Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
§ 9. Визначні точки трикутника

§ 9. Визначні точки трикутника

282. Поза трикутником можуть лежати точки перетину серединних перпендикулярів і висот.

283. Так, може. Це буде у випадку прямокутного трикутника, ортоцентром буде вершина прямого кута.

284. У рівносторонньому трикутнику всі визначні точки збігаються.

285.

a) АО = 14 мм, OD = 7 мм, СO = 18мм. СО : ОЕ = 2 : 1; 18 : OE = 2 : 1; ОЕ = 18 : 2 • 1 = 9 (см). Вимірюванням встановлюємо, що одержаний наближений результат знайдено правильно;

б) точка F ділить сторону АС навпіл: AF : FC = 1 : 1.

286. BFC = 90°, оскільки BF— висота, проведена через точку перетину інших висот AD і СЕ трикутника ABC.

287. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є одночасно бісектрисою, медіаною і серединним перпендикуляром, тому всі визначні точки рівнобедреного трикутника містяться на цій прямій.

288. Ортоцентр — це точка перетину висот трикутника. Нехай у трикутнику ABC медіана ВK збігається з висотою, тоді цей трикутник є рівнобедреним з основою АС і АВ = ВС. Якщо ж медіана AN збігається з висотою, тоді цей трикутник є рівнобедреним з основою ВС і АВ = АС, звідки випливає, що АВ = ВС = АС, тобто трикутник ABC — рівносторонній.

289. Нехай ABC— трикутник, AO - OD = 3 см. Медіани трикутника точкою поділу діляться у відношенні 2 : 1. Тому AO : OD = 2 : 1. Нехай AO = 3x см, тоді D = х см. Рівняння: 2х - х = 3; х = 3. Тоді АО = 2 • 3 = 6 (см), OD = 3 см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = АО + OD; AD = 6 + 3 = 9 (см).

Відповідь. 9 см.

290. Нехай ABC — трикутник, H — ортоцентр. Оскільки AN — висота трикутника ABC, проведена до сторони ВС, то ANBC, тоді HN— висота трикутника НВС, проведена до сторони ВС. Оскільки BF— висота трикутника ABC, проведена до сторони АС, то AFAC, тоді CF— висота трикутника НВС, проведена до сторони ВН. Оскільки СМ— висота трикутника ABC, проведена до сторони АВ, то CMAB, тоді AM— висота трикутника НВС, проведена до сторони НС. Звідси маємо, що всі висоти трикутника НВС перетинаються в точці А — його ортоцентрі.

291. Нехай ABC — трикутник, D,E i F — середини сторін трикутника АВС, О — точка перетину медіан трикутника DEF. Оскільки точки D,E i F — середини сторін трикутника ABC, то відрізки ED, EF і DF— середні лінії трикутника ABC. Тоді ED||AC і тому чотирикутник AEDF — паралелограм за ознакою про дві сторони. Тоді точки А, М і О лежать на одній прямій як діагоналі, точка М— точка перетину діагоналей, звідки за властивістю діагоналей паралелограма EM = MF, тобто DM — медіана трикутника DEF. Звідси випливає, що О∈DM, O∈AD — медіані трикутника ABC. Аналогічно можна показати, що O∈FN, O∈FB — медіані трикутника ABC, тобто точка О є точкою перетину медіан трикутника ABC, а це означає, що точки перетину медіан трикутників ABC і DEF збігаються.

292. Нехай ABCD — паралелограм, М і N— точки перетину медіан трикутників ABC і CDA відповідно. Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, тому АО = ОС і BO = OD. Тому відрізки ВО і DO — медіани відповідно трикутників ABC і CDA. Оскільки точки М і N— точки перетину медіан трикутників ABC і CDA відповідно, то M∈ BO, N∈DO, звідки випливає, що точки М і N лежать на діагоналі BD. За властивістю медіан трикутника вони діляться точкою перетину у відношенні 2 : 1, тому ВМ : МО = 2 : 1, DN : NO = 2 : 1. Нехай ВМ = 2х, тоді МО = х. Врахувавши, що BO = OD, маємо, що DN = 2x, NO = х. За аксіомою вимірювання відрізків MN = MO + ON; MN = х + х = 2х. Отже, ВМ = MN = ND.

293.

1) Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), (О; R) — описане навколо нього коло, відстань від точки О до АС дорівнює 3 см, R = 6 см, BN — медіана, М — точка перетину медіан трикутника ABC. Центр описаного навколо трикутника кола міститься в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є одночасно його бісектрисою, висотою і серединним перпендикуляром. Тому O∈BN. Оскільки BNAC, то відстанню від точки О до основи є відрізок ON. За аксіомою вимірювання відрізків BN = BO + ON; BN = 6 + 3 = 9 (см). Так як М — точка перетину медіан, то за властивістю медіан BM : MN = 1 : 2. Нехай ВМ = 2х см, тоді MN = x см. Рівняння: 2х + х = 9; 3х = 9; х = 3. Тоді ВМ = 2 • 3 = 6 (см), тоді MN = 3 см;

2) Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), (О; R) — описане навколо нього коло, відстань від точки О до АС дорівнює 3 см, R = 6 см, BN — медіана, М — точка перетину медіан трикутника ABC. Центр описаного навколо трикутника кола міститься в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є одночасно його бісектрисою, висотою і серединним перпендикуляром. Тому O∈BN. Оскільки BNAC, то відстанню від точки О до основи є відрізок ON. За аксіомою вимірювання відрізків BO = BN + NO; BN = BO - NO; BN = 6 - 3 = 3 (см). Так як M — точка перетину медіан, то за властивістю медіан BM : MN = 2 : 1. Нехай ВМ = 2х см, тоді MN = x см. Рівняння: 2х + х = 3; 3х = 3; х = 1. Тоді ВМ = 2 • 1 = 2 (см),тоді MN = 1 см;

Відповідь. 6 см, 3 см; 2 см, 1 см.

294. Дано: m_а, m_b, m_с — медіани трикутника ABC. Побудувати: трикутник ABC.

Схема побудови. Поділяю відрізки m_а, m_b, m_с у відношенні 2 : 1 і будую трикутник за трьома сторонамиДля цього будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. З точки А проводжу коло радіуса яке перетне пряму m у точці K. З точки А проводжу коло радіуса а з точки K — коло радіусаКола перетнуться в точці О. Сполучаю відрізками точки А і О та K і О. Через точку О проводжу пряму, паралельну до АK, а через точку K — пряму, паралельну до АО. Прямі перетнуться в точці С. На прямій KО за точкою О відкладаю відрізок ОВ = KО й одержую вершину В. Сполучаю відрізками точки А і В та В і С. Отже, трикутник ABC— шуканий, бо в ньому m_а, m_b, m_с — медіани за побудовою.

295. Нехай ABC — трикутник, ED, EF і DF — його середні лінії, точка О— ортоцентр трикутника DEF. Оскільки ED, EF і DF— середні лінії трикутника ABC, то ED||AC, EF||BC, DF||AB, АЕ = ЕВ, BD = DC, AF = FC. Так як точка О — ортоцентр, то EK DF, FN ED, DM EF. Звідси маемо, що EKLAB, FN AC, DM BC і АЕ = ЕВ, BD = DC, AF = FC, тобто О — точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника ABC, тому вона є центром описаного навколо цього трикутника кола.

296. Нехай ABC— прямокутний трикутник ( B = 90°), ВМ— медіана, NK||BM, ВМ = 6 см. За властивістю медіани прямокутного трикутника ВМ = АМ = МС = 6 см. За аксіомою вимірювання відрізків АС = АМ + МС; АС = 6 + 6 = 12 (см). У куті А за теоремою Фалеса паралельні прямі NK і ВМ відтинають на сторонах рівні відрізки, тому АK = KМ; АK = АМ = 6 : 2 = 3 (см). За аксіомою вимірювання відрізків KС = KМ + МС; KС = 3 + 6 = 9 (см).

Відповідь. 3 см, 9 см.

297.

а) 5,4 : х = 2,7 : 7,2; 2,1 х = 5,4 • 7,2;х = 2 • 7,2; х = 14,4;

б)x + 1 = 60; x = 59.

Відповідь, а) 14,4; б) 59.

298. Нехай в опуклому чотирикутнику не всі кути рівні. За теоремою про суму кутів чотирикутника їх сума дорівнює 360°. Припустимо, що в чотирикутнику три кути прямі, тоді й четвертий кут повинен дорівнювати 90°, що суперечить умові. Якщо в чотирикутнику два кути прямі, то серед решти двох один тупий, інший — гострий. Припустимо, що в чотирикутнику всі кути більші від 90°. Тоді сума таких кутів буде числом, більшим за 360°, що суперечить теоремі про суму кутів чотирикутника Припущення хибне. Отже, в кожному чотирикутнику є кут, не більший за 90°, тобто гострий.

