Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. П. Єршової - 2017 рік

Розділ І. Чотирикутники

§ 2. Паралелограм і його властивості

Пояснення

Щоб знайти кути паралелограма, достатньо знати один із його кутів. Протилежний йому кут має таку саму міру. Один із двох інших кутів є прилеглим до однієї із сторін разом із заданим кутом, і їхня сума дорівнює 180°. Щоб знайти цей кут, необхідно від 180° відняти заданий кут. Останній кут можна знайти як протилежний знайденому.

Сума двох нерівних сторін паралелограма дорівнює половині периметра.

32. а) ВС || AD; б) CD = АВ; в) ∠A = ∠C.

33. а) так; б) ні.

34. ∠B < ∠C => ∠D < ∠A, оскільки ∠B = ∠D, ∠C = ∠A.

35. АВ + CD > AD + ВС => ВС < CD, оскільки АВ = CD, AD = ВС.

36. a) DO — медіана ΔACD, оскільки АО = ОС;

б) АО — медіана ΔBAD, оскільки BO = OD.

37. a) ABCD — паралелограм, оскільки AD || ВС, АВ || DC.

б) ∠A = 120°, отже, ∠C = ∠A = 120°, ∠B = ∠D = 180° - ∠A = 180° - 120° = 60°.

в) Так.

38. a) ABCD — паралелограм, тому що АВ || CD, ВС || AD за побудовою.

б) ВМ і BN — висоти, ВМ ≠ BN.

в) АВ = 3 CM, AD = 3,5 см. Оскільки АВ = CD, AD = ВС, то Р = 2 ∙ (АВ + AD) = 2 ∙ (3 + 3,5) = 13 см.

39. Нехай ABC — даний трикутник. АМВС, ABNC, ВСКА — паралелограми. Будь-які два утворені паралелограми мають 3 спільні вершини.

40. ABDC, CDFE, ABFE — три паралелограми.

41.

42. а) Нехай х см — одна сторона паралелограма, тоді ніша (х + 2) см (йтися може тільки про сусідні сторони). Отже, маємо 2(х + х + 2) = 24; 2х + 2 = 12) 2x = 10; х = 5.

1) 5 + 2 = 7 (см).

Відповідь: 5 см, 7 см.

б) Нехай одна сторона х, тоді інша — 3х (сторони сусідні). Маємо: 2(х + 3х) = 24; 8х = 24; х = 3.

1) 3 ∙ 3 = 9 (см).

Відповідь: 3 см, 9 см.

в) Нехай-одна сторона х см, тоді х + 17 = 24; х = 7. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то дві сторони по 7 см, а дві інші (24 - 2 ∙ 7) : 2 = 5 (см).

Відповідь: 5 см, 7 см.

43. Нехай ABCD — даний паралелограм, тоді:

а) ∠А = ∠С = 110°, ∠В = ∠D = 180° - 110° = 70°.

Відповідь: 110°, 70°.

б) Нехай ∠А = х°, тоді ∠В = х + 70° (йтися може тільки про сусідні кути). Маємо х + х + 70° = 180°. За властивістю сусідніх кутів 2х = 110°; х = 55°.

1) 55° + 70° = 125°.

Відповідь: 55°, 125°.

в) Оскільки сума двох кутів дорівнює 90°, то ці кути протилежні. Маємо: ∠A = ∠С = 90° : 2 = 45°, ∠В = ∠D = 180° - 45° = 135°.

Відповідь: 45°, 135°.

г) Оскільки діагональ розбиває кут паралелограма на кути 30° і 45°, маємо ∠А = ∠С = 30° + 45° = 75°, ∠В = ∠D = 180° - 75° = 105°.

Відповідь: 75°, 105°.

44. Нехай ABCD — даний паралелограм, тоді:

а) ∠А = ∠С = 90°, ∠В = ∠D = 180° - 90° = 90°.

Відповідь: 90°, 90°, 90°, 90°.

б) Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді ∠А = 2х, ∠В = 7х, маємо 2х + 7х = 180°; 9х = 180°; х = 20°; ∠А = ∠С = 2 ∙ 20° = 40°, ∠В = ∠D = 7 ∙ 20° = 140°.

Відповідь: 40°, 140°.

в) Нехай ∠A - ∠B = 40°, а за властивістю кутів паралелограма ∠A + ∠B = 180°, 2 ∙ ∠A = 40° + 180° = 220°, ∠A = 110°, ∠B = 180° - 110° = 70°.

Відповідь: 110°, 70°.

г) Нехай ∠A + ∠B = 330°, а за теоремою про суму кутів паралелограма ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Отже, ∠D = 360° - 330° = 30°, ∠A = 180° - 30° = 150°.

Відповідь: 30°, 150°.

45. Нехай ABCD — даний паралелограм, а O - точка перетину його діагоналей. За умовою, маємо: АО = 8 см, ВО = 5 см. За властивістю діагоналей АС = 2 ∙ АО = 2 ∙ 8 = 16 см, BD = 2 ∙ 5 = 10 см.

Відповідь: 16 см, 10 см.

46. Нехай ABCD — даний чотирикутник, ∠ADB = ∠CBD (внутрішні різносторонні при ВС і АО). Отже, ВС || АО, АВ || CD за умовою. Тому ABCD — паралелограм.

47. Нехай VXYZ — даний чотирикутник. ∠V + ∠X = 180° (внутрішні односторонні при прямих VZ і XY) => VZ || XY, a VX || YZ за умовою. Отже, VXYZ — паралелограм.

48. Нехай А, В і С — три дані точки. На цих точках, як на вершинах можна побудувати три паралелограми ABCD₁, ACBD₂ і ABD₃C.

49. Можна побудувати 3 різних паралелограми.

Відповідь: 3 дм.

51. Нехай а і b — сусідні сторони паралелограма, тоді маємо:

Відповідь: 22 см.

52. а) Нехай ABCD — даний паралелограм, AM — бісектриса ∠BAD, ∠ВМА = 35°. ∠MAD = ∠ВМА = 35° (внутрішні різноcторонні при паралельних прямих ВС і AD). Отже, ∠BAD = 2 ∙ ∠MAD = 2 ∙ 35° = 70°. ∠ABC = 180° - 70° = 110° за властивістю сусідніх кутів паралелограма.

Відповідь: 70°, 110°.

б) Нехай ABCD — даний паралелограм. ВН — висота (ВН ⊥ AD), ∠АВН = 42°. З ΔАНВ за теоремою про суму кутів трикутника: ∠ВАН = 90° - 42° = 48°.

∠АВС = 180° - 48° = 132° за властивістю сусідніх кутів паралелограма.

Відповідь: 48°, 132°.

53. а) Нехай ABCD — даний паралелограм. АВ = ВС = CD = AD, ∠ACD = 25°.

ΔАОС — рівнобедрений (AD = DC за умовою), отже, ∠CAD = ∠ACD = 25°, ∠ADC = 180° - 2 ∙ 25° = 130° за теоремою про суму кутів трикутника, ∠BAD = 180° - 130° = 50° за властивістю кутів паралелограма.

Відповідь: 130°, 50°.

б) Нехай ABCD — даний паралелограм, ВН — його висота (ВН ⊥ AD), ∠АВН : ∠НВС = 1 : 3. Нехай ∠АВН = х, тоді ∠НВС = 3x, ∠АВС = 4х. Із ΔАНВ: ∠ВАН = 90° - х.

За властивістю кутів паралелограма: ∠ВАН = 180° - 4х. Маємо: 90° - х = 180° - 4х; 3x = 90°; х = 30°.

Отже, ∠ВАН = 90° - 30° = 60°. ∠АВС = 4 ∙ 30° = 120°.

Відповідь: 60°, 120°.

54. Нехай ABCD — даний паралелограм, DM — бісектриса ∠ADC, ВМ : МС = 1 : 4.

