Відповіді до підручника Алгебра 8 клас - Бевз Г. П. 2016-2020

Розділ 2. Квадратні корені і дійсні числа
13. Функція у = х²(575-613)

575.

Значення функції у = х² дорівнює 4, якщо х = ±2; значення функції у = х² дорівнює 9, якщо х = ±3; значення функції у = х² дорівнює 16, якщо х = ±4; значення функції у = х² дорівнює 25, якщо х = ±5; значення функції у = х² дорівнює 0,01, якщо х = ±0,1; значення функції у = х² дорівнює 0,04, якщо х = ±0,2; значення функції у = х² дорівнює 0,36, якщо х = ±0,6.

576.

Значення функцій у = х² і у = (-х)² рівні при всіх відповідних значеннях аргументу, бо (-х)² = х² для всіх значень х. Графіки цих функцій одинакові.

577.

Криву лінію, яка є графіком функції у = х², називають параболою, а криву лінію,

яка є графіком функції у = х^_1; — гіперболою. Графіку функції у = х² належать точки В(0; 0) і С(1; 1), графіку функції у = х-1 належать точка С(1; 1).

578.

Функція у = х² не може набувати від’ємних значень, бо вираз х² невід’ємний для всіх значень х.

579.

Щоб побудувати графік функції у = х² + 3, досить перенести графік функції у = х² на 3 одиниці вгору. Щоб побудувати графік функції у = -х², досить відобразити симетрично графік функції у = х² відносно осі х.

580.

581.

а) у = х², де

б) у = х², де

в) у = х², де

   у = х² , де     у = х², де   у = х², де

582.

а) Якщо х = -2,6, то у ≈ 6,8. Якщо х = -1,7, то у ≈ 2,9. Якщо х = -0,9, то у ≈ 0,8. Якщо х = 0,9, то у ≈ 0,8. Якщо х = 1,4, то у ≈ 2;

б) значення функції у = х² дорівнює 2, якщо х ≈ ±1,4. Значення функції у = х² дорівнює 3, якщо х ≈ ±1,7. Значення функції у = х² дорівнює 4, якщо х ≈ ±2. Значення функції у = х² дорівнює 5, якщо х ≈ ±2,2. Значення функції у = х² дорівнює 6, якщо х ≈ ±2,4.

583.

а) Якщо х = 1,2, то у ≈ 1,4. Якщо х = 3,1, то у ≈ 9,6. Якщо х = 2,3, то у ≈ 5,3;

б) значення функції у = х² дорівнює 4, якщо х ≈ ±2. Значення функції у = х² дорівнює 5, якщо х ≈ ±2,2. Значення функції у = х² дорівнює 6, якщо х ≈ ±2,4;

в) значення функції у ≈ х² будуть меншими від 5, якщо аргумент набуває таких цілих значень: 0; ±1; ±2;

г) значення функції у = х² будуть не більші від 7, якщо аргумент набуває таких цілих значень: 0; ±1; ±2.

584.

Графік функції у = х² проходить через точку А(5; 25), бо рівність 5² = 25 — правильна. Графік функції у = х² проходить через точку В(-5; 25), бо рівність (-5)² = 25 — правильна. Графік функції у = х² не проходить через точку С(5; -25), бо рівність: 5² = -25; 25 = -25 — неправильна.

585.

Графіку функції у = х² належать точки: А(0,1; 0,01), бо рівність 0,1² = 0,01 — правильна; С(-10; 100), бо рівність (-10)² = 100— правильна; D(-1,1; 1,21), бо рівність (-1,1)² = 1,21 — правильна; бо рівність — правильна.

586.

587.

Нехай периметр квадрата дорівнює х(х> 0), тоді його сторона дорівнює а площа Будуємо графік функції де х > 0.

588.

Нехай менша сторона прямокутника дорівнює х(х > 0), тоді його більша сторона дорівнює 2х, а площа S(x) — 2х². Залежність площі прямокутника від меншої сторони задається функцією S(x) = 2х², де х > 0.

