Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 1. Чотирикутники
§ 1. Чотирикутник, його елементи. Сума кутів чотирикутника

1. Чотирикутники: LKFT, EGOR— опуклі чотирикутники, LKFT— неопуклий чотирикутник.

2. Протилежні сторони: GO і ER, EG і RO;

сусідні сторони: EG і GO, GO і OR, OR і RE, RE і EG;

сусідні вершини: E і G, G i О, О i R, R i E;

протилежні вершини: E і О,G і R.

3. Протилежні сторони: LM і KN, KL і NM;

сусідні сторони: KL і LM, LM і MN, MN і NK, NK і KL;

протилежні вершини: L і N,M і K;

сусідні вершини: K і L, L і М, М і N, N і K.

Діагоналі: LN, МK.

4. ABCD— опуклий чотирикутник, PMLK— неопуклий чотирикутник. BD, АС та МK, PL — діагоналі.

5.

1) Ні, оскільки сума кутів не дорівнює 360°, маємо 80° + 90° + 100° + 110° = 380°, 380° ≠ 360°;

2) так, оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, маємо 150°+ 60° + 70° + 80° = 360°.

6.

1)Так, оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, маємо 120° + 80° + 90° + 70° = 360°;

2) ні, оскільки сума кутів не дорівнює 360°, маємо 130° + 110° + 80° + 50° = 370°, 370° ≠ 360°.

7. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Для того, щоб знайти четвертий невідомий кут, потрібно від 360° відняти суму трьох інших відомих кутів. Якщо один із кутів більший 180°, то такий чотирикутник неопуклий.

1) 360° - 150° - 110° - 80° = 20° — опуклий чотирикутник;

2) 360° - 80° - 60° - 30° = 190° — неопуклий чотирикутник.

8. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Для того, шоб знайти четвертий невідомий кут, потрібно від 360° відняти суму трьох інших відомих кутів. Якщо один з кутів більший за 180°, то такий чотирикутник неопуклий.

1) 360° - (20° + 70° + 80°) = 190° — неопуклий чотирикутник;

2) 360° - (120° + 50° + 40°) = 150° — опуклий чотирикутник.

9. Р = 32 мм + 2,5 см + 0,4 дм + 0,07 м = 32 мм + 25 мм + 40 мм + 70 мм = 167 мм. Відповідь. 167 мм.

10. Р = 0,08 м + 0,7 дм + 6,3 см + 54 мм = 80 мм + 70 мм + 63 мм + 54 мм = 267 мм. Відповідь. 267 мм.

11. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

1) Ні. Якщо усі кути чотирикутника менші 90°, тоді сума чотирьох таких кутів буде меншою за 360°;

2) так. Якщо усі кути чотирикутника рівні 90°, тоді сума чотирьох таких кутів становитиме 360°;

3) ні. Якщо усі кути чотирикутника більші 90°, тоді сума чотирьох таких кутів буде більшою за 360°.

12. Нехай невідомий кут чотирикутника становить х. Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, один з кутів — 120°, три інші по х, маємо рівняння: 120° + х + х + х = 360°; 3х = 360° - 120°; 3х = 240°; х = 240° : 3; х = 80°.

Відповідь. 80°, 80°, 80°.

13. Нехай периметр чотирикутника Р = 60 см, одна зі сторін — 24 см. Нехай невідома сторона чотирикутника — х см. Тоді: 24 + х + х + х = Р; 24 + х + х + х = 60; 3х = 60 - 24; 3х = 36; х = 12.

Відповідь. 12 см, 12 см, 12 см.

14. Нехай ABCD— чотирикутник, BC = CD, ACВ = ACD. Розглянемо ABC і АОС. У них: 1) АС— спільна сторона; 2) ACB = ACD за умовою; 3) ВС = CD за умовою. Отже, ABC = АОС за першою ознакою рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними). Оскільки трикутники рівні, то їх відповідні кути рівні. Тому B = D.

15. Нехай ABCD— чотирикутник, BAC = ACD, BCA = CAD. Розглянемо ABC і АОС. У них: 1) АС— спільна сторона; 2) BAC= ACD за умовою; 3) BCA = CAD за умовою. Отже, ABC = АОС за другою ознакою рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими до неї кутами). Оскільки трикутники рівні, то їх відповідні сторони рівні. Тому АВ = СО.

16. Маємо периметр чотирикутника Р = 65 см і відповідне відношення сторін 4 : 5 : 8 : 9. Тоді сторони чотирикутника відповідно дорівнюватимуть 4х см, 5х см, 8х см і 9х см. Маємо: 4х + 5х + 8х + 9х = 65, 26х = 65; х = 65 : 26; х = 2,5. Отже, сторони чотирикутника дорівнюють 4 • 2,5 = 10 (см), 5 • 2,5 = 12,5 (см), 8 • 2,5 = 20 (см), 9 • 2,5 = 22,5 (см).

