(1 - х); x² + 3х - 5 + 5х = 0; x² + 8 - 5 = 0;

2) x² + 3x = -(1 - х); х² + 3х + 1х = 0; х² + 2х + 1 = 0; (х + 1)² = 0; x₃ = -1.

Відповідь. 1) -3; 5; 2) -1;

Дo § 26

1048. Нехай швидкість велосипедиста дорівнює х км/год, тоді швидкість пішохода дорівнює (х - 8) км/год. Велосипедист затратив на подорожа пішохід — Рівняння:

х₁ =12.

Відповідь. Швидкість велосипедиста дорівнює 12 км/год.

1049. Нехай швидкість потяга за графіком дорівнює х км/год, тоді на проходження перегону він затратитьПісля збільшення швидкості вона становитиме (х + 10) км/год і на проходження перегону він затратитьРівняння:

x₁ = 40. Отже, швидкість потяга за розкладом дорівнює 40 км/год і він подолає перегін за

Відповідь. Потяг за розкладом мав подолати перегін за 10 год.

1050. Нехай власна швидкість катера дорівнює х км/год, тоді його швидкість за течією річки дорівнює (х + 2) км/год, а проти течії — (х - 2) км/год. Відрізок шляху за течією річки він пропливе за а проти течії річки — за Рівняння:

не задовольняє умову задачі, тому х₁ = 16. Отже, власна швидкість катера дорівнює 16 км/год.

Відповідь. 16 км/год.

1051. Нехай швидкість течії річки, а значить, і швидкість плоту дорівнює х км/год. Тоді пліт був у дорозіШвидкість човна за течією річки дорівнює (х + 18) км/год, і він був у дорозіРізниця в часі руху плоту і човна дорівнює 9 год. Рівняння: х₂ = -20 не задовольняє умову задачі, тому х₂ = 2. Отже, швидкість плоту дорівнює 2 км/год. Тоді пліт був у дорозіа човен наздогнав пліт о 8 + 10 = 18 (год).

Відповідь. О 18 год.

1052. Нехай швидкість течії річки дорівнює х км/год. З пункту А pибалка плив зі швидкістю (12 - х) км/год протягома повертався. На весь шлях у два

боки він витратив 3 год. Рівняння:

х₂ = 10 не задовольняє умову задачі, тому х₁ = 2. Отже, швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.

Відповідь. 2 км/год.

1053. Нехай перший оператор набирав за день х сторінок тексту, тоді другий — (х - 4) сторінки. Перший оператор працювава другий —Рівняння:

x₁ = -8 не задовольняє умову задачі, тому х₂ = 20. Отже, перший оператор щодня набирав 20 сторінок тексту, а другий — 20 - 4 = 16 (с.). Відповідь. 20 сторінок; 16 сторінок.

1054. Нехай Петро за годину виготовляє х деталей, а Степан — y деталей. На виготовлення 15 деталей Петро витратитьа Степан —що на 1 год більше від часу Петра. Рівняння: 15 (x - y) - xy = 0, ху ≠ 0. За 8 год роботи Петро виготовляє 8х (дет.), а Степан — 8у (дет.). Рівняння: 8х - 8у = 20; 2(х - у) = 5. Система: у₁ = -7,5 не задовольняє умову задачі, тому у₂ = 5. Тоді х₂ = 2,5 + 5 = 7,5 (дет.). Тоді за зміну Петро виготовляє 8 • 7,5 = 60 (дет.), а Степан — 8 • 5 = 40 (дет.).

Відповідь. 60 деталей; 40 деталей.

1055. Нехай через першу трубу водоочищувач можна заповнити за х год, наповнюючи за 1 год — частину водоочшцувача. Через другий кран спорожниться за (х + 4) год, виливаючи з ньогочастину води за 1 год. Через 3 год водоочищувач наповниться, маємо рівняння:

x₁ = -6 не задовольняє умову задачі, тому х₂ = 2. Отже, через перший кран водоочищувач наповниться за 2 год, а через другий спорожниться за 2 + 4 = 6 (год).

Відповідь. 2 год; 4 год.

1056. Приймемо все завдання за 1. Нехай майстер самостійно може виконати завдання за х год, тоді учень — за (х + 3) год. Майстер за 1 год може виконатичастину завдання, а учень за 1 год — частину завдання. Рівняння:

х₁ = -2 не задовольняє умову задачі, тому х₂ = 6. Отже, майстер може виконати завдання за 6 год, а учень — за 6 + 3 = 9 (год).

Відповідь. 6 год; 6 год.

1057. Нехай загальна маса зливку становить х кг, до того ж у ньому міді є 1 кг, відсотковий уміст міді становитьПісля сплавляння зливку з 2 кг міді

маса нового зливку становила (х + 2) кг, маса міді в ньому 1 + 2 = 3 (кг), а її відсотковий уміст становитьщо на 25% більше, ніж було. Рівняння: x₁ = 2; х₂ = 4. Отже, початкова маса сплаву була 2 кг або 4 кг.

Відповідь. 2 кг або 4 кг.

1058. Нехай велосипедист, який їхав з міста А, рухався зі швидкістю х км/год, тоді велосипедист, який їхав з міста В, — зі швидкістю (х + 5) км/год. Тоді відстань від А до В дорівнює (х + (х + 5)) • 5 = (10 + 25) км. Велосипедист, який виїде з міста А, проїде (10х + 25 - 75) = ( 10х - 50) км за часа велосипедист, який виїде з міста В на 4,5 год пізніше, проїде 75 км заРівняння:

не задовольняє умову задачі, тому х₂ = 20. Отже, відстань від А до В дорівнює 10 • 20 + 25 = 225 (км).

Відповідь. 225 км.

1059. Нехай бригада щодня мала виготовляти х віконних блоків. Тоді вона повинна була завершити роботу заЗа перші 5 дні бригада виготовила

5х віконних блоків, за решту — — вона виготовляла по (х + 5) віконних блоків. Усього бригада виготовила 830 віконних блоків. Рівняння:

5х² + 800х + 4000 - 6х² - 30х - 830х = 0; -х² - 60х + 4000 = 0; х² + 60х - 4000 = 0; х₁ = -100, х₂ = 40. x₁ = -100 не задовольняє умову задачі, тому х₂ = 40. Отже, бригада повинна була виготовляти щодня 40 віконних блоків.

Відповідь. Бригада повинна була виготовляти щодня 40 віконних блоків.