Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 1. Чотирикутники
§ 6. Трапеція

184. Відповідь. Мал. 73, 74.

185. РK, LM— основи трапеції, PL і KМ — бічні сторони.

186. DM, FK — основи трапеції, DK і MF— бічні сторони.

187. ABCD — прямокутна трапеція A = B = 90°.

188. ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD), АВ = CD.

189. Нехай ABCD — трапеція (BC||AD), B = 100°, D = 20°. Оскільки сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°, то маємо: A 180° - B = 180° - 100° = 80°, C= 180° - D = 180° - 20° = 160°.

Відповідь. 80°, 160°.

190. Нехай ABCD— трапеція (BC||AD), B = 110°, D = 40°. Оскільки сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°, то маємо: A = 180° - B = 180° - 110° = 70°, C = 180°- D = 180°- 40° = 140°.

Відповідь. 70°, 140°.

191. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD ), AB = CD, P= 28 см. P = AB + BC + CD + AD, оскільки AB = CD, то P = 2AB + BC + AD, 2AB = P - (BC + AD). Звідси 2 • AB = 28 - (8 + 10) = 28 - 18 = 10 (см). AB = CD = 10 : 2 = 5 (см).

Відповідь. 5 см.

192. Нехай ABCD— трапеція (AB = CD), BC = 5 см, AD = 7 см, AB = CD = 3 см. 3a формулою периметра маємо: P = AB + ВС + CD + AD, P = 5 + 3 + 7 + 3 = 18 (см). Відповідь. 18 см.

193.

1) Так (див. рис. до № 193);

2) ні, якщо протилежні кути прямі, то буде прямокутник;

3) так (див. рис. до № 193).

194.

1) Ні, якщо дві сторони у чотирикутнику паралельні і рівні, то цей чотирикутник — паралелограм;

2) так, наприклад, рівнобічна трапеція у якої одна з основ дорівнює бічній стороні.

195.

1) Ні, бо тоді четвертий кут теж буде прямий (360° - 270° = 90°), тому чотирикутник може бути квадратом або прямокутником;

2) так (див. рис. до № 193.1), де A = C).

196. Нехай ABCD — трапеція (BC||AD). За означенням трапеції BC||AD, тому CAD і ACB — внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній АС.

197.

1) Нехай кути чотирикутника дорівнюють 2х, 3х, 4х, х. Враховуючи, що сума кутів чотирикутника рівна 360°, маємо: 2х + 3х + 4х + х = 360°, 10x = 360°, х = 36°. Тоді 1 = 2 • 36° = 72°, 2 = 3 • 36° = 108°, 3 = 4 • 36° = 144°, 4 = 36°. У трапеції сума кутів прилеглих до бічних сторін дорівнює 180°. Оскільки 1 + 2 = 12° + 108° = 180° і 3 + 4 = 144° + 36° = 180°, тоді існує трапеція з кутами, які відносяться як 2 : 3 : 4 : 1.

Відповідь. Так;

2) нехай кути чотирикутника дорівнюють 2х, 3х, 5х, 2х. Враховуючи, що сума кутів чотирикутника рівна 360°, маємо: 2х + 3х + 5х + 2х = 360°, 12х = 360°, х = 30°. Тоді 1 = 2 • 30° = 60°, 2 = 3 • 30° = 90°, 3 = 5 • 30° = 150°, 4 = 2 • 30° = 60°. При даних кутах немає жодної пари, де сума сусідніх кутів дорівнює 180°.

Відповідь. Ні.

198.

1) Нехай кути чотирикутника дорівнюють 3х, х, 2х, 2х. Враховуючи, що сума кутів чотирикутника рівна 360°, маємо: 3х + х + 2х + 2х = 360°, 8х = 360°, х = 45°. Тоді 1 = 3 • 45° = 135°, 2 = 45°, 3 = 2 • 45° = 90°, 4 = 2 • 45° = 90°. Оскільки 1 + 2 = 135° + 45° = 180° і 3 + 4 = 90° + 90° = 180°, тоді існує трапеція з кутами, які відносяться як 3 : 1 : 2 : 2.

Відповідь. Так;

2) нехай кути чотирикутника дорівнюють 3х, х, 2х, 4х. Враховуючи, що сума кутів чотирикутника рівна 360°, маємо: 3х + х + 2х + 4х = 360°, 10х = 360°, х = 36°. Тоді 1 = 3 • 36°= 108°, 2 = 36° = 36°, 3 = 2 • 36° = 72°, 4 = 4 • 36° = 144°. Оскільки 1 + 2 = 108° + 36° = 144° i 3 + 4 = 72° + 144° = 208°, тоді не існує трапеція з кутами, які відносяться як 3 : 1 : 2 : 4.