299. Нехай ABCD— паралелограм, один кут дорівнює сумі двох інших. За властивістю паралелограма протилежні кути рівні, тому заданий кут може дорівнювати сумі рівних протилежних кутів, тоді він має бути тупим. Нехай В = А + C = 2A, тоді D = 2A. За теоремою про суму кутів чотирикутника А + B + C + D = 360°; А + 2A + A + 2A = 360°; 64 = 360°; A = 60°. Отже, A = C = 60°, B = D = 2 • 60° = 120°. Даний чотирикутник може бути ромбом, але не може бути квадратом.

Відповідь. 60°, 120°, 60°, 120°; ромбом може, квадратом — ні.

300. Нехай ABCD — квадрат, АС і BD — діагоналі, АС = 1 CM, EFAC. За властивістю діагоналей квадрата АС = BD = 7 см, АО = ОС, ACBD. Оскільки EFAC і ACBD, то EF||BD. У куті С за теоремою Фалеса паралельні прямі відтинають рівні відрізки, тому ВС = BE і CD = DF. У квадрата сторони рівні, тому ВС = CD, звідки BC = CD = BE = DF. Розглянемо трикутники A BE, BCD і FDA. У них: 1) АВ = ВС = FD за доведеним вище; 2) BE = CD = DA за доведеним вище. Отже, ABE = BCD = FDA за двома катетами. Тоді EA = DB = AF = 7 см як відповідні елементи рівних трикутників. За аксіомою вимірювання відрізків маємо, що EF = ЕА + AF; EF = 7 + 7 = 14 (см).

Відповідь. 14 см.

301. Нехай ABC — трикутник, MN і NK— середні лінії, MN = NK, MNNK. За властивістю середньої лінії трикутника маємо: МN||АС, NK||AB, Оскільки MNNK, то АВАС. Якщо MN= NK, то АС = АВ. Отже, трикутник ABC— прямокутний рівнобедрений. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ABC + ACB = 90°. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, тому ABC = ACB = 90° : 2 = 45°.

Відповідь. 90°, 45°, 45°.

302. Нехай ABCD — чотирикутник, АС і BD — діагоналі, М, N, K і L — відповідно середини сторін прямокутника AB, ВС, CD і AD. MN — середня лінія трикутник ABC, тому МN||АС. Аналогічно NK||BD, LK||AC, ML||BD. Отже, ML||NK, MN||LK, тому чотирикутник MNPK— паралелограм. За властивістю діагоналей паралелограма вони поділяються навпіл, тому MO = OK, LO= ON.

303. Нехай ABCD—- прямокутна трапеція (A = B = 90°, AD||BC), AD = 12 см, ВС = 8 CM, C = 3D. За властивістю кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, C + D= 180°. Нехай D = x, тоді C = 3х. Рівняння: 3х + х = 180°; 4х = 180°; х = 45°. Отже, D = 45°, тоді C = 3 • 45°= 135°. Проведемо висоту CM. Розглянемо прямокутний трикутник CMD (CMD = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника MCD + MDC = 90°; MCD = 90° - MDC; MCD = 90° - 45° = 45°. Оскільки MCD = MDC, то трикутник СMD— рівнобедрений (MC= MD). Чотирикутник АВСМ— прямокутник, тому AM = ВС = 8 см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AM + MD; MD = AD — AM; MD = 12 — 8 = 4 (см). Тому СМ = 4 см.

Відповідь. 4 см.

304. Нехай ABCD — трапеція (AB//CD), АВСМ — ромб, MCD — рівносторонній трикутник, P_ABCD = 60 см. Оскільки АВСМ— ромб, то АВ = ВС = СМ=AM. З того, що MCD — рівносторонній трикутник, маємо, що МС = CD = MD. Тому AB = BC = CM = AM = CD = MD. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AM + MD; AD = 2AM. P_ABCD = AB + ВС + CD + AD; P_ABCD = 5AM. AM= = P_ABCD • 5; AM = 60 : 5 = 12 (cм). Тоді ВС = 12 CM, AD = 2 • 12 = 24 (cм). Тоді маємо:

Відповідь. 18 см.

305. Нехай ABC— трикутник, ВНАС, АН = 2 см, НС = 6 см, AM — медіана, MDAC. Якщо AM — медіана, то ВМ = МС. Оскільки ВНАС і MDAC, то BH||MD. За теоремою Фалеса паралельні прямі відтинають на сторонах кута С рівні відрізки, тому HD = DC = НС : 2 = 6 : 2 = 3 (см). Тоді за аксіомою вимірювання відрізків AD = AH + HD; AD = 2 + 3 = 5 (см).

