Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 4. Многокутники. Площі многокутників

§ 25. Площа трикутника

912. Дано: ΔABC; АК — висота, АК = 8 дм; S_ΔABC = 36 дм².

Знайти: ВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, АК — висота, тоді за формулою S_ΔABC = 1/2АК ∙ ВС. За умовою АК = 8 дм. S_ΔABC = 36 дм², маємо:

Відповідь: 9 дм.

913. Дано: ΔABC, ВК — висота, АС = 8 CM, S_ΔABC = 20 cм².

Знайти: ВК.

Розв'язання. За умовою задано ΔABC, ВК — висота, тоді за формулою S_ΔABC = 1/2АС ∙ ВК. За умовою АС = 8 см, S_ΔAВС = 20 см², маємо:

Відповідь: 5 см.

914. 1) Дано: ΔАВС, ВК — висота, ВК = 4 клітинки, АС = 6 клітинок, 1 кл. = 0,5 см.

Знайти: S_ΔABC.

Розв'язання. За умовою задано ΔABC, ВК — висота, за формулою S_ΔABC = 1/2АС ∙ ВК. За умовою ВК = 4 кл., АС = 6 кл., 1 кл. = 0,5 см, тоді ВК = 4 ∙ 0,5 = 2 см. АС = 6 ∙ 0,5 = 3 см. Тоді S_ΔABC = 1/2 ∙ 2 ∙ 3 = 3 см².

Відповідь: 3 см².

2) Дано: ΔMLK, MD — висота, MD = 5 клітинок, KL = 4 клітинки, 1 клітинка = 0,5 см.

Знайти: S_ΔMLD.

Розв’язання. За умовою задано ΔMLK, MD — висота, тоді за формулою S_ΔMLK = 1/2KL ∙ MD. За умовою MD = 5 кл., KL = 4 кл., 1 кл. = 0,5 см, тоді MD = 5 ∙ 0,5 см = 2,5 см; KL = 4 ∙ 0,5 см = 2 см. Тоді S_ΔMLK = 1/2 ∙ 2 ∙ 2,5 = 2,5 см².

Відповідь: 2,5 см².

915. 1) Дано: ΔDEF, ЕК — висота, DF = 5 клітинок, ЕК = 8 клітинок, 1 клітинка = 0,5 см.

Знайти: D_ΔDEF.

Розв'язання. За умовою задано ΔDEF, ЕК — висота, тоді за формулою S_ΔDEF = 1/2DF ∙ ЕК. За умовою DF = 5 клітинок; ЕК = 8 клітинок, 1 клітинка = 0,5 см, тоді DF = 5 ∙ 0,5 см = 2,5 см; ЕК = 8 ∙ 0,5 см = 4 см. Значить, S_ΔDEF = 1/2 ∙ 2,5 ∙ 4 = 5 см².

Відповідь: 5 см².

2) Дано: ΔАВС. СК — висота, AB = 6 клітинок, СК = 4 клітинки, 1 клітинка = 0,5 см.

Знайти: S_ΔABC.

Розв'язання. За умовою задано ΔАВС, СК — висота, тоді S_ΔAВС = 1/2AB ∙ СК. За умовою AB = 6 кл., СК = 4 кл., 1 кл. = 0,5 см, тоді АВ = 6 ∙ 0,5 = 3 см; СК = 4 ∙ 0,5 = 2 см. S_ΔABC = 1/2 ∙ 3 ∙ 2 = 3 см².

Відповідь: 3 см².

916. Дано: ΔАВС, АВ = ВС = 5 см, ВК — висота, ВК = 3 см.

Знайти: S_ΔABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ВК — висота, тоді за формулою S_ΔAВС = 1/2BK ∙ КC. За умовою ВК = 3 см. У ΔАВК, ∠BKA = 90°, АВ = 5 см, тоді з теореми Піфагора За властивістю рівнобедреного трикутника висота ВК є і медіаною, значить,

Відповідь: 12 см².

917. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°. АС = 7 см, АВ = 25 см.

Знайти: S_ΔABC.

Розв'язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, тоді за формулою S_ΔABC = 1/2АС ∙ СВ. За умовою АС = 7 см, АВ = 25 см. Із теореми Піфагора СВ² = АВ² - АС².

Відповідь: 84 см².

918. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°. АВ = 8 см, ВС = АС.

Знайти: S_ΔABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, тоді за формулою S_ΔABC = 1/2АС ∙ ВС. За умовою ВС = АС, тоді S_ΔABC = 1/2ВС². За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС². АВ = 8 см, тоді

Відповідь: 16 см².

919. Дано: ΔАВС, ∠ACB = 90°. СК — висота, СК = 6 см. АС = ВС.