Відповідь. 10 см, 12,5 см, 20 см, 22,5 см.

17. Нехай задано чотирикутник, у якого кути пропорційні відповідно числам 4, 5, 7 і 8. Тоді кути чотирикутника відповідно дорівнюватимуть 4х, 5х, 7х і 8х. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Звідси 4х + 5х + 7х + 8х = 360°; 24х = 360°; х = 360° : 24; х = 15°. Отже, кути чотирикутника становлять: 4 • 15 = 60°, 5 • 15° = 75°, 7 • 15 = 105°, 8 • 15 = 120°.

Відповідь. 60°, 75°, 105°, 120°.

18. Нехай ABCD— чотирикутник, A = 90°, B : C =7 : 5, D = (B + C) : 2. Тоді B = 7x, C = 5x, а третій кут —D = (7x + 5x) : 2 = 6x. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Маємо рівняння: 90° + 7х + 5x + 6x = 360°; 18x = 270°; x = 270° : 18; х = 15°. Отже, кути чотирикутника дорівнюють: B = 7 • 15 = 105°, C = 5 • 15° = 75°, D = 6 • 15° = 90°.

Відповідь. 105°, 75°, 90°.

19. Нехай ABCD — чотирикутник, Р = 54 см, АВ = 18 см, ВС : CD = 7 : 3, AD = (BС - CD) : 2. Тоді ВС = 7х см, СD = 3x см, а третя сторона — AD = (7x — 3x) : 2 = 2x (см). Маємо рівняння: 18 + 7х + 3x + 2x = 54; 12x = 36; x = 36 : 12; x = 3. Отже, невідомі сторони чотирикутника дорівнюють ВС = 7 • 3 = 21 (см), CD = = 3 • 3 = 9 (см), AD = 2 • 3 = 6 (см).

Відповідь. 21 см, 9 см, 6 см.

20. Припустимо, що в чотирикутнику всі кути більші від 90°. Тоді сума таких кутів буде числом, більшим за 360°, що суперечить теоремі про суму кутів чотирикутника. Припущення хибне. Отже, в кожному чотирикутнику є кут, не більший за 90°.

21. Припустимо, що в чотирикутнику всі кути менші за 90°. Тоді сума таких кутів буде числом, меншим за 360°, що суперечить теоремі про суму кутів чотирикутника. Припущення хибне. Отже, в кожному чотирикутнику є кут, не менший за 90°.

22. Так. В неопуклому чотирикутнику один з кутів більший за 180°. Тоді сума інших трьох кутів дорівнюватиме числу, меншому за 180°.

23. План виконання побудови. Будуємо пряму m, на ній позначаємо довільну точку А. У заданому куті MAN = 50° ставимо ніжку циркуля в точку А і будуємо коло радіуса AN. На прямій m, від точки А відкладаємо відрізок AN. Тоді від точки N— відрізок MN. Проводимо промінь AM. На прямих m і AM від точки А відкладаємо відрізки AB = AD = 6 см. У точці В будуємо коло радіуса 3 см, а в точці D — радіуса 4 см. Дані кола перетинаються в точках С₁ і С₂. Задача має два розв’язки. ABC₁D і ABC₂D — шукані чотирикутники.

24. План виконання побудови. Будуємо пряму m, на ній позначаємо довільну точку А. У заданому куті MAN = 10° ставимо ніжку циркуля в точку А і будуємо коло радіуса AN. На прямій т від точки А відкладаємо відрізок AN, а від точки N — відрізок MN. Проводимо промінь AM. На прямих m і AM від точки А відкладаємо відрізки AB = AD = 5 см. У точці В будуємо коло радіуса 4 см, а в точці D — радіуса 3 см. Дані кола перетинаються в точках С₁ і С₂. Задача має два розв’язки. ABC₁D і ABC₁D — шукані чотирикутники.

25.

1) Нехай ABCD— заданий опуклий чотирикутник, АВ = ВС, AD = CD. BAD = BCD за третьою ознакою рівності трикутників (АВ = ВС, AD = CD — за умовою, BD— спільна сторона). У рівних трикутниках рівні відповідні кути. Тому ABD = CBD, BDA = BDO,

2) нехай ABCD — заданий опуклий чотирикутник, АВ = ВС, AD = CD, точка О — точка перетину діагоналей АС і BD. АОВ = СОВ за другою ознакою рівності трикутників (АВ = ВС, ВО — спільна сторона, ABO = CBO з доведеного у першому пункті). У рівних трикутниках рівні відповідні елементи. Тому АО = ОС. Звідси ДABC — рівнобедрений, ВО — медіана, а тому і висота. Отже, ВОАС. Аналогічно можна довести, що DOАС. Отже, BDАС.

