Відповіді до підручника Алгебра 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 2. Квадратні корені. Дійсні числа
§ 14. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

1) Існує, бо 9 ≥ 0;

2) існує, бо 16 ≥ 0;

3) не існує, бо - ≤ 0;

4) існує, бо 0 ≥ 0.

524.

1) Квадратними коренями із числа 4 є числа -2 і 2, бо (-2)² = 4 і 2² = 4;

2) квадратними коренями із числа 25 є числа -5 і 5, бо (-5)² = 25 і 5² = 25.

525.

1) Квадратним коренем з числа 0 є число 0, бо 0² = 0;

2) квадратними коренями із числа 1 є числа -1 і 1, бо (-1)² = 1 і 1² = 1;

526.

1) Вираз має зміст;

2) вираз має зміст;

3) вираз не має змісту.

527.

1) Вираз має зміст;

2) вираз не має змісту.

528.

1) Число 2 є арифметичним квадратним коренем із числа 4, бо 2 ≥ 0 і 2² = 4;

2) число -2 не є арифметичним квадратним коренем із числа 4, бо -2 < 0;

3) число 0,1 є арифметичним квадратним коренем із числа 0,01, бо 0,1 ≥ 0 і 0,1² = 0,01;

4) число 0,2 не є арифметичним квадратним коренем із числа 0,4, бо 0,2 ≥ 0, але 0,2² = 0,04 ≠ 0,4.

529.

1) бо 13 ≥ 0 і 13² = 169;

2) бо і

530.

1) і 4² = 16;

2) бо 7 ≥ 0 і 7² = 49;

3) бо 0,5 ≥ 0 і 0,5² = 0,25;

4) бо 80 ≥ 0 і 80² = 6400;

5) бо 0,3 ≥ 0 і 0,3² = 0,09;

6) бо і

7) бо і

8) бо і

531.

1) бо 5 ≥ 0 і 5² = 25;

2) бо 6 ≥ 0 і 6² = 36;

3) бо 0,4 ≥ 0 і 0,4² = 0,16;

4) бо 70 ≥ 0 і 70² = 4900;

5) бо 0,2 ≥ 0 і 0,2² = 0,04;

6) бо і

7) бо

8) бо і

532.

1) — рівність правильна, бо 30² = 900;

2) — рівність неправильна, бо -2 < 0;

3) — рівність неправильна, бо 0,3² = 0,09;

4) — рівність правильна, бо 0,8² = 0,64.

533.

1)

2)

3)

4)

Відповідь. 1) 36; 2) 97; 3) 54; 4) 5,5.

534.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Відповідь. 1) 13; 2) 1,8; 3) 8; 4) 90; 5) -0,1; 6) 0; 7) 10; 8) 1.

535.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Відповідь. 1) 10; 2) 20; 3) 13; 4) 16; 5) -0,2; 6) 6; 7) 5; 8) 0.

536.

1) Якщо а = 4, то якщо а = -8, то якщо а = -12, то

2) якщо m = 0,09, n = 0,07, то

3) якщо х = 49, то якщо х = 121, то

4) якщо b = 1,96, то якщо b = 0,04, то

537.

1) Якщо b = -9, то якщо b = 15, то

2) якщо m = 1,69, то

538.

1) х = 4;

2) х = 0;

3) рівняння не має розв’язків;

4) x = 3²; x = 9;

5) х = 4²; х = 16;

6) х = 6²; х = 36.

Відповідь. 1) 4; 2) 0; 3) рівняння не має розв’язків; 4) 9; 5) 16; 6) 36.

539.

1) х = 1²; х = 1;

2) рівняння не має розв’язків;

3) х = 5²; х = 25;

4) х = 7²; х = 49.

Відповідь. 1) 1; 2) рівняння не має розв’язків; 3) 25; 4) 49.

540.

1) Отже, заданий вираз не має змісту;

2) — вираз має зміст, бо 2009 > 2008;

3) — вираз не має змісту, бо 1000 < 1001.

541.

1) — вираз має зміст, якщо х > 0;

2) — вираз має зміст для всіх значень змінної;

3) — вираз має зміст, якщо х ≥ 0;

4) — вираз має зміст, якщо х < 0.

542.

1) — вираз має зміст, якщо у ≥ 0;

2) — вираз має зміст, якщо у > 0;

3) — вираз має зміст для всіх значень змінної;

4) — вираз має зміст, якщо у ≤ 0.

