Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 1. Чотирикутники

§ 4. Ромб і його властивості

Пояснення

Ромб — паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивості ромба:

1) сума двох сусідніх кутів 180°;

2) у ромба протилежні кути рівні;

3) діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл;

4) PABCD = 4 ∙ AB;

5) діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і є бісектрисами його кутів.

Ознаки ромба:

якщо в паралелограмі

1) дві сусідні сторони рівні, або

2) діагоналі перетинаються під прямим кутом, або

3) діагональ ділить навпіл кути паралелограма, то цей паралелограм — ромб.

112. Мал. 51, мал. 53, мал. 55.

.

Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, ∠DAC = 50° : 2 = 25°.

Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, тоді ∠DAC = 110° : 2 = 55°.

Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, тому ∠D = 60° ∙ 2 = 120°.

Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, тоді ∠А = 40°.

121. Розв’язання. ∠А = 36. Діагоналі ромба є бісектрисами кутів. ∠ВАО = 36° : 2 = 18°.

Діагоналі перетинаються під прямим кутом. У ΔАОВ ∠АОВ = 90°, ∠АВО = 90° - 18° = 72°.

Відповідь: ∠ОАВ = 18°, ∠АВО = 72°, ∠АОВ = 90°.

122. Див. мал. до № 121. Розв’язання. Діагоналі ромба перпендикулярні і є бісектрисами кутів. ∠АВО = 118° : 2 = 59°, ∠АОВ = 90°, ∠ОАВ = 90° - 59° = 31°.

Відповідь: 59°, 90°, 31°.

123. 3 ∙ а = 15 см, а = 15 : 3 = 5 см, Рр = 4 ∙ 5 = 20 см.

124. 2а = 18 см, а = 18 : 2 = 9 см, Рр = 4 ∙ 9 = 36 см.

125. Дано: ABCD — ромб, ∠2 = 66°.

Знайти: ∠1.

Розв’язання. ∠В + ∠С = 180°, діагоналі ромба є бісектрисами кутів, 2 ∙ ∠1 + ∠2 = 180°, 2 ∙ ∠1 + 66° = 180°; 2 ∙ ∠1 = 180° - 66°; 2 ∙ ∠1 = 114°; ∠1 = 114°: 2; ∠1 = 57°.

Відповідь: 57°.

126. Див. мал. до № 125. Дано: ABCD — ромб, ∠1 = 58°.

Знайти: ∠2.

Розв'язання. Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, ∠1 = ∠DBC = 58°. 2 ∙ 58° + ∠2 = 180°; ∠2 = 180° - 116°; ∠2 = 64°.

Відповідь: 64°.

127. Див. мал. до № 125. Дано: ABCD — ромб, ∠1 = 55°.

Знайти: ∠3.

Розв’язання. ∠2 = ∠3 — як внутрішні різносторонні, діагоналі є бісектрисами кутів, тому 2 ∙ ∠1 + ∠2 = 180°; 2 ∙ 55° + ∠2 = 180°; ∠2 = 180° - 110°; ∠2 = 70°. ∠3 = ∠2 = 70°.

Відповідь: 70°.

128. Див. мал. до № 125. Дано: ABCD — ромб, ∠3 = 50°.

Знайти: ∠1.

Розв’язання. ∠2 = ∠3 як внутрішні різносторонні, діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. Тоді 2 ∙ ∠1 + ∠2 = 180°; 2 ∙ ∠1 + 50° = 180°; 2 ∙ ∠1 = 130°; ∠1 = 130° : 2; ∠1 = 65°.

Відповідь: 65°.

129. Дано: ABCD — ромб, АВ = BD.

Знайти: ∠А, ∠В, ∠С, ∠D.

Розв'язання. У ромба сторони рівні, АВ = AD = BD, тому ΔABD — рівносторонній. ∠А = ∠ABD = ∠ADB = 60°, діагоналі ромба є бісектрисами кутів, тому ∠В = ∠D = 2 ∙ 60° = 120°.

Відповідь: 60°, 60°, 120°, 120°.

130. 1) Протилежні сторони рівні.

2) Протилежні кути рівні.

3) Діагоналі в точці перетину діляться навпіл.

131. 1) Дано: ABCD — ромб, сума двох кутів 80°.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв'язання. Сума сусідніх кутів ромба 180°, тому в умові дано протилежні кути.

∠B = ∠D = 80° : 2 = 40°, ∠A = ∠C = 180° - 40° = 140°.

Відповідь: 40°, 40°, 140°, 140°.

2) Дано: ABCD — ромб, один з кутів на 20° більший за другий.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. У ромба протилежні кути рівні, тому в умові дано сусідні кути, їх сума 180°. Нехай ∠B = х°, ∠A = (х + 20)°. х + х + 20 = 180; 2х = 180 - 20; 2х = 160; х = 160 : 2; х = 80. ∠B = ∠D= 80°, ∠A = ∠C = 80° + 20° = 100°.

