Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. П. Єршової - 2017 рік

Розділ IІ. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

§ 12. Подібність прямокутних трикутників

Пояснення

Висота прямокутного трикутника ділить його на два подібні трикутники, кожний з яких подібний даному.

386. а) Ні, оскільки цей кут може дорівнювати 90°.

б) Так.

в) Так, оскільки, якщо в прямокутному трикутнику один кут 20°, то інший гострий кут дорівнює 70°.

г) Ні, оскільки якщо катет вдвічі менший за гіпотенузу, то трикутник має кути 30° і 60°.

387. Нехай CD — висота, що проведена до гіпотенузи, AD і BD — проекції катетів на гіпотенузу.

Припустимо, що AD > CD, BD > CD, але за метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику CD² = AD ∙ BD, а це суперечить припущенню. Але якщо CD = AD = BD, тo ΔACB — прямокутний рівнобедрений (∠A = ∠B = 45°).

388. а) Якщо a_c < b_c, то a < b.

б) Якщо a > b, TO a_c > b_c.

389. Нерівні прямокутні трикутники зі спільною гіпотенузою не можуть бути подібними. Але два прямокутні трикутники зі спільним катетом можуть бути подібними, якщо більший катет одного дорівнює меншому катету іншого.

390. Перший учень правий, але це не єдиний спосіб побудови четвертого пропорційного відрізка.

391. Нехай ABC — даний трикутник (∠A = 90°). AD ⊥ ВС. DC — проекція АС на гіпотенузу, BD — проекція АВ на гіпотенузу.

392. ABC — даний трикутник (∠C = 90°).

M ∈ AC, MN ⊥ AC, NK ⊥ AC =>

393. a) за гострим кутом (∠B — спільний).

б) за гострим кутом (∠A = ∠C як протилежні кути паралелограма).

394. а) за гострим кутом (∠B — спільний).

б) за спільним гострим кутом F.

за гострим кутом (∠FOB = ∠DOC як вертикальні).

395. Якщо два катети одного трикутника пропорційні катетам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Доведення. Враховуючи те, що кут між катетами дорівнює 90°, доводимо, спираючись на ознаку подібності за двома сторонами і кутом між ними.

396. Прямокутні трикутники AED і АСВ подібні за спільним гострим кутом А. Тому їх сторони пропорційні:

Відповідь: 60 м.

397. Нехай ВС — дерево, тоді АС — довжина його тіні. MN — людина, a AN — довжина її тіні. за спільним гострим кутом А. Тому

Відповідь: 13,8 м.

398. За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику маємо:

Відповідь: а) 10 см; б) 30 см і 40 см.

399. Нехай ABC — даний трикутник (∠A = 90°). AB ⊥ ВС; BD = 4,5 см, ВС = 8 см. ВС = ВВ + ВС = 4,5 + 8 = 12,5 (см).

За метричними відношеннями: АС² = ВС ∙ ВС;

Відповідь: 30 см.

400. Нехай з коефіцієнтом k. Проведемо висоти ВН і В₁Н₁.

З подібності трикутників випливає

за гострим кутом

401. а) Оскільки AKLM — квадрат, то за спільним гострим ∠B. за спільним гострим ∠C =>

б) 3 того, що випливає, що але LM = KL = a — сторона квадрата.

Відповідь: 6 см.

402. Два кола з центрами О₁ і O₂ дотикаються зовні у точці В. Їх спільна дотична l дотикається до кіл у точках М і N. А — точка перетину MN і О₁O₂. Проведемо радіуси в точки дотику. За їх властивістю маємо ∠O₁NA = ∠O₂MA = 90°. O₁N = 6 см, O₂M = 4 см.

за спільним гострим кутом А =>

Нехай АС = х, тоді АO₂ = АС + СO₂ = х + 4. АО₁ = АС + 2 ∙ СO₂ + ВО₁ = х + 2 ∙ 4 + 6 = 14 + х. Маємо: Тому АO₂ = 16 + 4 = 20 (см). АО₁ = 14 + 16 = 30 (см).

403. Нехай ABCD — паралелограм. BK ⊥ AD, ВМ ⊥ DC.

за гострим кутом (∠AKB = ∠CMB = 90°, ∠A = ∠C як протилежні кути паралелограма) => але за властивістю протилежних сторін паралелограма ВС = AD; АВ = CD, тому Маємо:

Відповідь: 6 см.

404. Нехай а і b — катети прямокутного трикутника, а а_с і b_с — їх проекції на гіпотенузу, тоді за метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику маємо: Поділимо ці рівності одна на одну:

405. Оскільки а² = с ∙ a_c, то

406. Нехай ABC — даний прямокутний трикутник (∠A = 90°). AD ⊥ ВС, AD = 24 см і DC : BD = 9 : 16.

Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді DC = 9х, BD = 16X. За метричними співвідношеннями маємо: АD² = CD ∙ BD; 24² = 9x ∙ 16х; 576 = 144х²; x² = 4; х = 2, отже, DC = 9 ∙ 2 = 18 см, BD = 16 ∙ 2 = 32 см, а ВС = BD + DC = 32 + 18 = 50 см.

Використовуючи співвідношення АС² = ВС ∙ DC і АВ² = ВС ∙ BD, маємо АС² = 50 ∙ 18 = 900; АС = 30 см. АВ = 50 ∙ 32 = 1600; АВ = 40 см.

