Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 1. Чотирикутник

9. Центральні і вписані кути

Пояснення

Центральним називають кут, вершина якого лежить у центрі кола, а сторони перетинають коло.

Градусна міра центрального кута дорівнює градуйній мірі дуги кола, на яку він спирається.

Вписаним називають кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло.

Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги кола, на яку він спирається.

Вписані кола, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні.

Вписаний кут, що спирається на діаметр кола, прямий.

Якщо центральний і вписаний кути спираються на одну й ту саму дугу, то вписаний кут удвічі менший від центрального.

278. Градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається. Міра дуги кола 360°, тоді:

1) 1/6 кола — 360° : 6 = 60°;

2) 1/10 кола — 360° : 10 = 36°;

3) 1/2 кола — 360° : 2 = 180°;

4) 2/9 кола — 360° : 9 ∙ 2 = 80°.

Відповідь: 1) 60°; 2) 36°; 3) 180°; 4) 80°.

279. Нехай градусна міра меншої дуги х°, тоді більшої — х° + 80°, їх сума х + х + 80 = 360, 2х = 280, х = 140. Отже, градуса міра меншої дуги — 140°, більшої — 140° + 80° = 220°.

Відповідь: 140° і 220°.

280. Позначимо коефіцієнт пропорційності дуг за х, х > 0, тоді градусна міра меншої — 7х°, а більшої — 11х°, а їх сума 360°. Отже, 7х + 11 х = 360, 18х = 360, х = 20. Тоді менша — 20 ∙ 7 = 140°, більша — 20 ∙ 11 = 220°.

Відповідь: 140° і 220°.

281. Кінець годинної стрілки описує дугу, що дорівнює 1/12 кола, градусна міра якої — 360° : 12 = 30°. Тоді:

1) за 2 години — 60°; 2) за 5 годин — 150°; 3) за 8 годин — 240°; 4) за 30 хвилин — 30° : 2 = 15°; 5) за 12 годин — 360°.

Відповідь: 1) 60°; 2) 150°; 3) 240°; 4) 15°; 5) 360°.

283. 1) ∠BDC = ∠BAC = 40°, оскільки обидва вписані і спираються на одну дугу;

2) ∠BEC = 1/2∠BOC = 70° : 2 = 35°, оскільки ∠BEC — вписаний, ∠BOC — центральний і обидва спираються на одну дугу; .

3) ∪СЕ = 80° ∙ 2 = 160°, оскільки ∠CDE — вписаний і дорівнює половині дуги СЕ.

284. а) Вписаний кут спирається на діаметр, тому він дорівнює 90°. Отже, не може дорівнювати 95°.

б) Задані 2 кути спираються на одну хорду, тому сума цих кутів має дорівнювати 180°. Сума ж заданих кутів 170°, що неможливо.

в) Задані кути спираються на одну дугу, тому мають бути рівними. Задані ж кути не рівні.

г) Один із заданих кутів центральний, другий — вписаний, і вони спираються на одну дугу, тому вписаний кут має бути удвічі меншим від центрального. А за умовою 50° ≠ 1/2 ∙ 80°.

285. Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається. Тому кут дорівнює:

1) 84° : 2 = 42°; 2) 110° : 2 = 55°; 3) 230° : 2 = 115°; 4) 340° : 2 = 170°.

Відповідь: 1) 42°; 2) 55°; 3) 115°; 4) 170°.

286. ∠ABC — вписаний, тому ∪АС = 68° ∙ 2 = 136°. ∪ВС = 360° - (∪АВ + ∪AC, ∪ВС = 360° - (74° + 136°) = 150°.

Відповідь: 150°.

287. ∪АВ + ∪АС + ∪ВС = 360°, звідки ∪АС = 360° - (∪AB + ∪BC), ∪АС = 360° - (64° + 92°) = 360° - 156° = 204°. ∠ABC — вписаний, тому ∠ABC = 1/2∪АС, ∠ABC = 204° : 2 = 102°.

Відповідь: 102°.

288. За умовою ∠AOC = ∠ABC + 25° і ∠AOC = 2∠ABC, тоді 2∠ABC = ∠ABC + 25°, ∠ABC = 25°, a ∠AOC = 25° ∙ 2 = 50°.

Відповідь: ZABC = 25°, ZAOC = 25°.

289. Позначимо коефіцієнт пропорційності градусних мір дуг за х, х > 0, тоді ∪AKB = 3х°, ∪AMB = 7х°, їх сума 360°, тому 3х + 7х = 360, звідки х = 36. Отже, ∪АКВ = 36° ∙ 3 = 108°, ∪АМВ = 36° ∙ 7 = 252°. Із точки М хорду АВ видно від кутом АМВ — вписаним, який спирається на дугу АКВ, тому ∠AMB = 1/2∪АКВ, ∠АМВ = 108° : 2 = 54°. Із точки К хорду АВ видно під кутом АКВ, що спирається на дугу АМВ, тому ∠АКВ = 1/2∪АМВ, ∠АКВ = 252° : 2 = 126°.

