Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

17. Тригонометричні функції гострого кута прямокутного трикутника

Пояснення

У прямокутному трикутнику:

синус гострого кута — відношення протилежного катета до гіпотенузи, sin α;

косинус гострого кута — відношення прилеглого катета до гіпотенузи, cos α;

тангенс гострого кута — відношення протилежного катета до прилеглого, tg α;

котангенс гострого кута — відношення прилеглого катета до протилежного, ctg α.

581. Нехай катет а = 8 см, і гіпотенуза с = 10 см. Знайдемо другий катет b. За теоремою Піфагора с² = а² + b², тоді — менший катет. Тоді:

582. Нехай катети a = 3 CM і b = 2 cм прямокутного трикутника з гіпотенузою с, тоді с² = а² + b², с² = 9 + 4, с² = 13, с = √13 см. Тоді:

585. Катет ВС — протилежний до ∠A, тому Знайдемо катет АС, протилежний до кута В. тоді

586. Скористайтеся рисунком до задачі 585. Знайдемо гіпотенузу трикутника. АВ² = АС² + ВС², АВ² = 400 + 1681 = 2081.

Пояснення

Із основної тригонометричної тотожності випливає, що де α — гострий кут прямокутного трикутника.

587. Дано: cos α = 1/3. Знайдемо sin α, tg α, ctg α.

588. Дано: sin β = 4/5. Знайдемо cos β, tg β і ctg β.

589. Нехай у прямокутного трикутника з гострими кутами α і β Сума гострих кутів 90°, β = 90° - α. Тоді:

590. Нехай у ΔАВС АВ = ВС, ВН — висота, АС = 24 см, АВ = 13 см, ∠ABH — кут між бічною стороною і висотою, проведеною до основи. У ΔАВН ∠BHA = 90°, АН = 1/2АС (ВН є і медіаною), АН = 12 см. За наслідком із теореми Піфагора Тоді:

591. Скористайтеся рисунком до задачі 590. Нехай у ΔАВС АВ = ВС = 17 см, ВН — висота, ВН = 8 см, ∠BAH — кут при основі. У ΔАВН ∠BHA = 90°, тоді за наслідком із теореми Піфагора

592. Нехай у ромба ABCD т. О — точка перетину діагоналей АС = 4 CM, BD = 4√3 см. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і є бісектрисами його кутів. Тоді ∠A = 2∠BAO, ∠B = 2∠ABO. У ΔАОВ ∠AOB = 90°, тоді ∠BAO = 60°. Сума гострих кутів 90°, тому ∠ABO = 90° - 60° = 30°. Маємо у ромба: ∠A = 2 ∙ 60° = 120°, ∠B = 2 ∙ 30° = 60°.

Відповідь: 120°, 60°.

593. Нехай у прямокутника ABCD АВ = √3 см, AD = 3 см. ∠CAD — кут між діагоналлю і AD, ∠CAB — кут між діагоналлю і АВ. У ΔАОС ∠D = 90°, CD = АВ = √3 см, тоді отже, ∠CAD = 30°, ∠BAD = 90°, тоді ∠CAB = 90° - ∠CAD, ∠CAB = 90° - 30° = 60°.

Відповідь: 30° і 60°.

594. Проведемо висоту ВН, ВН ⊥ AD, У ΔАВH ∠AHB = 90°, тоді

595. Оскільки ∠A = 90°, то і ∠B = 90°. Проведемо висоту СH = AB = 4 см, HD = AD - BC, HD = 12 - 8 = 4 (CM). У ΔСHD ∠CHD = 90°, тоді отже, ∠B = 45°. ∠BCD + ∠D = 180°, тоді ∠BCD = 180° - 45° = 135°.

Відповідь: 90°, 90°, 45°, 135°.

596. Скористайтесь рисунком до задачі 585. Нехай у ΔАВС ∠C = 90°. За означенням Якщо добуток чисел дорівнює 1, то ці числа взаємно обернені. Тоді отже, тангенси гострих кутів прямокутного трикутника є взаємно оберненими числами. Що й треба було довести.

597. 1) Доведемо, що

Що й треба було довести.

2) Доведемо, що

Що й треба було довести.

Запам’ятайте!

598. 1) Зазначимо, що sin 18° = sin(90° - 72°) = cos 72°. Тоді sin² 18° + sin² 72° = cos² 72° + sin² 72° = 1.

2) Зазначимо, що cos 36° = cos(90° - 54°) = sin 54°. Тоді cos² 36° - sin² 54° = sin² 54° - sin² 54° = 0.

Відповідь: 1) 1; 2) 0.

599. Нехай у ΔАВС ∠C = 90°, АС = 30 см, ВС = 40 см, CM — медіана, СН — висота, ∠MCH — кут між медіаною та висотою. Знайдемо АВ : АВ² =АС² + ВС², СН — висота, проведена із вершини прямого кута, тоді за метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику АС² = АВ ∙ АН, звідки звідки НМ = AM - AH, НМ = 25 - 18 = 7 (см). Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тоді СМ = АМ = 25 см. У ΔCHM ∠CHM = 90°, тоді

600. У ΔАМС і ΔBDC ∠C — спільний, ∠AMC = ∠BDC = 90°. Тоді за І ознакою подібності звідки За умовою BD : AM = 3 : 1, отже, AM : BD = 1 : 3, тоді АС : ВС = 1 : 3. Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за х, х > 0, тоді довжини АС — х, ВС — 3x. Оскільки ΔАВС — рівнобедрений, то У ΔBDC ∠BDC = 90°, тоді

601. У ΔСКА і ΔBDA ∠A — спільний, ∠CKA = ∠BDA = 90°, тоді за І ознакою подібності звідки СК : BD = АС : АВ. Оскільки ΔABC — рівнобедрений, то AD = 1/2АС. У ΔABD ∠BDA = 90°, тоді і за умовою Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за х, х > 0, тоді AD — 3x, АВ — 7х, а АС — 6х. Маємо: СК : BD = 6х : 7х = 6 : 7.

Відповідь: 6 : 7.

602. Опустимо перпендикуляр СА на АВ. У ΔВСА ∠BAC = 90°, тоді (1 — довжина сторони клітинки). Опустимо перпендикуляр FO на ED. Оскільки діагоналі квадрата перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл, то FO — половина діагоналі d квадрата зі стороною FD, тоді і де d = √2 ∙ FD (діагональ d квадрата зі стороною a, d = a√2); оскільки FD = 1, то d = √2, FD — діагональ квадрата зі стороною, що дорівнює 2 клітинкам, тоді FD = 2√2; FD = ЕО + OD, звідки ЕО = FD - OD, У ΔEFO ∠FOE = 90°, тоді Оскільки то ∠B = ∠E. Що й треба було довести.