26. Нехай ABCD — заданий чотирикутник, P_ABCD = 29 см, Р_ABCD = 20 см, P _ADB = 21 см. P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD. Додамо периметри заданих трикутників P_ADB + P_CDB = (AD + DB + АВ) + (CD + DB + BC) = (АВ + BC + CD + AD) + 2 DB. Врахувавши периметр чотирикутника, одержимо: P_ADB + P _CDB = P_ABCD + 2DB. 20 + 21 = 29 + 2DB; 2DB = 12; DB = 6 (см).

Відповідь. 6 см.

27. Нехай 1 = 70°. Тоді 4 = 180° - 1 = 180° - 70° = 110°, як суміжний кут. 4 = 8 = 110°, 1 = 5 = 70°, як відповідні кути при паралельних прямих і січній; 1 = 3 = 70°, 4 = 2 = 110°, як вертикальні кути; 8 = 6 - 110°, 5 = 7 = 70°, як вертикальні кути.

Відповідь. 1 = 3 = 5 = 7 = 70°, 2 = 4 = 6 = 8 = 110°.

28. Випадок 1. Якщо кут при вершині рівнобедреного трикутника становить 70°, тоді два кути при основі, які рівні між собою, дорівнюватимуть (180°- 70°) : 2 = 55°.

Відповідь. 55°, 70°, 55°.

Випадок 2. Якщо кут при основі становить 70°, тоді другий кут при основі також рівний 70°, оскільки трикутник рівнобедрений. Тому кут при вершині становить (180° - 2 • 70°) = 180° - 140° = 40°.

Відповідь. 70°, 40°, 70°.

29. Нехай ABC — заданий трикутник, у якого ACB = 90°, CAB = 60°, CD — медіана, АС + CD= 10 см. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника одержимо: ABC = 90° - CAB = 90° - 60° = 30°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:Отже, CAD — рівнобедрений,— рівносторонній. Оскільки АС + CD = 10 см, то Відповідь. 10 см.

30. Внутрішні односторонні: KCD і MDC, LCD і NDC; внутрішні різносторонні: KCD і NDC, LCD і MDC відповідні: KCA і MDC, LCA і NDC, KCD і MDB, LCD і NDB.

31. Якщо внутрішні різносторонні кути рівні або відповідні кути рівні, або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то задані прямі паралельні.

1) оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів 2 + 4 = 180°, то а і b — паралельні;

2) оскільки 1 і 4 є відповідними кутами і за умовою вони не рівні, то а і b — непаралельні;

3) оскільки 3 і 4 внутрішні різносторонні кути і за умовою вони не рівні, то a I b — непаралельні;

4) оскільки 2 і 4 внутрішні односторонні і 2 + 4 = 60° + 119° = 179°, то а і b — непаралельні;

5) оскільки 1 і 4 відповідні кути і вони рівні, то а і b — паралельні;

6) оскільки 3 і 4 внутрішні різносторонні і рівні, то а і b — паралельні.

32.

1) Нехай ABC і CDA — задані трикутники, АВ = CD, BAC = ACD. Розглянемо дані трикутники. У них: 1) AB = СD за умовою; 2) АС — спільна; 3) BAC = ACD за умовою. Отже, ABC = ACDA за другою ознакою рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними);

2) нехай ABC і CDA — задані трикутники, АВ = CD, BAC = ACD. Оскільки ABC = CDA (з доведеного у першому пункті), тому рівні відповідні сторони і кути. Маємо: ВС = AD і BCA = CAD;

3) нехай ABC і CDA — задані трикутники, AB = CD, BAC = ACD. Оскільки ABC = CDA (з доведеного у першому пункті), тому рівні відповідні сторони і кути. Маємо: BCA= CAD. Дані кути є внутрішніми різносторонніми при прямих ВС і AD та січній АС. Тоді за ознакою паралельності прямих ВС || AD.

33. Візьмемо 3 точки — А, В і С. Нехай точки А та С є такими двома точками із трьох вибраних, відстань між якими найбільша. За умовою трикутник ABC — прямокутний. Отже, відрізок АС є його гіпотенузою, звідси ABC = 90°. Тоді через три точки можна провести коло, у якому АС є його діаметром. Візьмемо ще одну точку — D. Розглянемо трикутник ADB. У ньому один з кутів має дорівнювати 90°. Кут ADB не може бути прямими, бо тоді точка В повинна збігатися з точкою С, а відрізок АВ мав би бути діаметром кола. Аналогічно можна показати, що кут ABD не може бути прямими. Тому DAB = 90°, звідки слідує, що DB — діаметр. Збільшення кількості точок приводитиме до порушення умов задачі. Отже, найбільшим значенням є n = 4.