Нехай ВМ = х, тоді МС = 4х, маємо х + 4х = 15; 5х = 15; х = 3 см — ВМ, CM = 4 ∙ 3 = 12 см. ∠CMD = ∠ADM (внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС) => ΔDCM — рівнобедрений (DC = CM = 12 см). P_ABCD = 2 ∙ (DC + CB) = 2 ∙ (15 + 12) = 54 см. Задача має єдиний розв’язок.

Відповідь: 54 см.

55. Нехай ABCD — даний паралелограм, AN — бісектриса ∠BAD.

∠BNА = ∠NAD (внутрішні різносторонні), ∠BAN = ∠DAN (AN — бісектриса), отже, ΔABN — рівнобедрений (АB = BN).

Розглянемо 2 випадки:

а) Якщо BN = 6 см, NC = 5 см, то АВ = 6 см і Р = 2 ∙ (6 + 11) = 34 см.

б) Якщо BN = 5 см, NC = 6 см, то АВ = 5 см і Р = 2 ∙ (5 + 11) = 32 см.

Відповідь: 34 см або 32 см.

56. Нехай ABCD — даний паралелограм, О — точка перетину його діагоналей. Е ∈ ВС, F ∈ AD.

Розглянемо ΔAOF і ΔСОЕ.

1. AO = СО за властивістю діагоналей.

2. ∠ECO = ∠FAO — внутрішні різноcторонні.

3. ∠EOC = ∠FOA — вертикальні. => ΔAOF = ΔСОЕ за другою ознакою рівності трикутників => ЕО = FO як відповідні сторони рівних трикутників.

57. Нехай ABCD — даний паралелограм, BA₁ ⊥ AD, DС₁ ⊥ ВС. Розглянемо чотирикутник A₁BC₁D: BC₁ || A₁D за властивістю протилежних сторін паралелограма. Із того, що ВА₁⊥ AD, DС₁⊥ AD, випливає, що А₁В || С₁D (дві прямі, перпендикулярні третій, паралельні між собою) => A₁BC₁D — паралелограм.

58. За умовою ∠CNP = ∠APN, а вони є внутрішніми різносторонніми при прямих AD і ВС і січній NP => AD || ВС. Аналогічно з рівності внутрішніх різносторонніх кутів ∠BMK і ∠DKM випливає паралельність сторін АВ і CD. Отже, ABCD — паралелограм.

59. Нехай ABC даний рівносторонній трикутник (АВ = ВС = АС). М ∈ ВС. MN || АС, N ∈ АВ і МК || АВ, К ∈ АС.

Оскільки Р_ΔABC = 18 см, то АВ = ВС = АС = 6 см. ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

∠BMN = ∠BCA = 60° — відповідні при прямих NM і АС і січній ВС. Тому ΔNBM — рівносторонній (MN = ВМ).

∠MKC = ∠BAC = 60° — відповідні при прямих АВ і КМ і січній АС. Тому ΔКМС — рівносторонній (KM = МС).

Отже, маємо: NM + КМ = ВМ + МС = BC = 6 см; P_ANMK = 2 ∙ (MN + МК) = 2 ∙ 6 = 12 см.

Відповідь: 12 см.

60. Нехай ABCD — даний паралелограм, AM — бісектриса ∠BAD, DN — бісектриса ∠CDA, ВМ = 5 см, MN = 3 см, NC = 5 см.

∠BMA = ∠MAD — внутрішні різносторонні при прямих ВС і AD і січній AM => ∠BMA = ∠BAM => ΔABM — рівнобедрений і АВ = BM = 5 см; ВС = ВМ + MN + NC = 5 + 3 + 5 = 13 см.

Р_ABCD = 2(АВ + ВС) = 2 ∙ (5 + 13) = 36 см.

Відповідь: 36 см.

Або розглянемо інший випадок.

Тоді ΔABN — рівнобедрений (АB = BN = 5 + 3 = 8 см).

Р = 2 ∙ (8 + 13) = 42 см.

Відповідь: 42 см.

61. Нехай ABCD — даний паралелограм, DB ⊥ ВС і DC = 2 ∙ BD.