589.

Якщо довжина катета прямокутного рівнобедреного трикутника дорівнює а (а > 0), то його площа S(a) дорівнює 0,5а². Залежність площі прямокутного рівнобедреного трикутника від його катета задається функцією S(a) = 0,5а², де а > 0.

590.

а) Графік функції у = є пряма, а функції у = х² —парабола. Графіки перетинається у двох точках;

б) графіком рівняння у = -2х + 4 є пряма, а функції у = х²— парабола. Графіки перетинаються у двох точках;

в) графіком функції у = х^-1 є гіпербола, а функції у = х² — парабола. Графіки перетинаються в одній точці;

г) графіком рівняння у = -3х є пряма, а функції у — х² — парабола. Графіки перетинаються у двох точках.

591.

Функції у = х² і у = 2х + 3 набувають рівних значень в абсцисах точок їх перетину. Графіки функцій у = х² і у = 2х + 3 перетинаються у точках з абсцисами -1,3.

Відповідь. -1, 3.

592.

Графіком функції у = 8х¹ є гіпербола, а функції у = х² — парабола. Графіки перетинаються в точці (2; 4).

593.

1) Графік функції у = х² перетинають графіки прямих у = 1, у = 8, у = 1000 відповідно у точках з абсцисами х = ±1, х ≈ ±2,8; х ≈ ±32.

2) графік функції у = -х² перетинають графіки прямих у = -1, у = -8, у = -1000 відповідно у точках з абсцисами х = ±1, х ≈ ±2,8; х ≈ ±32.

594.

Пряма, паралельна осі у, задається рівнянням х = а, де а — будь-яке число. Підставивши це значення у рівняння функції у = х², отримаємо у = а². Отже, графіки перетинаються у точці (а; а²).Серед прямих у = b, паралельних осі х, не всі перетинають графік функції у = х². Не перетинають, зокрема, ті з них, у яких b < 0.

595.

Значення функції у = х² будуть меншими від 9, коли: х² < 9; -3 < х < 3. Значення функції у = х² будуть більшими від 9, коли: х² > 9; х > 3 або х < -3.

596.

Якщо х = 5, то у = 5² = 25. Отже, графіки перетинаються у точці (5,25). Тоді друга функція задається рівнянням у = 25 — пряма, паралельна осі х. Друга точка перетину цих графіків має координати (-5, 25).

597.

y(1) = 1² = 1; у(2) = 2² = 4; у(3) = 3² = 9; у(4) = 4² = 16. На проміжку від 1 до 2 функція зростає на у(2) - у(1) = 4 - 1 = 3, а на проміжку від 3 до 4 — на у(4) - у(3) = 16 - 9 = 7. Отже, на проміжку від 3 до 4 функція зростає швидше.

598.

Графіки функцій у = х² і у = |х| подібні тим, що вони обидва: розміщені у першій і другій координатній чверті; проходять через початок координат; симетричні відносно осі у; обидві функції спадають у другій чверті і зростають у першій чверті. Відрізняються графіки тим, що один з них є ламаною, а інший — кривою.

599.

Залежність площі S круга від довжини r його радіуса задається функцією де Побудуємо графік функції у = 3х².

600.

а) Побудуємо графіки функцій і у = х². Графіки не перетинаються, тому рівняння коренів не має;

б) перетворимо рівняння: х² + 3 = x; х²= x - 3. Побудуємо графіки функцій у = х - 3 і у = x². Графіки не перетинаються, тому рівняння x² + 3= х коренів не має;

в) побудуємо графіки функцій і у = х². Рівняння має корені, бо графіки перетинаються.

601.

