Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ ІІI. Многокутники. Площі многокутників
§ 15. Многокутник і його елементи

506. З кожної вершини и-кутника виходить (n - 3) діагоналі, тому з кожної вершини семи кутника виходить 7 — 3 = 4 (діагоналі).

507.

а) Не може, бо тоді кількість вершин має дорівнювати 1 + 1 + 1 + 1 = 4;

б) може, бо тоді кількість вершин має дорівнювати 1 + 2 + 1 + 2 = 6;

в) може, бо тоді кількість вершин має дорівнювати 1 + 1 + 1 + 3 = 6.

508. Кількість вершин, що залишилася, дорівнює 5 - 1 - 3 - 1 = 1, тому фігура, що залишилася, — трикутник.

509. Сума кутів опуклого п’ятикутника дорівнює 180°(5 - 2)= 180° • 3 = 540°.

а) Нехай опуклий п’ятикутник має 4 гострі кути, тоді їх сума менша за 4 • 90° = 360°. Тоді градусна величина п’ятого кута має бути більша за 540°- 360° = 180°, що неможливо;

б) нехай опуклий п’ятикутник має 4 прямі кути, тоді їх сума дорівнює 4 • 90° = 360°. Тоді градусна величина п’ятого кута має дорівнювати 540° - 360° = 180°, що неможливо;

в) може, якщо сума чотирьох тупих кутів менша за 540°.

510. Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 180°(4 - 2) = 180° • 2 = 360°, а сума кутів опуклого п’ятикутника — 180°(5 - 2) = 180° • 3 = 540°. Якщо б виконувалася умова задачі, то п’ятий кут мав би дорівнювати 540°-360°= 180°, що неможливо.

511.

а) ABCDE— п’ятикутник, АС, AD, BD, BE, СЕ — діагоналі. З однієї вершини виходить дві діагоналі;

б) при попарному перетині всіх діагоналей утворився п’ятикутник;

в) A = 118°, B = 98°, C = 109°, D = 91°, E = 124°. Сума кутів п’ятикутника дорівнює 180°(5 - 2) = 180° • 3 = 540°; 118° + 98° + 109° + 91 ° + 124° = 540°.

512.

а) На два чотирикутники шестикутник ABCDEF ділять діагоналі AD, BE, CF;

б) на трикутник і п’ятикутник шестикутник ABCDEF ділять діагоналі АС, BD, СЕ, DF, EA, FB. Сумарна кількість кутів многокутників, на які многокутник ділиться діагоналлю, на 2 більше за кількість кутів заданого многокутника.

513.

а) 180°(6 - 2) = 180° • 4 = 720°;

б) 180°(12 - 2) = 180° • 10= 1800°.

514.

а) 540°= 180°(n - 2); n - 2 = 540° : 180°; n - 2 = 3; n = 3 + 2; n = 5;

б) 900° = 180°(n - 2); n - 2 = 900° : 180°; n - 2 = 5; n = 5 + 2; n = 7;

в) 1260° = 180°(n - 2); n - 2 = 1260° : 180°; n - 2 = 7; n = 7 + 2; n = 9.

515. Сума кутів опуклого восьмикутника дорівнює 180°(n - 2) = 180°(8 - 2) = 180° • 6 = 1080°. Тоді кожен кут дорівнює 1080° : 8 = 135°.

516. Сума кутів опуклого п’ятикутника дорівнює 180°(n - 2) = 180°(5 - 2) = 180° • 3 = 540°. Сума двох прямих кутів дорівнює 90° • 2 = 180°, тоді сума решти кутів — 540° - 180° = 360°. Тоді градусна міра кожного з непрямих кутів дорівнює 360° : 3 = 120°.

517. Сума кутів опуклого шестикутника дорівнює 180°(n - 2) = 180°(6 - 2) = 180° • 4 = 720°. Сума п’яти заданих кутів дорівнює 120°- 5 = 600°, тоді градусна міра шостого кута — 720° - 60° = 120°, тобто всі кути дорівнюють по 120°.

518.

а) 180°(n - 2) = 1620°; n - 2 = 1620° : 180°; n - 2 = 9; n = 11. Отже, даний многокутний існує, це одинадцятикутник;

б) 180°(n - 2) = 1350°; n - 2 = 1350° : 180°; n - 2 = 7,5; n = 9,5. Отже, даний многокутний не існує, бо кількість вершин не є натуральним числом;

в) 180°(n - 2) = 1980°; n - 2 = 1980° : 180°; n - 2 = 11; n = 13. Отже, даний многокутний існує, це тринадцятикутник.