Відповідь. Ні.

199. Нехай ABCD— трапеція (ВС||AD, AB ≠ CD), B = 140°, D = 40°. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°. Звідси A = 180° - B = 180° - 140° = 40°, C = 180° - D = 180° - 40° = 140°. Отже, ABCD — рівнобічна трапеція, що суперечить умові.

Відповідь. Ні.

200. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), ABK = 38°. Оскільки ВK— висота, то KBC = 90°, тоді за аксіомою вимірювання кутів ABC = 90° - 38° = 52°. Оскільки трапеція рівнобічна, то B = C = 58°, тоді A = D = 180° - 52°= 128°.

Відповідь. 128°, 52°, 52°, 128°.

201. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (BC||AD, АВ = CD), ВK — висота, ABK = 56°. Оскільки ВK — висота, то АKВ — прямокутний (K = 90°). За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника A = 90° - 56° = 24°. Тоді A = D = 24°, aB = C = 180° - 24° = 156°.

Відповідь. 24°, 156°, 156°, 24°.

202. Нехай ABCD — трапеція (АВ||CD, ВС = AD), ECD = 40°, AEB = 70°. Оскільки AB||CD, то ECD = EBA = 40° як відповідні кути. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: EDC= 180° - 40° - 70° = 70° і EDC = EAB = 70° як відповідні при паралельних прямих АВ і CD та січній AЕ. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°. Тому BCD = 180° - B = 180° -40° = 140°, D = 180° - A = 180° - 70° = 110°.

Відповідь. 40°, 140°, 110°, 70°.

203. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD, ВС < AD), BE||CD, ABE = 60°, AEB = 40°. Розглянемо ABE. За теоремою про суму кутів трикутника A = 180°- 60° - 40° = 80°. AEB = ADC = 40° — як відповідні кути при паралельних прямих BE і CD та січній ED. Оскільки сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°, маємо: B = 180° - A = 180° - 80° = 100°, C= 180° - D = 180° - 40° = 140°.

Відповідь. 80°, 100°, 140°, 40°.

204. Нехай задана прямокутна трапеція. Нехай гострий кут трапеції дорівнює х, тоді за умовою задачі тупий кут становить 2x. Оскільки сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, маємо: 2х + х = 180°; 3х = 180°; х = 60°. Тоді гострий кут трапеції дорівнює 60°, а тупий — 2 • х = 120°.

Відповідь. 90°, 90°, 120°, 60°.

205. Нехай задана прямокутна трапеція. Нехай гострий кут прямокутної трапеції дорівнює х, тоді тупий — х + 40°. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°. Маємо: х + х + 40° = 180°, 2х = 140°, х = 70°. Тоді гострий кут трапеції дорівнює 70°, а тупий —х + 40° = 70° + 40° = 110°.

Відповідь. 90°, 90°, 70°, 110°.

206. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС, АВ = CD), CD = 2 • СK. Розглянемо ДCKD (K = 90°). За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо, що D = 30°. Оскільки сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, то C = 180° - D = 180° - 30° = 150°.

Відповідь. 30°, 150°, 150°, 30°.

207. Нехай ABCD— трапеція, A + C = 180°. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Оскільки A + C = 180°, то B + D = 180°. За властивістю чотирикутника, вписаного в коло, ABCD— трапеція, вписана в коло, а тому є рівнобічною. Отже, ABCD — рівнобічна трапеція.

208. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС, A = B = 90°), D = 60°, AD = CD = 16 (см). Проведемо висоту СK. У ACKD (K = 90°) за властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо: KD= CD : 2 = 16 : 2 = 8 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AD = АK + KD. Тоді ВС = АK - AD - KD, ВС = 16 - 8 = 8 (см).

Відповідь. 8 см.

209. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС, A = B = 90°), D = 45°, AB = ВС = 18 см. Проведемо висоту СL = АВ = 18 см. Розглянемо ACKD (K = 90°). За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника C = 90° - 45° = 45°. Маємо C = D = 45°. Звідси СK = KD = 18 см. За аксіомою вимірювання відрізків АD = AK + KD, AD = 18 + 18 = 36(см).

Відповідь. 36 см.

210. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC, АВ = CD), AC = AD, CAD = 40°. CAD — рівнобедрений, тому C = D = (180° - 40°) : 2 = 70°. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, тому C = 180° - D = 180° - 70° = 110°.

Відповідь. 70°, 110°, 110°, 70°.