а) Побудуємо графіки функцій у = х + 2 і у = х². Графіки перетинаються у точках з абсцисами -1 і 2. Перевіркою встановлюємо, що ці числа є коренями рівняння х² = х + 2;

б) побудуємо графіки функцій у = 3х - 2 і у = х². Графіки перетинаються у точках з абсцисами 1 і 2. Перевіркою встановлюємо, що ці числа є коренями рівняння х² = 3х- 2;

в) перетворимо рівняння: Побудуємо графіки функцій і у = х². Графіки перетинаються у точці з абсцисою 1. Перевіркою встановлюємо, що це число є коренем рівняння

г) побудуємо графіки функцій і у = х². Графіки перетинаються у точці з абсцисою 2. Перевіркою встановлюємо, що це число є коренем рівняння

ґ ) перетворимо рівняння: х² - х = 6; х² - х + 6. Побудуємо графіки функцій у = х + 6 і у = х². Графіки перетинаються у точках з абсцисами -2 і 3. Перевіркою встановлюємо, що ці числа є коренями рівняння х² — х = 6;

д)перетворимо рівняння: х² + 2х - 3 = 0, х² = -2х + 3. Побудуємо графіки функцій у = -2х + 3 і у = х². Графіки перетинаються у точках з абсцисами -3 і 1. Перевіркою встановлюємо, що ці числа є коренями рівняння х² + 2х - 3 = 0.

602.

а) Розглянемо рівняння Побудуємо графіки функцій у = 4 і Графіки перетинаються в одній точці першої чверті. Отже, рівняння має один корінь у першій чверті;

б) розглянемо рівняння Побудуємо графіки функцій у = 4 і Графіки перетинаються в одній точці другої чверті. Отже, рівняння має один корінь у другій чверті;

в) розглянемо рівняння Побудуємо графіки функцій у = -4 і Графіки перетинаються в одній точці третьої чверті. Отже, рівняння має один корінь у третій чверті;

г) розглянемо рівняння Побудуємо графіки функцій y = -4 і Графіки перетинаються в одній точці четвертої чверті. Отже, рівняння має один корінь у четвертій чверті.

603.

а) Розглянемо рівняння х² = 3. Побудуємо графіки функцій у = х² і у = 3. Графіки перетинаються у двох точках першої і другої чвертей. Отже, рівняння х² = 3 має один корінь у першій чверті й один корінь у другій чверті;

б) розглянемо рівняння Побудуємо графіки функцій у = х і Графіки перетинаються у двох точках першої і третьої чвертей. Отже, рівняння має один корінь у першій чверті й один корінь у третій чверті;

в) розглянемо рівнянняПобудуємо графіки функцій у = -х іГрафіки перетинаються у двох точках другої і четвертої чвертей, які симетричні відносно початку координат. Отже, рівняннямає один корінь у другій чверті й один корінь у четвертій чверті, які симетричні відносно початку координат;

г) розглянемо рівнянняПобудуємо графіки функцій у = х іГрафіки перетинаються у двох точках першої і третьої чвертей, які симетричні відносно початку координат. Отже, рівняннямає один корінь у першій чверті й один корінь у третій чверті, які симетричні відносно початку координат.

604.

а) Розв’яжемо рівняння х² = 2х. Побудуємо графіки функцій у = х² і у = 2х. Графіки перетинаються у точках з абсцисами 0 і 2. Перевіркою встановлюємо, що ці числа є коренями рівняння х² = 2х:

б) розв’яжемо рівняння х² = 1. Побудуємо графіки функцій у = х² і у = 1. Графіки перетинаються у точках з абсцисами -1 і 1. Перевіркою встановлюємо, що ці числа є коренями рівняння х² = 1;

в) розв’яжемо рівняння х² = 8х- 16. Побудуємо графіки функцій у = х² і y = 8х - 16. Графіки перетинаються у точці з абсцисою 4. Перевіркою встановлюємо, що це число є коренем рівняння х² = 8х - 16;

г)  розв’яжемо рівняння х² = -3х. Побудуємо графіки функцій у = х² і у = -3х. Графіки перетинаються у точках з абсцисами -3 і 0. Перевіркою встановлюємо, то ні числа є коленями тиняння х²= -3х:

ґ)  розв’яжемо рівнянняПобудуємо графіки функцій у = 1 іГрафіки перетинаються у точці з абсцисою 9. Перевіркою встановлюємо, що це число є коренем рівняння

д) розв’яжемо рівняння х² = х + 2. Побудуємо графіки функцій у = x² і у = х + 2. Графіки перетинаються у точках з абсцисами -1 і 2. Перевіркою встановлюємо, що ці числа є коренями рівняння х² = х + 2.