Відповідь: 80°, 80°, 100°, 100°.

132. 1) Дано: ABCD — ромб, сума двох кутів 210°.

Знайти: ∠A, ∠В, ∠C, ∠D.

Розв’язання. У ромба сума сусідніх кутів 180°, тому дано протилежні кути, які рівні, ∠A = ∠C = 210° : 2 = 105°, ∠B = ∠D = 180° - 105° = 75°.

Відповідь: 75°, 75°, 105°, 105°.

2) Дано: ABCD — ромб, один з кутів на 50° менший від другого.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. У ромба протилежні кути рівні, тому в умові дано сусідні кути, сума яких 180°. Нехай ∠B = х°, ∠A = (х + 50)°. х + х + 50° = 180; 2х = 180 - 50; 2х = 130; х = 130 : 2; х = 65. ∠B =∠D = 65°, ∠A = ∠C = 65° + 50° = 115°.

Відповідь: 65°, 65°, 115°, 115°.

133. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) так.

134. Дано: ABCD — ромб, АС, BD — діагоналі, ∠OAB - ∠OBA = 10°.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. Діагоналі ромба перпендикулярні і є бісектрисами його кутів. ΔАОВ — прямокутний.

Нехай ∠ABO = х°, ∠BAO = (х + 10)°. Сума гострих кутів прямокутного трикутника 90°. х + х + 10 = 90; 2х = 90 - 10; 2х = 80; х = 80 : 2; х = 40.

∠ABO = 40°, ∠B = ∠D = 40° ∙ 2 = 80°, ∠BAO = 40° + 10° = 50°, ∠A = 50° ∙ 2 - 100°, ∠C = 110°.

Відповідь: 80°, 80°, 100°, 100°. '

135. Див. мал. до № 134. Дано: ABCD — ромб, АС і BD — діагоналі, ∠ABO : ∠BAO = 2 : 3.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. Діагоналі ромба перпендикулярні є і бісектрисами його кутів, ΔАОВ — прямокутний. Нехай одна частина х°, тоді ∠ABO = (2х)°, ∠BAO = (3х)°. Сума гострих кутів прямокутного трикутника 90°.

2х + 3х = 90; 5х = 90; х = 90 : 5; х = 18.

∠ABO = 2 ∙ 18° = 36°, ∠B = ∠D = 36° ∙ 2 = 72°, ∠BAO = 3 ∙ 18° = 54°, ∠A = ∠C = 54° ∙ 2 = 108°.

Відповідь: 72°, 72°, 108°, 108°.

136. 1) Дано: AB — сторона, AC — діагональ ромба.

Побудувати: ромб ABCD.

Побудова:

1) Пряма l.

2) А ∈ l.

3) АС ∈ l.

4) Коло (A; R = АВ).

5) Коло (С; R = АB).

6) В, D — точки перетину кіл.

7) ABCD — шуканий ромб.

2) Дано: BD, АС — діагоналі.

Побудувати: ромб ABCD.

Побудова:

1) Пряма l.

2) В ∈ l.

3) BD ∈ l.

4) АС — серединний перпендикуляр до BD.

5) АС ∩ BD = О.

6) Коло

7) Точки перетину кола з АС — точка А і С.

8) ABCD — шуканий ромб.

137. Дано: АВ — сторона, ∠A — кут ромба.

Побудувати: ABCD — ромб.

Побудова:

1) Пряма l.

2) А ∈ l.

3) АВ ∈ l.

4) ∠A.

5) На іншій стороні ∠A будуємо AD = АВ.

6) DC || АВ.

7) ВС || AD.

8) ABCD — шуканий ромб.

138. Дано: ABCD — ромб, ВМ ⊥ AD, BN ⊥ CD.

Довести: ВМ = BN.

Доведення. Розглянемо ΔАВM і ΔCBN — прямокутні, АВ = ВС (бо у ромба всі сторони рівні), ∠A = ∠C (у ромба протилежні кути рівні), тоді ΔАВМ = ΔCBN за гіпотенузою і гострим кутом, тому ВМ = BN.

139. Дано: ABCD — ромб, ВК і DC — висоти.

Довести: ВК = DL.

Доведення. У ромба всі сторони рівні і протилежні кути рівні, тому АВ = CD, ∠A = ∠C, ΔАВК = ΔCDL за гіпотенузою і гострим кутом, тому ВК = DL.

140. Дано: ABCD — ромб, AH, АК — висоти, ∠HAK = 110°.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. BA || СК і ∠AKD = 90°, тому ∠BAK = 90°, ∠BAH = 110° - 90° = 20°.