Знайти: S_ΔABC.

Розв’язання. За формулою Оскільки АС = ВС, то ∠A = ∠B = 45° (∠A + ∠B = 90° за теоремою).

ΔВКС = ΔАКС (СК — спільний катет, ∠A = ∠B). Отже, ВК = АК. За властивістю СК² = ВК ∙ АК. 6² = ВК², ВК = 6 см. Тоді АВ = 2 ∙ ВК; АВ = 2 ∙ 6 = 12 см.

Відповідь: 36 см².

920. 1) Дано: ABCD — ромб. АС, BD — діагоналі. АС = 8 см, BD = 10 см.

Знайти: S_ABCD.

Розв’язання. За умовою задано ромб ABCD, тоді За умовою АС = 8 см, BD = 10 см.

Відповідь: 40 см².

2) Дано: ABCD — ромб. АС = d₁; BD = d₂.

Довести:

Розв’язання. За умовою задано ромб. АС = d₁; BD = d₂. За властивістю ромба АС ⊥ BD, тоді ΔАОВ; ΔВОС; ΔCOD; ΔAOD — прямокутні. АО = ОС; BO = OD. За умовою

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔAOD за двома катетами, тоді

Відповідь:

921. Якщо d₁ = 12 CM, d₂ = 6 CM, тоді за формулою площі ромба

Відповідь: 36 CM².

922. Дано: ABCD — прямокутник. BD = 10 CM, BK = 3 CM. BK ⊥ AC.

Знайти: S_ABC, S_ABCD.

Розв’язання. За умовою заданo прямокутник ABCD, тоді за формулою S_ABCD = 2S_ABC. У прямокутника ABCD ΔABC = ΔCDA (за трьома сторонами ВС = AD, АВ = CD як сторони прямокутника, АС — спільна сторона).

(за умовою BK ⊥ АС). ВК = 3 CM, BD = 10 см. За властивістю у прямокутника діагоналі рівні, тоді АС = 10 см. S_ABCD = 2 ∙ 15 = 30 см².

Відповідь: 15 см²; 30 см².

923. Дано: ΔАВС, BD — висота, АС = 2BD. S_ABC = 16 см².

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, BD — висота, АС = 2BD, S_ABC = 16 см². Тоді за формулою Нехай BD = х см, тоді АС = 2х см. Тоді тоді BD = 4 см, АС = 8 см.

Відповідь: 8 см.

924. Дано: ΔАВС, BD — висота, BD = 4АС. S_ABC = 18 см².

Знайти: BD.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, BD — висота, BD = 4АС, S_ABC = 18 см². За формулою Нехай АС = х см, тоді BD = 4х см. Отже, АС = 3 см, BD = 4 ∙ 3 = 12 см.

Відповідь: 12 см.

925. Дано: ΔABC. S_ABC = 12 CM², T. D ∈ AC; AD : DC = 1 : 2.

Знайти: S_ABD, S_DBC.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, тоді за формулою S_ABC = S_ABD + S_BDC. Опустимо висоту ВК, тоді За умовою AD : DC = 1 : 2. АС = AD + DC, тоді Тоді

Відповідь: 4 см²; 8 см².

926. Дано: ΔАВС, S_ABC = 20 см², т. К ∈ АВ, АК : КВ = 1 : 3.

Знайти: S_ACK, S_CKB.

Розв'язання. За умовою задано ΔАВС, т. К ∈ АВ, тоді S_ABC = S_ACK + S_CKB. За умовою АK : КВ = 1 : 3; тоді отже За умовою S_ABC = 20 см², тоді

Відповідь: S_ACK = 5 см²; S_CKB =15 см².

927. Дано: ABCD — трапеція. AD || BC.

Довести: S_ACD = S_ABD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, AD || BC. Опустимо висоти трапеції ВМ та СК. ВМ = СК. Тоді отже S_ACD = S_ABD. Доведено.

928. Дано: ΔАВС, АВ = BC, AD — висота. BD = 4 CM, DC = 1 см.

Знайти: S_ABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, АВ = BC, AD — висота, тоді за формулою S_ABC = 1/2AD ∙ ВС; BC = BD + DC. За умовою BD = 4 см, DC = 1 см. Тоді ВС = 4 + 1 = 5 см.

У ΔABD, ∠ADB = 90°, з теореми Піфагора

Відповідь: 7,5 см².

929. Дано: ΔАВС, АВ = ВС. AD — висота, DC = 4 см, BD = 6 см.

Знайти: S_ΔАВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, AD — висота, тоді за формулою S_ABC = 1/2AD ∙ ВС; ВС = DC + BD. За умовою DC = 4 см, BD = 6 см, тоді BC = 4 + 6 = 10 см.