Відповідь: 30 см, 40 см.

407. Нехай АВ — діаметр кола з центром О. С ∈ АВ, АС = 10 см, СВ = 8 см.

Проведемо CM ⊥ АВ, М належить колу, тоді ∠AMB = 90° (спирається на діаметр).

Розглянемо прямокутний ΔАМВ, МС — його висота, що. проведена до гіпотенузи. За метричними співвідношеннями: СМ² = АС ∙ ВС; СМ² = 10 ∙ 8 = 80; CM = √80.

За умовою D ∈ СМ, тому порівняємо СМ і CD: √80 < 9, оскільки 9 = √81. CM < CD => D знаходиться поза колом.

408. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС). D — середина АС. DN ⊥ ВС, N ∈ ВС. CN = 2,25 см. NB = 4 см.

Проведемо BD. Оскільки BD — медіана рівнобедреного трикутника, що проведена до основи, то BD є висотою і ∠BDC = 90°. У ΔBDC DN — висота, що проведена до гіпотенузи, тому за метричними співвідношеннями DN² = CN ∙ NB = 2,25 ∙ 4 = 9; DN = 3 см.

До бічної сторони ΔABC проведемо висоту AH. за спільним гострим кутом С =>

Відповідь: 6 см.

409. Нехай ABCD — даний ромб, в який вписано коло з центром О. H — точка дотику кола до сторони ВС. СН = 5 см, ВH = 20 см, ОН — радіус, проведений в точку дотику, тому ОН ⊥ ВС. За властивістю діагоналей ромба ∠BOC = 90°.

Розглянемо прямокутний ΔВОС, ОН — його висота, що проведена до гіпотенузи => ОН² = СН ∙ НВ; ОН² = 5 ∙ 20 = 100; ОН = 10 см. Але ОН — радіус вписаного в ромб кола, а висота ромба є діаметром цього кола. Отже, h = 2 ∙ ОН = 2 ∙ 10 = 20 см.

Відповідь: 20 см.

410. а) Нехай ABCD — даний паралелограм, ВН ⊥ AD. AH : HD = 1 : 7. Проведемо CN ⊥ AD. ΔАНВ = ΔDCN за гіпотенузою і гострим кутом, тому DN = АН.

Нехай К — точка перетину АС і ВН. за спільним гострим кутом А, тоді

Нехай АН = х, тоді HD = 7х, DN = х, a AN = AH + HD + DN = х + 7х + х = 9х.

Відповідь: 1 : 8.

б) Нехай ABCD — даний паралелограм, ВН ⊥ CD. DH : НС = 1 : 7. Проведемо AN ⊥ CD. ΔBHC = ΔAND за гіпотенузою і гострим кутом, тому DN = НС. Нехай К — точка перетину ВН і АС. за спільним гострим кутом С, тоді Нехай DH = х, тоді НС = 7х, ND = 7x i NC = ND + DH + HC = 7x + x + 7x = 15x.

Відповідь: 8 : 7.

411. Нехай ABCD — даний паралелограм. К ∈ BD, АК ⊥ BD, M — точка перетину ВС і АК. За умовою ВК : KD = 3 : 7. Прямокутні ΔВКМ і ΔDKA подібні за гострим кутом (∠МВК = ∠ADK як внутрішні різносторонні) => Але AD = ВС = ВМ + МС, отже, Якщо К — довільна точка діагоналі BD, то ΔВКМ і ΔDKA все одно будуть подібні.

Відповідь: 3 : 4.

412. Нехай ABCD — даний паралелограм, AN ⊥ CD, AM ⊥ BC.

за гострим кутом (∠D = ∠B як протилежні кути паралелограма) => або Оскільки AD = ВС, то Нехай ∠B = ∠D = α, тоді Отже, за двома сторонами і кутом між ними.

413. Якщо гіпотенуза і катет одного трикутника пропорційні гіпотенузі і катету іншого трикутника, то такі трикутники подібні.

Розглянемо ΔАВС (∠A = 90°) і ΔA₁B₁C₁. (∠A = 90°), причому АС = k ∙ А₁С₁, ВС = k ∙ B₁C₁.

Зробимо додаткову побудову. Добудуємо прямокутні трикутники ABC і A₁B₁C₁ до рівнобедрених DBC і D₁B₁C₁.

За побудовою: ВА і В₁А₁ - висоти, проведені до основи рівнобедреного трикутника, тому вони є медіанами: за трьома сторонами => ∠C = ∠C₁ і за двома сторонами і кутом між ними.

414. Нехай ABC — даний трикутник (∠A = 90°), AD ⊥ ВС. За умовою CD : BD = 1 : 4. Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді CD = х, BD = 4х. За метричними відношеннями маємо: AD² = CD ∙BD = х ∙ 4х = 4х²; AD = 2х, а ВС = CD + BD = х + 4х = 5х. Отже,

Відповідь: у 2,5 рази.

415. Нехай ABC — прямокутний трикутник, вписаний в коло з центром О (∠B = 90°). Тоді гіпотенуза АС є діаметром цього кола і АО = ОС = ВО. ΔАОВ — рівнобедрений (AO = OB) => ∠OBA = ∠OAB = 36°, a ∠AOB = 180° - 2 ∙ 36° = 108°. ∠BOC = 36° + 36° = 72° як зовнішній кут ΔАОВ при вершині А.

Відповідь: 108°, 72°.