543.

1) рівняння розв’язків не має;

2) х = 32;

3) х + 3 = 4²; x + 3 = 16; х = 13;

4) 2х - 5 = 2²; 2х - 5 = 4; 2х = 9; х = 4,5.

Відповідь. 1) Рівняння не має розв’язків; 2) 32; 3) 13; 4) 4,5.

544.

1) 3х = 6²; 3х = 36; х = 12;

2) рівняння розв’язків не має;

3)

4) 2х + 7 = 3²; 2х + 7 = 9; 2х = 2; х =1.

Відповідь. 1) 12; 2) рівняння не має розв’язків; 3) 4) 1.

545.

1) має зміст, якщо а = 0;

2) має зміст, якщо а = -3;

3) має зміст при будь-якому значенні а;

4) має зміст, якщо а ≥ 0 і а ≠ 3.

546.

1) |2x -1| = 9; 2х - 1 = 9 або 2х - 1 = -9; 2х - 10 або 2х = -8; х = 5 або х = - 4;

2) х = 16;

3) х = 7²; х = 49.

Відповідь. 1) -4; 5; 2) 16; 3) 49.

547.

1) |2х + 3|=25; 2х + 3 = 25 або 2х + 3= -25; 2х = 22 або 2х = -28; х = 11 або х = -14;

2) х = 7²; х =49.

Відповідь. 1) -14; 11; 2) 49.

548.

Відповідь.-1.

549.

1) х² — 6x + 9 + у² = 0; (x - 3)² + у² = 0. Рівняння має розв’язок, якщо (х - 3)² = 0 і

у² = 0;x = 3 і у = 0;

2)|х + 2| + у² + 2у + 1 = 0; |х + 2| + (у + 1² = 0. Рівняння має розв’язок, якщо |x + 2| = 0 і (у + 1)² = 0; x = -2 і у = -1.

Відповідь. 1) х = 3, у = 0; 2) х = -2, у = -1.

550.

1)

2)

3)

4)

551.

1)

2)

3)

4)

552.

1)

2)

3)

4)

553. Розглянемо випадки.

1. xyzt + 4 = х² + у² + z²+ t²; xyzt = x² + y² + z² + t² - 4; xyzt = (x² - 1) + (у² - 1) + (z² - 1) + (t² - 1). Отже, у лівій частині міститься непарне число як добуток непарних простих чисел, а в правій— сума парних чисел, яка є парним числом (квадрат непарного числа є непарним, а якщо від нього відняти 1, то стане парним числом). Отже, рівність неможлива.

2. Деякі з простих чисел х, у, z і y дорівнюють числу 2. Тоді можливі випадки:

2.1. серед простих чисел х, у, z і t непарна їх кількість дорівнює простому числу 2. Тоді значення виразу в лівій частині рівності є парним числом (як сума двох парних чисел, одне з яких має множником число 2, а інше дорівнює 4), а в правій — непарним (як сума одного непарного та трьох парних або трьох непарних і одного парного чисел). Тому рівність неможлива.

2.2. серед простих чисел х, у, z і t два числа дорівнюють простому числу 2. Тоді 2 • 2 • zt = (2² - 1) + (2² - 1) + (z²- 1) + (t² - 1); 4zt = 6 + (z²- 1) + (t² - 1); 4zt = 6 + (z - 1)(z + 1) + (t - 1) (t + 1). Оскільки числа z i t непарні, то вирази в дужках (z - 1), (z+1), (t - 1), (t + 1) — парні, а їхні добутки (z — 1)(z + 1) і (t - 1)(t + 1) кратні 4. Тому 4zt - (z - 1)(z + 1) + (t - 1)(t + 1) = 6. Вираз у лівій частині рівності кратний 4, а вираз у правій не кратний 4. Отже, рівність неможлива.

2.3. серед простих чисел х, у, z і t усі числа дорівнюють простому числу 2. Тоді 2 • 2 • 2 • 2 + 4 = (2² - 1) + (2² - 1) + (2² - 1) + (2 - 1) — рівність неможлива, бо 2⁴ + 4 ≠ 4 • 3; 20 ≠ 12.

Отже, дана рівність неможлива при будь-яких значеннях простих чисел х, у, z і t.