519. Кількість вершин даного многокутника — 5 + 4 - 2 = 7. Отже, цей многокутник є семикутником. Сума кутів опуклого семикутника дорівнює 180°(n -2) = 180°(7 - 2)= 180° • 5 = 900°.

Відповідь. Семикутник; 900°.

520. Суму кутів опуклого лn-кутника обчислюють за формулою 180°(n - 2), градусна міра кутів по 80° становить 3 • 80° = 240°, тоді градусна міра решти кутів — 160°(n - 3). Рівняння: 180°(n - 2) - 3 • 80° = 160°(n - 3); 180°n - 360° - 240° = 160°n - 480°; 20°n = 120°; n = 120° : 20°; n = 6. Отже, кількість сторін дорівнює 6.

Відповідь. 6.

521.

а) 180°(n - 2) = 60° • n; 180°n - 360° = 60°n; 120°n = 360°; n = 360° : 120°; n = 3. Отже, цей многокутник — трикутник;

б) 180°(n - 2) = 108° • n; 180°n - 360° = 108°n; 72°n = 360°; n = 360° : 72°; n = 5. Отже, цей многокутник — п’ятикутник;

в) 180°(n - 2)= 120° -n; 180°n - 360° = 120°n; 60°n = 360°; n = 360° : 60°; n = 6. Отже, цей многокутник — шестикутник.

522. 180°(n - 2) = 90° • n; 180°n - 360° = 90°n; 90°n = 360°; n = 360° : 90°; n = 4. Отже, цей многокутник — чотирикутник. Якщо в чотирикутника кути прямі, то він є прямокутником.

523. З кожної вершини л-кутника виходить (n - 3) вершини, усього вершин є пn але кожна діагональ врахована двічі. Тому кількість діагоналей дорівнює

524. Нехай опуклий л-кутник має чотири гострі кути. Тоді сума зовнішніх кутів, які суміжні з цими зовнішніми кутами, більша за 360°, що суперечить теоремі при суму зовнішніх кутів опукломногокутника. Отже, будь-який опуклий многокутник не може мати більш ніж три гострі кути.

525. Нехай ABCDE — рівносторонній п’ятикутник (АВ = ВС = CD = DE = АЕ), A = B = 90°. Сполучимо вершини С і Е. Тоді чотирикутник АВСЕ — квадрат, звідки АВ = ВС = СЕ = АЕ, A = B = BCE = CEA = 90°. Трикутник CDE — рівносторонній, CD = DE = СЕ, ECD = D = DEC = 60°. За аксіомою вимірювання кутів BCD = BCE + ECD; BCD = 90° + 60° = 150°; AED = AEC + CED; AED = 90° + 60° = 150°. Отже, кути п’ятикутника — 90°, 90°, 150°, 60°, 150°.

Відповідь. 90°, 90°, 150°, 60°, 150°.

526. Нехай ABCDEF... — многокутник. Проведемо діагональ АС. За нерівністю трикутника маємо: AB < ВС + АС. Проведемо діагональ AD. За нерівністю трикутника AC < CD + AD. Проведемо діагональ АЕ. За нерівністю трикутника AD < DE + АЕ і т. д. Тоді AB < ВС + АС< ВС + CD + AD < ВС + CD + DE + АЕ < ...

527. Нехай ABCDEF... — многокутник, P = 20 см. Діагональ ділить многокутник на два многокутники. Оскільки будь-яка сторона многокутника менша за суму всіх інших сторін, то діагональ d< P₁ де Р₁ — сума решти сторін многокутника, крім d. Аналогічно d < P₂. Але Р₁ + Р₂ = Р. Додамо почастинно обидві нерівності: 2d < P; Отже діагональ многокутника не може дорівнювати 10 см.

528. Нехай ABCD — паралелограм, АМ = MB, KN1EC. Розглянемо трикутники BNM і АКМ. У них: 1) АМ = МВ за умовою; 2) BMN = AMK як вертикальні; 3) NBM = KAM як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній АВ. Отже, BNM = АКМ за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників).

529. Нехай ABCD— паралелограм, ВМ і BN— висоти, BMAD, BNCD. Р = АВ + ВС + CD + AD. У прямокутному трикутнику АМВ катет ВМ менший за гіпотенузу АВ: ВМ < АВ: у прямокутному трикутнику BNC катет BN менший за гіпотенузу ВС: BN < ВС. Тоді ВМ + BN < АВ + ВС. Аналогічно для висот, проведених з вершини D, маємо: BM + BN < AB + BC. Тоді ВМ +BN + ВМ + BN < АВ + ВС + CD + AD = Р.