Відповідь: із точки М — 54°, із точки К — 126°.

290. Проведіть відрізки АС, AD, ВС і позначте точку К — точку перетину відрізків AD і ВС. Розглянемо ΔВАК і ΔDCK: АВ = DC, ∠ВАК = ∠DCK як вписані, що спираються на одну дугу, ∠АВК = ∠CDKяк вписані, що спираються на одну дугу. Тоді ΔВАК = ΔDCK за стороною і прилеглими до неї кутами, тоді АК = СК. У ΔАКС — рівнобедреного ∠КАС = ∠КСА, ∠DAC = ∠ВСА — вписані рівні, отже, рівні і дуги, на які вони спираються. Що й треба було довести.

Пояснення

Рівні хорди стягують рівні дуги.

291. Скористайтеся рисунком 96 підручника. Нехай хорда АВ стягує дугу АМВ, а хорда CD — дугу CND і ∪АМВ = ∪CND. Проведемо відрізок АС і відрізки ВС і AD, які перетинаються в точці К. ∠DAC = ∠ВСА як вписані, що спираються на рівні дути. Тоді ΔАКС — рівнобедрений з основою АС і АК = КС. ∠ABC = ∠ADC як вписані, що спираються на одну дугу. У ΔАВК і ΔCDK ∠ВКА = ∠DKCяк вертикальні, ∠АВК = ∠CDK, тоді ∠ВАК = ∠DCK, АК = КС, отже, ΔАВК = ΔCDK за стороною і прилеглими до неї кутами, звідки АВ = DC. Що й треба було довести.

Пояснення

Хорди, що стягують рівні дуги кола, рівні між собою.

292. Позначимо коефіцієнт пропорційності градусних мір дуг за х, тоді ∪АВ — х°, ∪ВС — 2х°, ∪АС — 3х°, ∪АВ + ∪ВС + ∪АС = 360°, тоді х + 2х + 3х = 360, 6х = 360, х = 60. Отже, ∪АВ = 60°, ∪ВС = 60° ∙ 2 = 120°, ∪АС = 60° ∙ 3 = 180°. Кути ΔАВС — вписані в коло, що спираються: ∠В — на ∪АС, тому ∠A — на ∪ВС, тому ∠С — на ∪АВ, тому

Відповідь: 30°, 60°, 90°.

293. ∠С — вписаний, що спирається на дугу АВ, тому ΔАВС — рівнобедрений з основою АС, тому ∠А = ∠С - 35°. ∠В = 180° - 2∠C, ∠В = 180° - 2 ∙ 35° = 110°.

Відповідь: 35°, 110°, 35°.

294. 1) Нехай точка перетину діаметрів цього кола О, вони цією точкою діляться навпіл. Для чотирикутника АС і BD — діагоналі, які перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, тоді ABCD— паралелограм; у нього ∠BCD = 90°, оскільки спирається на діаметр. Отже, ABCD — прямокутник.

2) За умовою ∠ABD = 80° і це вписаний кут, що спирається на дугу ∪AD, тому ∪AD = 80° ∙ 2 = 160°. ∠BCD = 90°, тоді ∪BAD = 90° ∙ 2 = 180°. ∪ABD = ∪AB + ∪AD, звідки ∪AB = ∪ABD - ∪AD, ∪AB= 180° - 160° = 20°. У прямокутника протилежні сторони рівні, тоді вони стягують рівні дуги. Отже, ∪AB = ∪CD = 20°, ∪AD = ∪ВС = 160°.

Відповідь: ∪AB = 20°, ∪ВС = 160°, ∪CD = 20°, ∪AD = 160°.

295. Скористайтеся рисунком до задачі 292. Нехай ΔABC — вписаний в коло з центром О, ∠B = 90°, ∠C = 32°, АС = 12 см. Оскільки ∠B = 90°, то АС — діаметр, АС = 2R, тоді R = 12 : 2 = 6 (см) — радіус кола. Кути ΔАВС — вписані в коло, тому градусні міри дуг кола, на які спираються ці кути, удвічі більші за градусні міри кутів. Тоді ∪AB = 32° ∙ 2 = 64°, ∪AC = 90° ∙ 2 = 180°, ∪ВС = 360° - (∪AB + ∪AC), ∪ВС = 360° - (64° + 180°) = 116°.

Відповідь: 64°, 180°, 116°; 6 см.