Відповідь. 5 см, 3 см.

306.

а) Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), A + B + C = 300°. За теоремою про суму кутів чотирикутника A + B + C + D = 360°; D = 360° - (A + B + C); D = 360° - 300° = 60°. Оскільки навколо трапеції можна описати коло, то трапеція є рівнобічною. За властивістю кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, C + D = 180°; C = 180°- D; C = 180°- 60° = 120°. За властивістю кутів при одній основі рівнобічної трапеції A = D = 60°, B = C = 120°;

б) нехай ABCD— трапеція (AD||BC), P_ABCD = 16 см. Оскільки трапеція описана навколо кола, то АВ + CD = AD + ВС = P_ABCD : 2 = 16 : 2 = 8 (см). Тоді AB = CD = 8 : 2=4 (cм) як рівні бічні сторони рівнобічної трапеції. Проведемо висоти ВK і CN трапеції. Розглянемо трикутники АKВ і DNC. У них: 1) AB = CD як бічні сторони рівнобічної трапеції; 2) BAK = CDN як кути при одній основі рівнобічної трапеції. Отже, АKВ = DNC за гіпотенузою і гострим кутом. Тому АK = ND і ABK = DCN як відповідні елементи рівних трикутників. Розглянемо прямокутний трикутник АКВ. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника BAK + ABK = 90°; ABK = 90° - BAK; ABK = 90° - 60° = 30°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:Тоді АK = ND = 2 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AD = АK + KN + ND; AD = 4 + KN. Так як KBCN— прямокутник, то ВС = KN. Оскільки AD + ВС = 8 см, то 4 + KN+ ВС = 8; 2ВС = 4; ВС = 2 (см), звідки AD = 4 + 2 = 6 (см).

Відповідь, а) 60°, 120°, 120°, 60°; б) 4 см, 2 см, 4 см, 6 см.

307.

а) Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), AM = МС, EF — середня лінія. Якщо EF — середня лінія трапеції, то EF||AD||BC. Оскільки AM = МС за умовою, АЕ = BE за означенням середньої лінії, то ЕМ — середня лінія трикутник ABC, звідкиОскільки AM = МС за умовою, CF = FD за означенням середньої лінії, то MF— середня лінія трикутник ACD, звідки MF = AD. За аксіомою вимірювання відрізків EF = ЕМ + MF;

б) нехай ABCD— чотирикутник, E і F— середини сторін AB і CD, За аксіомою вимірювання відрізків EF = ЕМ+ MF, звідки маємо, що і ТОДІ EM І MF— середні лінії трикутників ABC і ACD відповідно, звідки ЕМ||ВС, MF||AD, а значить EF||BC||AD. Тому чотирикутник ABCD — трапеція. Якщо ВС = AD, то умова задачі теж виконується, а чотирикутник ABCD є паралелограмом за властивістю двох сторін.

308. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), АС і BD— діагоналі, ACBD. Розглянемо трикутники ABD і DC А. У них: 1) AD— спільна сторона; 2) АВ = CD як бічні сторони рівнобічної трапеції; 3) BAD = CDA як кути при основі рівнобічної трапеції. Отже, ABD = DCA за двома сторонами і кутом між ними (за 1 ознакою рівності трикутників). Тому BDA = CAD як відповідні елементи рівних трикутників. Розглянемо прямокутний трикутник AOD (A - OD = 90°). Оскільки ODA = OAD за раніше доведеним, то за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ODA = OAD = 45°. Проведемо висоту BF. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника BDF + FBD = 90°; FBD = 90° - BDF; FBD = 90° - 45° = 45°, тому BF = FD як бічні сторони рівнобедреного трикутника BDF. У рівнобічній трапеції висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на два відрізки, більший з яких дорівнює півсумі основ, тобто середній лінії, тобто FD = MN. Отже, BF = MN.

309.

І випадок. Нехай ABCD— паралелограм, АМm, AM = a, CKm, СK = с. Проведемо через точку D перпендикуляр DN до прямої m. Проведемо через точку D пряму n таку, що n||m. Продовжимо МА і KС до перетину з прямою п, одержимо точки Е та F. Чотирикутник EMKF— прямокутник. Тоді маємо, що EM||DN||FK і n||m, звідки випливає, що EM = DN = FK. Розглянемо трикутники AED і СKВ. Вони рівні за гіпотенузою і катетом. Тоді АЕ = СК = с. За аксіомою вимірювання відрізків ЕМ = ЕА + AM; ЕМ = с + а. Отже, DN = а + с.