У ΔABD, ∠ADB = 90°, із теореми Піфагора АВ = ВС = 10 см, тоді Тоді

Відповідь: 40 см².

930. Дано: ΔABC, ∠ACB = 90°. АС = 6 CM, ВС = 8 CM, СК — висота.

Знайти: СК.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠ACB = 90°, тоді за формулою За умовою АС = 6 см, ВС = 8 см, тоді За теоремою Піфагора

Відповідь: 4,8 см.

931. Дано: ΔABC, ∠BCA = 90°, СК — висота, АС = 7 см, ВС = 24 см.

Знайти: СК.

Розв'язання. За умовою задано ΔАВС, ∠BCA = 90°, СК — висота, тоді За умовою АС = 7 см, ВС = 24 см. тоді за теоремою Піфагора

Відповідь: 6,72 см.

932. Дано: ΔАВС, ∠BCA = 90°, ВК = 9 см, АК = 6 см. Коло вписане.

Знайти: S_ABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠BCA = 90°, коло вписане у ΔАВС. За формулою Оскільки коло вписане у ΔАВС, то за властивістю дотичних АК = AN, ВК = ВМ, CN = СМ. За умовою ВК = 9 см, АК = 6 см. АВ = ВК + АК, АВ = 9 + 6 = 15 см. Нехай CN = МС = х см, тоді ВС = 9 + х см, АС = 6 + х см. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС², тоді

— не є розв’язком задачі. Тоді

Відповідь: 54 см².

933. Дано: ΔАВС, ∠ACB = 90°, коло вписане. CN = 3 см, NA = 5 см.

Знайти: S_ABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠ACB = 90° коло вписане у ΔАВС, тоді за властивістю дотичних АК = AN, CN = МС, ВК = ВМ. За умовою АК = 3 см, ВК = 5 см. АС = CN + NA, АС = 3 + 5 = 8. Нехай ВК = ВМ = x см, тоді АВ = x + 5 см; ВС = x + 3 см. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС², тоді (x + 5)² = (x + 3)² + 8²;

Відповідь: 60 см².

934. Якщо у ΔABC АС = 4 см, ВС = 6 см, то і де ВМ та АК — висоти трикутника ABC. Отже,

1) Якщо S_ABC = 11, то

2) Якщо S_ABC = 12, то то

3) Ні.

935. Дано: АВ, CD — відрізки. АВ ∩ CD = т. О. AO = ОВ, СО = 3 см, DO = 6 см.

Знайти:

Розв’язання. Зa умовою задано відрізки АС і CD, які перетинаються в точці О. АО = ОВ, СО = 3 см, DO = 6 см. Опустимо висоти СК та DM у ΔАСО та ΔBOD відповідно. Тоді або

(∠COK = ∠DOM як вертикальні), тоді тоді MD = 2СК. Маємо:

Відповідь: 1 : 2.

936. Дано: ΔАВС, MN — середня лінія.

Знайти:

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, MN — середня лінія. За властивістю тоді За відомим фактом де МР — висота ΔАМВ. Опустимо висоту СК ΔАВС. (∠B — спільний і вони обидва прямокутні), тоді оскільки MN — середня лінія ΔАВС, тоді MB = CM, СВ = 2MB. отже МР = 1/2СК. Значить, Тоді отже,

Відповідь: 1 : 4.

937. Дано: ABCD — квадрат. Коло вписане, т. D — центр кола. ON = r = 3 см.

Знайти: P_ABCD; S_ABCD.

Розв’язання. За умовою задано квадрат ABCD, тоді за формулою Р_АВСD = 4 ∙ АВ, S_ABCD = АВ². За умовою коло вписане у квадрат, тоді ON = 1/2АВ. За умовою ON = r = 3 см, тоді АВ = 2 ∙ 3 = 6 см; P_ABCD = 4 ∙ 6 = 24 см; S_ABCD = 6² = 36 см².

Відповідь: 36 см².

938. Дано: ABCD — прямокутник. ВМ — бісектриса, АС — діагональ. AM : МС = 1 : 2. P_ABCD = 48 см.

Знайти: S_ABCD.

Розв’язання. За умовою задано ABCD — прямокутник, тоді S_ABCD = АВ ∙ AD. За умовою ВМ — бісектриса, отже, за властивістю За умовою тоді і ВС = 2АВ.

P_ABCD = (AB + ВС) ∙ 2, за умовою P_ABCD = 48 см, тоді АВ + ВС = 24 см; АВ + 2АВ = 24; 3АВ = 24; АВ = 8 см. Тоді ВС = 2 ∙ 8 = 16 см, тоді S_ABCD = 16 ∙ 8 = 128 см².

Відповідь: 128 см².