605.

а) Перетворимо рівняння: Побудуємо графіки функцій у = -2х і у = х², якщо х < 0, і графіки функцій у = 2х і у = х², якщо . Графіки перетинаються у точках з абсцисами -2, 0 і 2. Перевіркою встановлюємо, що ці числа є коренями рівняння

б) перетворимо рівняння: Побудуємо графіки функцій і у = х², якщо х < 0, і графіки функцій і у = х², якщо Графіки перетинаються у точках з абсцисами -1 і 1. Перевіркою встановлюємо, що ці числа є коренями рівняння

606.

а) Графіком функції у = х² + 2 є квадратна парабола у = х², піднята на 2 одиниці вгору;

б) графіком функції у = 3 - х² є квадратна парабола у = -х², піднята на 3 одиниці вгору;

в) графіком функції у = (х + 1 )² є квадратна парабола у = х², зміщена на 1 одиницю ліворуч.

607.

а) Побудуємо графіки функцій у = х² і у = 2 - х². Графіки перетинаються у точках з абсцисами -1 і 1. Перевіркою встановлюємо, що ці числа є коренями рівняння х² = 2 - х²;

б) побудуємо графіки функцій у = х² - 1 іГрафіки перетинаються у точці з абсцисою 2. Перевіркою встановлюємо, що це число є коренем рівняння

в)побудуємо графіки функцій y = (x - 3)² і у = х - 1. Графіки перетинаються у точках з абсцисами 2 і 5. Перевіркою встановлюємо, що ці числа є коренями рівняння (х - 3)² = х - 1.

608.

а) 47 000 000 = 4,7 • 10⁷;  

б) 308 000 000 = 3,08 • 10⁸;

в) 0,000000039 = 3,9 • 10^-8;  

г) 0,00000407 = 4,07 • 10^-6;

ґ) 803 • 10⁹ = 8,03 • 10² • 10⁹ = 8,03 • 10¹¹;

д) 0,067 • 10⁷ = 6,7 • 10^-2 • 10⁷ = 6,7 • 10⁵;

е) 3,7 • 100⁵ = 3,7 • (10²)⁵ = 3,7 • 10¹⁰; 

є) 0,42 • 10^-7 = 4,2 • 10^-1 • 10^-7 = 4,2 • 10^-8;

ж) 2000⁵ = (2 • 1000)⁵ = (2 • 10³)⁵ = 32 • 10¹⁵ = 3,2 • 10 • 10¹⁵ = 3,2 • 10¹⁶.

609.

a) Порядок числа 2,3 • 10⁸ дорівнює 8;

б) порядок числа 7,8 • 10^-12дорівнює -12.

610.

а) 2а² + 3 - ((а² - 5аb) - (7 - 3аb)) = 2а² + 3 - (а² - 5аb - 7 + 3ab) - 2а² + 33- а² + 5ab + 7 — 3ab = а² + 2ab +10;

б) —(1 - 6ху) + (7 + х⁴ - (4ху + 6 - 2х⁴)) = -1 + 6xу + (7 + x⁴ - 4ху - 6 + 2x⁴) = -1 + 6ху + 7 + х⁴ - 4ху - 6 + 2x⁴ = 3х⁴+ 2ху;

в) 4а³ + b³ - (а³ - 5аb + (3а³ - (3b³ + 4ab - a³))) = 4a³ + b³- (а³ — 5ab + (3а³ — 3b³ - -4аb + а³)) = 4а³ + b³ - (а³ - 5аb + 3а³ — 3b³ - 4аb + а³) = 4а³ + b³ - а³ + 5аb - 3а³ + 3b³ + 4ab - а³ = -а³ + 4b³ + 9ab.