II випадок. Нехай ABCD — паралелограм, АМm, AM = а, СKm, СК = с. Проведемо через точку D перпендикуляр DN до прямої m. Проведемо через точку D пряму n таку, що n||m. Прямі AM і n у перетині дають точку E. Чотирикутник EMFD— прямокутник. Тоді маємо, що EM||DN і n||m, звідки випливає, що EM = DN. Розглянемо трикутники AEL і CKF. Вони рівні за гіпотенузою і катетом. Тоді АЕ = СК = с. За аксіомою вимірювання відрізків АМ = АЕ + ЕМ; ЕМ = AM — АЕ; ЕМ = а - с. Отже, DN = а - с.

310. Нехай ABCD — паралелограм, АС — діагональ, ВМ = МС, CN = ND. За властивістю діагоналей паралелограма BO = OD. Розглянемо трикутник BCD. Оскільки BO =OD, то СО— медіана, проведена до сторони BD; оскільки ВМ = МС, то DM— медіана, проведена до сторони ВС; оскільки CN = ND, то BN— медіана, проведена до сторони CD. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, тому K∈АС.

311. Нехай ABCD— опуклий чотирикутник, у якому АС і BD— діагоналі, ACED, точки М і N— відповідно середини сторін AB і AD, MKCD, NLBC. Так як М i N — відповідно середини сторін AB і AD, то AM = MB і AN = ND. Продовжимо МК до перетину з ВС, одержимо точку Q. Побудуємо QCR ~ BCD. Тоді CQR = CBD. Отже, BD||QR за властивістю паралельних прямих. Оскільки ACABD, то ACQR. Нехай . Так як точки М і N— відповідно середини сторін AB і AD, то MN— середня лінія трикутника ABD, звідки MN||BD. Але BD||QR, тому MN||QR. Тоді LNM = LRQ як відповідні кути при паралельних прямих MN і QR та січній LR. У той же час NLBC, тому RLQC. Отже, RL— висота трикутника QCR. Таким чином, QKCR, CGQR, RLQC, тобто QK, CG і RL — висоти трикутника QCR, тому вони перетинаються в одній точці — точці О, звідки випливає, що О∈CR, тобто О∈АС.

312. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), АK і ВK — бісектриси кутів А і В. CBA + ABC = 180° як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції. Оскільки АK і ВK — бісектриси, то BAK + ABK = 90°. Розглянемо трикутник АВK. Тоді за теоремою про суму кутів трикутника BAK + ABK + BKA = 180°, звідки BKA = 90°. Позначимо на стороні АВ таку точку М, що АМ = MB. За властивістю медіани, проведеної з вершини прямого кута, маємо:тому МK = АМ = MB. Розглянемо трикутник МВK. Оскільки МK = MB, то він є рівнобедреним з основою ВK. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника MKB = MBK. Так як МK — бісектриса, то MBK = KBC, звідки MKB = KBC. Але ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих ВС і МK та січній ВK. З рівності кутів випливає, що МK||ВС. Отже, точка K належить середній лінії трапеції.

313. Нехай а, b і с — задані прямі, кут між будь-якими двома з них дорівнює 60°, точка D — довільна точка, DAa, DBb, DCc. Оскільки OAD = 90°, то навколо прямокутного трикутника OAD можна описати коло діаметра OD. Аналогічно через точки О, С і D та О, В і D теж можна описати кола діаметра OD, оскільки OCD = 90° і OBD = 90°, тобто точки О, A, D, В і С лежать на одному колі. CAB = COB = 60° як кути, що спираються на одну й ту саму дугу СВ. Аналогічно ACB = AOB = 60° як кути, що спираються на одну й ту саму дугу АВ. За теоремою про суму кутів трикутника CAB + ACB + ABC = 180°. Маємо: 60° + 60° + ABC = 180°; ABC = 60°. Тому трикутник ABC — рівносторонній.