211. Нехай ABCD— трапеція (AD||ВС, АВ = CD), AB = BC = CD, ACB = 20°. АВС— рівнобедрений (АВ = ВС), тому B = 180° - 2 • ACB, B = 180° -2 • 20° = 180° - 40° = 140°. Оскільки сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, маємо А = 180° - В = 180° - 140° = 40°.

Відповідь. 40°, 140°, 140°, 40°.

212. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС), ВАС = CAD. АСВ = CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. Оскільки ВАС = CAD, то ВАС = АСВ. Отже, ABC — рівнобедрений. Звідси АВ = ВС.

213. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС), АО і ВО — бісектриси. Оскільки сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, тому А + В = 180°. Тоді (OAD + ОАВ) + (АBО + ОВС) = 180°, 2ОАВ + 2АВО = 180°, ОАВ + АBО = 90°. У АОВ за теоремою про суму кутів трикутника AОВ = 180° - (ОАВ + АВО), АОВ = 180° - 90° = 90°.

Відповідь. 90°.

214. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС, АВ = CD), ВK i СМ— висоти. ВKА = CMD за гіпотенузою і гострим кутом (АВ = CD, А = D). Звідси АK = MD. Отже, ВСМK — прямокутник, тому KМ =ВС = b. Тоді АK = MD = (AD —KM ) : 2, За аксіомою вимірювання відрізків одержимо: АМ = АK + KМ, KD = MD + KМ. Оскільки тоді маємо: 2

Відповідь.

215. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC, AB = CD), ВK — висота, АK = 2 см, D = 7 см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = АK + KD, AD = 7 + 2 = 9 (см). Оскільки трапеція рівнобічна, то АK = MD = 2 см, тоді KМ = KD - MD, KМ = 7 - 2 = 5 (см). Оскільки KВСМ— прямокутник, то ВС = KМ = 5 (см),

Відповідь. 5 см, 9 см.

216. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС), АС = BD. Розглянемо BMD і CNA. У них: 1) CN = ВМ як висоти, 2) АС = BD за умовою. Отже, BMD = CNA за катетом і гіпотенузою. Звідси CAD = BDA. Розглянемо ABD і ACD. У них: 1) АС = BD за умовою; 2) CAD = BDA з доведеного вище; 3) AD — спільна сторона. Отже, ABD = ACD за першою ознакою рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними). Звідси АВ = CD. ABCD — рівнобічна трапеція.

217. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС, AB = CD), AB = CD = ВС, АСCD. CAD = ACB як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. Оскільки ААВС — рівнобедрений (АВ = ВС), то ВАС = ACB = CAD. Нехай CAD = х, тоді ADC = BAD - 2х. З трикутника ACD (C = 90°) за теоремою про суму кутів трикутника маємо: CAD + ACD+ ADC = 180°, х + 90° + 2х = 180°, 3х = 90°, х = 30°. Отже, A = D = 2 • 30° = 60°. Оскільки сума кутів прилеглих до бічної сторони дорівнює 180°, то B = C- 180° - 60° = 120°.

Відповідь. 60°, 120°, 120°, 60°.

218. Нехай ABCD— трапеція (AD||ВС, АВ = CD), AB = CD = AD, BAC = 18°. ACS = CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. ADC — рівнобедрений (AD = CD), тому ACD = CAD, звідки ACD = ACB. Нехай ACB = x, тоді тупий кут трапеції становить 2х, тобто ABC = 2х. З АВС за теоремою про суму кутів трикутника маємо: BAC + ACB + ABC = 180°, 18° + х + 2х = 180°, 3х = 162°, х = 54°. Отже, B = C = 2 • 54° = 108°. Оскільки сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°, то A = D = 180° - 108° = 72°.

Відповідь. 108°, 72°, 72°, 108°.

219. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС, АВ = CD), АСBD, ВС = a, AD = b. Проведемо висоту СK і CM у BD. BCMD — паралелограм (ВС||DM, CM||BD за побудовою). Звідси CM = BD, DM = ВС = а. Тоді за аксіомою вимірювання відрізків AM = AD + DM = b + a. Розглянемо ACM. Оскільки BD = AC за умовою, то СМ = BD = АС. Оскільки ACBD, BD||CM, то АСCM. Маємо ACM = 90°. Отже, ДACM — прямокутний рівнобедрений. У рівнобедреному трикутнику висота СK буде ще й медіаною (АK = KМ). Оскільки у прямокутному трикутнику медіана проведена до гіпотенузи, то вона дорівнює їй половині, тобто

220. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC, A = B = 90°), ACB = ADC = 60°. CAD = ACB = 60° як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. ACD — рівносторонній (ACB = ADC = ACD = 60°). За теоремою про суму кутів трикутника маємо: BAC = 180° - ABC - ACB; BAC = 180° - 90° - 60° = 30°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:Звідси Отже, ВС : AD = 1 : 2.