Нехай BD = а, тоді DC = 2а. Розглянемо ΔDBC: оскільки в ньому катет в 2 рази менший за гіпотенузу, то кут, який лежить проти цього катета, дорівнює 30°. Отже, ∠C = 30°, тому ∠D = 180° - 30° = 150° за властивістю сусідніх кутів паралелограма.

Відповідь: 30°, 150°.

62. Нехай ABCD — даний паралелограм. Розглянемо два випадки:

1) Нехай ВС = BD, ∠CBD = 90°, тоді ∠BCD = ∠BDC = 45°, a ∠CDA = 180° - 45° = 135° за властивістю кутів паралелограма.

Відповідь: 45°, 135°.

2) Якщо ВС = CD, ∠BCD = 90°, то ∠CDA = 180° - 90° = 90°.

Відповідь: всі кути по 90°.

63. Нехай ABCD — даний паралелограм. АК, ВМ, DN — бісектриси його кутів. Нехай ∠BAD = α, тоді ∠ABC = 180° - α. За властивістю кутів паралелограма маємо:

З ΔАВК за теоремою про суму кутів трикутника маємо: Отже, АК ⊥ ВК.

∠ABM = ∠MBC (ВМ — бісектриса). ∠MBC = ∠AMB (внутрішні різносторонні) => ∠ABM = ∠AMB.

∠MBC = ∠ADN (як половини рівних кутів паралелограма), отже, ∠AMB = ∠ADN, а вони є відповідними при прямих ВМ і DN і січній AD => ВМ || DN.

64. Нехай ABCD — даний паралелограм, ВН₁ і ВН₂ — його висоти, Н₁∈ AD, Н₂ ∈ CD. Нехай ∠BAH₁ = α, тоді з ΔBH₁A за теоремою про суму кутів трикутника ∠ABH₁ = 90° - α. Аналогічно з ΔВН₂С маємо: ∠BCH₂ = α, ∠CBH₂ = 90° - α.

Розглянемо ∠ABC, за властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠ABC = 180° - α. З іншого боку ∠ABC = ∠ABH₁ + ∠H₁BH₂ + ∠H₂BC. Звідси маємо: Доведено.

65. Твердження хибне, контрприклад див. на рис. ΔDAB = ΔDCB, але ABCD не є паралелограмом.

66. Нехай ABCD — даний паралелограм. АС ⊥ BD, О — точка перетину його діагоналей.

Розглянемо ΔАОВ в ΔСОВ.

1. ∠AOB = ∠COB = 90° за умовою.

2. АО = ОС за властивістю діагоналей паралелограма.

3. ВО — спільна, ΔАОВ = ΔCOD => за двома катетами => АВ = ВС як відповідні сторони рівних трикутників. Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то і всі сторони рівні.

Обернене твердження: якщо всі сторони паралелограма рівні, то його діагоналі перпендикулярні.

Розглянемо ΔАОВ і ΔСОВ:

1. АВ = ВС за умовою.

2. АО = ОС за властивістю діагоналей паралелограма.

3. ВО — спільна. => ΔАОВ = ΔСОВ за трьома сторонами => ∠АОВ = ∠СОВ, але вони є суміжними, тому ∠АОВ = ∠СОВ = 180° : 2 = 90° => АС ⊥ BD.

67. Нехай ABC — даний рівнобедрений трикутник (АВ = ВС). М — середина АВ, N — середина ВС. Нехай ∠В = α, тоді з ΔABC: Оскільки АВ = ВС, а М і N — їх середини, то ВМ = BN, тобто ΔMBN — рівнобедрений і отже, ∠BMN = ∠ВАС (відповідні при прямих АС і МN i січній АВ) => АС || MN.

68. Нехай ABCD — чотирикутник, у якого АВ = CD.

1) Якщо ВС = AD, то ABCD — паралелограм.

2) Якщо АВ || CD, то ABCD — паралелограм.

3) Якщо ∠А + ∠В = 180°, то ABCD — паралелограм.

4) Якщо ∠А = ∠С, то ABCD — паралелограм.