314. Нехай (О; R)— коло, АВ і АС— дотичні, F— центр кола, вписаного в трикутник ABC. Проведемо радіуси в точки дотику. Тоді OBAB і OCAC, тому OBA = OCA = 90°. Розглянемо прямокутні трикутники ОВА і ОСА. У них: 1) АО — спільна сторона; 2) ОВ = ОС як радіуси. Отже, ОВА = ОСА за гіпотенузою і катетом. Тому BOA = COA, BAO = CAO, AB = АС як відповідні елементи рівних трикутників. З рівності BAO = CAO маємо, що АО — бісектриса кута А. Центр кола, вписаного в трикутник, міститься в точці перетину бісектрис його кутів, тому F∈AO. Далі маємо, що BF— бісектриса кута СВА, тому CBF = FBAж CF— бісектриса кута ВСА, тому BCF = FCA. Розглянемо рівнобедрений трикутник ABC. У ньому ABC = ACB як кути при основі рівнобедреного трикутника. Тоді CBF = FBA = BCF = FCA. Проведемо промінь АО, нехай він перетне коло в точці D. Нехай Кут BDC — вписаний кут, кут ВОС — центральний, тоді за властивістю вписаного кута BOC = 2BDC; Тоді Розглянемо рівнобедрений трикутник ОВС (ОВ = ОС як радіуси). Тоді OBC = OCB як кути при основі рівнобедреного трикутникаю 3 теореми про суму кутів трикутника маємо: За аксіомою вимірювання кутів маємо: OBC + CBA = 90°; CBA = 90° - OBC; Аналогічно Так як BF і CF — бісектриси, тоРозглянемо трикутник BFC. За теоремою про суму кутів трикутника FBC + FCB + BFC = 180°; BFC = 180° - (FBC + FCB);У чотирикутнику DBFC DBF + DCF= 90° + 90° = 180°, тому в нього можна вписати коло, звідки випливає, що точка F лежить на цьому колі.

315. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), АС— діагональ, ACCD, ВС = АВ. BCA = CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. BAC = BCA як кути при основі рівнобедреного трикутника ABC. Тому нехай BCA = CAD = BAC = х. За аксіомою вимірювання кутів A = BAC + CAD = х + х = 2х. A = D = 2х як кути при основі рівнобедреної трапеції. Розглянемо прямокутний трикутник ACD (ACD = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника CAD + CDA = 90°; х + 2х = 90°; 3x = 90°; х = 30°. Отже, A = D = 2 • 30° = 60°. A + B = 180° як кути при основі трапеції, звідки B = 180° - A; B = 180° - 60° = 120°. B = C = 120° як кути при основі рівнобедреної трапеції.

Відповідь. A = D = 60°, B = C = 120°.

316. Нехай ABC— гострокутний трикутник, точка М, BMAB, СМАС. Сполучимо точку М з точками В і С. Розглянемо чотирикутник АВМС. У ньому ABM = ACM = 90°, звідки ABM + ACM = 90° + 90° = 180°. За теоремою про суму кутів чотирикутника A + ABM + M + ACM = 360°, звідки A + M = 180°. Отже, навколо чотирикутника АВМС можна описати коло, яке буде описаним колом навколо трикутника ABC. А це означає, що точка М лежить на колі, описаному навколо трикутника ABC.

317.

а) Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), A + D = 90°, BN = NC, AK = KD. Продовжимо бічні сторони трапеції до перетину, в результаті чого одержимо прямокутний трикутник AMD. З прямокутного трикутника ВМС за властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи, маємо:Аналогічно з прямокутного трикутника AMD за властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи, маємо: За властивістю вимірювання відрізків МK = MN + NK; NK = МK - MN;

б) якщо відрізок, який сполучаєсередини основ трапеції, дорівнює їх піврізниці, то сума кутів при основі трапеції дорівнює 90°. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), BN = NC, AK = KD,Нехай АK = а, BN = b, тоді NK = а - b. Продовжимо бічні сторони AB і CD трапеції до перетину, нехай утвориться точка Відрізок KO — медіана трикутника AMD. Проведемо через точку С пряму СЕ таку, що CE||NK. Тоді в трикутнику CED СЕ = а - b, ED = а - b, тому трикутник CED — рівнобедрений, звідки ECD = EDC. Далі маємо: ECD = KMC як відповідні кути, утворені при перетині паралельних прямих МK і СЕ січною MD. Аналогічно BCM = ADC як відповідні кути, утворені при перетині паралельних прямих ВС і AD січною MD. Але ECD = EDC, тому NMC = NCM, тобто трикутник MNC— рівнобедрений, звідки MN = NC = b. За аксіомою вимірювання відрізків МK = MN + NK = b + а - b = а. Отже, трикутник АKМ— рівнобедрений, звідки KAM = KMA. Нехай Тоді з трикутника AMD за теоремою про суму кутів трикутника маємо: DAM + AMK + KMD + MDA = 180°; CDA + BAD = 180°.