Відповідь. ВС : AD =1 : 2.

221. Нехай ABCD — трапеція (AD||ВС, A = B = 90°), ACCD, C = 3D. Нехай D = x, тоді C = 3х Сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°: 3x + x = 180°; 4х = 180°; х = 45°. Маємо: D = 45°, C = 180° -45° = 135°. Оскільки АСAD, то ACD = 90°. Розглянемо трикутник ACD. За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо: BCA = 135° - 90° = 45°. CAD = BCA = 45° як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. Звідси ACD — рівнобедрений (АС = CD). Проведемо CMAD. CM — висота і медіана, тому AM = MD. АВСМ— прямокутник. Одержимо: ВС = AM, ВС : AD = 1 : 2.

Відповідь. ВС : AD = 1 : 2.

222. Нехай ABCD — шукана трапеція, у якої AD = a, BC = b, АВ = с і CD = d. Проведемо СK||ВА. У AKCD СK = с, CD = d, KD = а - b. Побудуємо трикутник KCD за трьома сторонами. Проводимо пряму m, на ній позначаємо довільну точку K. Від точки K відкладаємо відрізок KD = а - b. Будуємо коло з центром у точці K радіуса СK = с та коло з центром в точці D радіуса CD = d. Точка С — точка перетину даних кіл. Проводимо nm. Для цього будуємо коло з центром у точці С, яке перетне пряму m у точках R і S. Проводимо кола радіуса більшого за SL з центрами в точках R і S. З’єднуємо точку С з точкою перетину кіл — точкою F. Аналогічно проводимо ln. На прямій l від точки С відкладаємо відрізок ВС = b. На прямій m від точки K відкладаємо відрізок АK = b. З’єднуємо точки А і В. ABCD — шукана трапеція.

223. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх несуміжних з ним. Маємо: 75° + 75°= 150°.

Відповідь. 150°.

224. Нехай ABCD — ромб, ABC = 120°, BD = 5 см. За властивістю діагоналей ромба ABD = CBD = ABC : 2 = 120° : 2 = 60°. Звідси ABD = ADB = 60°. За теоремою про суму кутів трикутника BAD = 180° - (ABD + ADB), BAD = 180° - (60° + 60°) = 60°. Отже, ABD — рівносторонній (AB + AD + BD), тому P = 4 • 5 = 20 (см).

Відповідь. 20 см.

225. Нехай ABCD — паралелограм, ВМ і BN — висоти, ВМ = BN. АМВ = CNB за катетом і гострим кутом (BM = BN за умовою, A = C, як протилежні кути ромба). Звідси АВ = ВС. Оскільки сусідні сторони паралелограма рівні, то ABCD — ромб.

226. АО = ОВ = 3 см, АВ — діаметр, CD — хорда.

227.

1) АОС — рівнобедрений (АО = ОС), тому CAO = OCA = 50°. Оскільки COB— зовнішній кут ДАОС, то COB = CAO + OCA = 2CAO, COB = 2 • 50°= 100°;

2) АОС — рівнобедрений (АО = ОС), CAO = OCA. COB — зовнішній кут ЛОВ. Оскільки він рівний сумі двох внутрішніх несуміжних з ним, то маємо: CAO = COB : 2, CAO = 110° : 2 = 55°.

Відповідь. 55°.

228. Оскільки пряма а дотикається до кола в точці М, то ОМа. Тоді OMB = 90°.

1) MON — рівнобедрений (OM = ON — радіуси). Звідси OMN = ONM = (180° - 140°) : 2 = 20°. Тоді NMB = 90° - 20° = 70°.

Відповідь. 70°;

2) OMN = OMB - NMB; OMN = 90° - 65° = 25°. MON — рівнобедрений (ОМ = ON), тому MON = 180° - 2 • OMN, MON = 180° - 2 • 25° = 130°.

Відповідь. 130°.

229. Нехай ABCD — чотирикутник. Магазини підприємця розташовані у вершинах цього чотирикутника. Проведемо його діагоналі АС і BD. Виберемо довільну точку F, відмінну від точки О, всередині чотирикутника. Розглянемо трикутник AFC. За нерівністю трикутника маємо: АС < AF + FC. Розглянемо трикутник BFD. За нерівністю трикутника маємо: BD < BF + FD. Додамо почастинно одержані нерівності: АС + BD < AF + FC + BF + FD. Отже, щоб сума відстаней від магазинів до складу біла найменшою, його слід розмістити в точці О — точці перетину діагоналей.