611.

a) Значення виразу 6ⁿ у десятковому записі при будь-якому натуральному значенні n закінчується цифрою 6. Тоді значення виразу 6ⁿ - 1 у десятковому записі при будь-якому натуральному значенні n закінчується цифрою 5 і тому ділиться на 5. Отже, значення дробупри будь-якому натуральному значенні n є натуральним числом;

б) значення виразу 10ⁿ у десятковому записі при будь-якому натуральному значенні n містить першу цифру 1 і решту цифр — 0. Тоді значення виразу 10ⁿ + 5 у десятковому записі при будь-якому натуральному значенні n містить першу цифру 1, решту цифр — 0 і останню — цифру 5. Сума цифр такого числа дорівнює 1 + 5 = 6 і ділиться на 3, тому число 10ⁿ + 5 ділиться на 3. Отже, значення дробу при будь-якому натуральному значенні п є натуральним числом;

в) значення виразу 10ⁿ у десятковому записі при будь-якому натуральному значенні n містить першу цифру 1 і решту цифр — 0. Тоді значення виразу 10ⁿ - 1 у десятковому записі при будь-якому натуральному значенні n містить лише цифри 9. Сума цифр такого числа ділиться на 9, тому число 10ⁿ - 1 ділиться на 9. Отже, значення дробупри будь-якому натуральному значенні n є натуральним числом;

г) вираз 3⁴ⁿ є степенем числа 3 із показником, кратним 4. Значення цього виразу в десятковому записі при будь-якому натуральному значенні nп закінчується цифрою 1. Тоді значення виразу 3⁴ⁿ+ 4 у десятковому записі при будь-якому натуральному значенні n закінчується цифрою 5 і тому ділиться на 5. Отже, значення дробупри будь-якому натуральному значенні n є натуральним числом;

ґ) вираз 7⁴ⁿ є степенем числа 7 з показником, кратним 4. Значення цього виразу в десятковому записі при будь-якому натуральному значенні n закінчується цифрою 1. Тоді значення виразу 7^4n- 1 у десятковому записі при будь-якому натуральному значенні n закінчується цифрою 0 і тому ділиться на 10. Отже, значення дробупри будь-якому натуральному значенні n є натуральним числом;

д)  вираз 9^{2n - 1} є степенем числа 9 з непарним показником. Значення цього виразу в десятковому записі при будь-якому натуральному значенні n закінчується цифрою 9. Тоді значення виразу 9^{2n - 1} + 1 у десятковому записі при будь-якому натуральному значенні n закінчується цифрою 0 і тому ділиться на 10. Отже, значення дробупри будь-якому натуральному значенні n є натуральним числом.

612.

а) Значення виразубуде найменшим, якщо найменшим буде значення виразуОскільки значення виразуневід’ємні при будь-якому значенні х, то найменшого значення 0 він набуватиме при х = 5;

б) значення виразубуде найбільшим, якщо значення виразубуде найменшим. Оскільки значення виразуневід’ємні при будь-якому значенні х, то найменшого значення 0 він набуватиме при 2x + 3 = 0; 2х = -3; x = -1,5.

613.

а) х - 5 = 8 або х - 5 = -8; х = 13 або ж = -3.

Відповідь. -3 або 13;

б) 2х - 3 = 2,5 або 2 x - 3 = -2,5; 2х = 5,5 або 2х = 0,5; х = 2,75 або х = 0,25.

Відповідь. 0,25 або 2,75;

в) х - 3 = х, якщо x >3; 0х = 3 — коренів немає; -(x - 3) = х, якщо х < 3; 2x = 3, якщо x < 3; х = 1,5, якщо х < 3.

Відповідь. 1,5.