296. Якщо вписаний кут — прямий, то градусна міра дуги кола, на яку він спирається, 90° ∙ 2 = 180°, що дорівнює половині градусної міри всього кола. Таку дугу стягує діаметр. Отже, прямий кут, вписаний у коло, спирається на діаметр. Що й треба було довести.

297. Проведіть відрізок АС. оскільки ці кути вписані. У ΔACM

ЩО Й треба було довести.

298. Проведіть відрізок ВС. ∠ABC — вписаний, тому ∠ABC — зовнішній для ΔСВМ, тому ∠M + ∠BCM = ∠ABC, звідки ∠M = ∠ABC - ∠BCM. ∠BCD — вписаний, тому Маємо: Що й треба було довести.

299. Проведіть радіус ОВ. Оскільки В — точка дотику, то OB ⊥ АВ. ∠BOC — центральний, тому ∠BOC = ∪ВМС = 100°, ∠BOC — зовнішній кут для ΔАВО, тому ∠OAB + ∠ABO = 100°, звідки ∠OAB = 100° - ∠ABO = 100° - 90° = 10°. Отже, ∠BAC = 10°.

Відповідь: 10°.

300. ZABC — вписаний, тоді ∪ADC = 2∠ABC, ∪ADC - 80° ∙ 2 = 160°, а ∪АВС = 360° - ∪ADC, ∪ABC = 360° - 160° = 200°. ∠ADC — вписаний і спирається на ∪АВС, тоді ∠ADC = 200° : 2 = 100°. Оскільки BD — бісектриса ∠ABC, то ∠ABD = ∠CBD = 40°, a ∪AD = ∪DC = 40° ∙ 2 = 80°. ∠DAC — вписаний і спирається на дугу DC, тому ∠DAC = 80° : 2 = 40°, ∠ACD — вписаний і спирається на дугу AD, тому ∠ACD = 1/2∪AD, ∠ACD = 80° : 2 = 40°. Кути ΔАDС: 40°, 40°, 100°.

Відповідь: 40°, 40°, 100°.

301. Оскільки ΔАВС — рівносторонній, то ∠ABC = 60°, тоді вписаний ∠ABC, що спирається на дугу АМС, дорівнює половині цієї дуги. Тоді ∪AMC = 60° ∙ 2 = 120°. Оскільки ∪AM - 2∪MC, ТО ∪АМС = ∪AM + ∪MC = 2∪MC + uMC = 3∪MC = 120°, ∪MC = 40°, a ∪AM = 40° ∙ 2 = 80°. Тоді ∠CAM = 1/2∪MC, ∠CAM = 40° : 2 = 20°, ∠ACM = 1/2∪AM, ∠ACM = 80° : 2 = 40°. У ΔАМC ∠AMC = 180° - (∠CAM + ∠ACM), ∠AMC = 180° - (20° + 40°) = 120°.

Відповідь: 20°, 40°, 120°.

302. Якщо О — середина AB, то коло з центром О і радіусом АО перетинає АС в точці М, а ВС — в точці К. Тоді ∠BKA — вписаний кут і він спирається на АВ, яка є діаметром кола, отже, ∠BKA =90°, АК — висота ΔАВС. ∠AMB — вписаний, що спирається на діаметр, Отже, ∠AMB = 90°, ВМ — висота ΔАВС. Що й треба було довести.

303. Оскільки ∠ACK = ∠BCK, то СК — бісектриса ΔАВС. ∠AKC — вписаний і спирається на діаметр АС, тоді ∠AKC = 90°, отже, СК — висота і бісектриса ΔАВС. Тоді ΔАВС — рівнобедрений. Що й треба було довести.

304. Нехай АВ і CD — хорди кола і АВ || CD. Проведемо відрізок ВС. ∠ABC = ∠BCD як внутрішні різносторонні кути при АВ || CD та їх січній ВС. ∠ABC — вписаний, тому ∠ABC = 1/2∪АС, ∪АС = 2∠ABC; ∠BCD — вписаний кут, тому ∠BCD = 1/2∪BD, ∪BD = 2∠BCD = 2∠ABC. Маємо: ∪AC = ∪BD, тобто градусні міри дуг кола, які містяться між двома паралельними хордами, рівні. Що й треба було довести.

305. Сторони квадрата ВС = CD = AD. За доведеним раніше рівні хорди стягують рівні дуги. Отже, ∪ВС = ∪СD = ∪AD. Кути ∠CMB, ∠CMD і ∠AMD спираються відповідно на дуги ∪BC, ∪CD і UAD.Оскільки вони рівні, то ∠CMB = ∠CMD = ∠AMD. Що й треба було довести.