∠C = ∠A = 90° - 20° = 70°;

∠B = ∠D = 180° - 70° = 110°.

141. Дано: ABCD — ромб, ВН і ВК — висоти, ∠HBK = 50°.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. Сума кутів чотирикутника 360°, тому у чотирикутнику HBKD ∠D = 180° - 50° = 130°, ∠B = ∠D = 130°, ∠A = ∠C = 180° - 130° = 50°.

Відповідь: 50°, 50°, 130°, 130°.

142. Дано: ABCD — ромб, АН — висота, АС = а см — менша діагональ, ∠HAC = 30°.

Знайти: 1) ∠A, ∠C, ∠B, ∠D; 2) РABCD.

Розв’язання. 1) ΔАНС — прямокутний, ∠HAC = 30°, ∠HCA = 90° - 30° = 60°. Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, тому ∠C = ∠A = 2 ∙ 60° = 120°, ∠B = ∠D = 180° - 120° = 60°.

2) ΔАВС — правильний, тому АВ = ВС - АС = а. РABCD = 4а см.

Відповідь: 1) 60°, 60°, 120°, 120°; 2) РABCD = 4а см.

143. Дано: ABCD — ромб, AH — висота, ВС = НС, АС = b см менша діагональ.

Знайти: 1) ∠A, ∠B, ∠C, ∠D; 2) РАВСD.

Розв’язання. 1) У ΔABH ∠AHB = 90°, ВН = 1/2АВ, тоді ∠BAH = 30°, ∠B = 60°, ∠D = 60°, ∠A = ∠C = 120°.

2) ΔАВС — правильний, тому АВ = ВС = АС = b.

РАВСD = 4 ∙ b см.

Відповідь: 1) 60°, 60°, 120°, 120°; 2) 4b см.

144. Доведення. ABCD — ромб, тому BD ⊥ MN, BO = OD; за умовою AM = CN, тому MO = NO, у чотирикутнику діагоналі перпендикулярні і в точці перетину діляться навпіл, тому MBND — ромб.

145. Дано: ABCD — прямокутник, М, N, Р, К — середини сторін прямокутника.

Довести: MNPK — ромб.

Доведення. NK і МР — діагоналі чотирикутника MNPK, які перпендикулярні і в точці перетину діляться навпіл, тому MNPK — ромб.

146. Дано: ΔABC — правильний, AMNK — вписаний ромб, N ∈ BC, PAMNK = 40 см.

Знайти: РΔABC.

Розв'язання. PAMNK = 40 см, тому AM = MN = NK = АК = 40 : 4 = 10 см. ΔАМК, ΔMBN, ΔNCK, ΔMNK — правильні трикутники із стороною 10 см, тому АВ = 20 см.

РΔВСD = 20 ∙ 3 = 60 см.

Відповідь: 60 см.

147. Дано: ABCD — паралелограм, ВС : АВ = 5 : 2, ВС - АВ = 15 см.

Знайти: РАВСD.

Розв’язання. РАВСD = 2(АВ + ВС). Нехай одна частина х см, тоді ВС = 5х см, АВ = 2х см, ВС - АВ = 5х - 2х = 3х. 3х = 15; х = 15 : 3; x = 5. ВС = 5 ∙ 5 = 25 см, АВ = 2 ∙ 5 = 10 см. РАВСD = 2 ∙ (25 + 10) = 70 см.

Відповідь: 70 см.

148. Дано: ΔАВС, ∠B = ∠A + ∠C, ВМ = 5 см — медіана.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою ∠B = ∠A + ∠C, ∠B + ∠A + ∠C = 180°, тому ∠B = 90°.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, тому АС = 2 ∙ ВМ, АС = 5 ∙ 2 = 10 см.

Відповідь: 10 см.

149. Р = 21 см. 1) Так; 2) ні; 3 так.

150. Прямокутник.

152. Дано: коло з центром в т. О, ΔАВС — описаний, К — точка дотику, МК — діаметр.

Довести: АК > МК.

Доведення. З’єднаємо А і М, отримали ΔАМК, АК < AM + МК, тому МК < АК.





Перша публікація: 01/01/2017

Останнє оновлення: 31/12/2023

Редакційна та навчальна адаптація: Даний матеріал зведено на основі першоджерела/оригінального тексту. Команда проєкту здійснила редакційне оглядове опрацювання, виправлення технічних неточностей, структурування розділів та адаптацію змісту до навчального формату.

Що було опрацьовано:

  • усунення форматних дефектів (OCR-помилки, розриви структури, дефектні символи);
  • редакційне упорядкування змісту;
  • уніфікація термінів відповідно до академічних джерел;
  • перевірка відповідності фактичних тверджень тексту першоджерела.

Усі згадки про автора, рік видання та походження первинного тексту збережено відповідно до джерела.