306. Нехай у ΔАВС АВ = ВС, ∠ABC = 56°, О — середина АВ. Коло з центром С і радіусом ОВ перетинає сторону ВС в точці К, а сторону АС — в точці М. Градусна міра дуги ∪ВКА = 180°. ∠ABK — вписаний кут, тоді ∪АМК = 2∠ABK, ∪АМК = 56° ∙ 2 = 112°, ∪ВК = ∪ВКА - ∪AMK, ∪ВК = 180° - 112° = 68°. Оскільки ΔABC — рівнобедрений, то Оскільки ∠BAM — вписаний, то ∪ВКМ = 62° ∙ 2 = 124°. Тоді ∪АМ = 180° - ∪ВКМ, ∪AM = 180° - 124° = 56°; ∪МК = 180° - (∪АМ + ∪ВК), ∪МК = 180° - (56° + 68°) = 180° - 124° = 56°. Отже, точки К i М ділять дугу на частини з градусними мірами 68°, 56°, 56°.

Відповідь: 68°, 56°, 56°.

307. За допомогою косинця побудуйте в колі вписаний прямий кут ABC, тоді АС — діаметр кола. За допомогою косинця побудуйте в цьому ж колі вписаний прямий кут BCD, тоді BD — діаметр кола. Точка перетину діаметрів АС і BD є шуканим центром кола.

309. Нехай кола з центрами О і O₁ мають спільну точку М, через яку проведено пряму, що перетинає коло з центром О в точці А, а коло з центром O₁ — в точці В, та пряму, що перетинає коло з центром О в точці С, а коло з центром О₁ — в точці D. Відрізок OO₁ також проходить через точку М. Тоді ∠OMA = ∠BMO₁ як вертикальні, ∠OAM = ∠OMA = ∠O₁MB = ∠O₁BM, оскільки ΔOAM і ΔО₁ВМ — рівнобедрені. Аналогічними міркуваннями отримуємо, що ∠OCM = ∠OMC = ∠O₁MD = ∠O₁DM. Оскільки ΔАОС — рівнобедрений, то а у рівнобедреного ΔO₁BD TO ∠OAC = ∠O₁BH і ∠CAM = ∠DBM, а ці кути — внутрішні різносторовні при АС та BD і їх січній АВ. Отже, АС || BD, що й треба було довести.

310. За умовою ∠ABM = ∠CBM, тоді ∠DBC— кут між дотичною і хордою ВС, отже, за наслідком із ключової задачі 1 пункту 9 тоді ∠ВАС вписаний і на яку він спирається. ∠DMB — зовнішній для ΔАВМ, тому отже, ∠DMB = ∠DBM і ΔDBM — рівнобедрений з основою ВМ. Із цього випливає, що DB = DM. Що й треба було довести.

316. Нехай О — середина катета АС, що є центром кола з радіусом ОА. KD — дотична до цього кола в точці Е, тоді ОЕ ⊥ ED. Кут між хордою АЕ і дотичною KD дорівнює ∠OEK = 90°, тоді ∠BED + ∠OED + ∠AEO = 180° (розгорнутий кут утворюють), тоді ∠BED = 180° - (∠OED + ∠AEO), ∠CAE — вписаний і спирається на дугу СЕ, тому a ∪CE = 180° - ∪AE, тому

У ΔАВС ∠САВ + ∠АВС = 90°, тому ∠АВС = 90° - ∠САВ, тоді

Отже, ∠BED = ∠EBD і ΔBDE — рівнобедрений. Що й треба було довести.

318. За умовою О — центр кола, вписаного в ΔАВС, а це точка перетину його бісектрис. О ∈ AD, ∠BAD = ∠CAD, тоді ∪BD = ∪DC і рівні хорди, що їх стягують, отже DB = DC. ∠BCD також спирається на дугу BD, тому ∠BCD = ∠CAD. Позначимо градусні міри кутів ∠CAD = α, ∠ОСА = β. Тоді ∠DCO = α + β. ∠DOC — зовнішній для ΔАОС, тоді ∠DOC = ∠ОАС + ∠ОСА, ∠DOC = α + β, отже, ∠DCO = ∠DOC і ΔODC рівнобедрений і з основою ОС, тоді DO = DC. Маємо: DB - DC = DO. Що й треба було довести.

319. Нехай хорди СС₁ і А₁В₁ перетинаються в точці К. ∠В₁ВС = β, ∠ВСС₁ = γ, ∠ВАА₁ = α. Сума кутів ΔАВС дорівнює 180°, ∠А + ∠В + ∠С = 180°, тоді 2α + 2β + 2γ = 180°, α + β + γ = 90°. 3а доведеним раніше кут між хордами ∠B₁ВС — вписаний, тому ∪В₁С = 2∠В₁ВС = 2β. ∪C₁BA₁ = ∪С₁В + ∪ВА₁. ∠ВСС₁ — вписаний, тому ∪C₁B = 2γ. ∠BAA₁ — вписаний, тому ∪BA₁= 2α. Отже, Що й треба було довести.