Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 3

§ 18. Теорема Піфагора

Пояснення

Теорема Піфагора:

635. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АВ = 7 см, ВС = 5 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°, АВ = 7 см, ВС = 5 см. З теореми Піфагора За умовою АВ = 7 см, ВС = 5 см, маємо:

Відповідь: 2√6 см.

636. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АС = 2 см, ВС = 3 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, АС = 2 см, ВС = 3 см. Тоді за теоремою Піфагора

Відповідь: √10 см.

637. Дано: ABCD — прямокутник, АС — діагональ, АВ = 6 см, ВС = 8 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано прямокутник ABCD, АС — діагональ. Тоді ∠B = ∠BCD = ∠D = ∠BAD = 90°. Розглянемо ΔАВС. За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС². За умовою АВ = 6 см, ВС = 8 см.

Відповідь: 10 см.

638. Дано: ABCD — прямокутник, АС = 13 см, ВС = 12 см, АС — діагональ.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою задано прямокутник ABCD,

АС — діагональ. За означенням ∠A = ∠ABC = ∠D = ∠DAC = 90°. У ΔABC ∠B = 90°, з теореми Піфагора За умовою АС = 13 см, ВС = 12 см.

Відповідь: 5 см.

639. Дано: ΔАВС, АВ = ВС = 15 см, ВК = 12 см, ВК — висота.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, АВ = ВС. Оскільки ΔАВС — рівнобедрений, то за властивістю ВК є і медіаною, тому АК = КС і АС = 2 ∙ АК. У ΔАВК ∠AKB = 90° (ВК — висота за умовою), АВ =15 см, ВК = 12 см. Із теореми Піфагора Отже, АС = 9 ∙ 2 = 18 см.

Відповідь: 18 см.

640. Дано: ΔАВС, BD — висота, АВ = ВС, BD = 15 см, АС = 16 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою у ΔАВС АВ = ВС, BD — висота, тоді BD є і медіаною, отже, AD = DC = 1/2АС. За умовою АС = 16 см, тоді AD = 1/2 ∙ 16 = 8 см. У ΔАВD ∠ADB = 90°, BD = 15 см. Із теореми Піфагора

Відповідь: 17 см.

641. Дано: ABCD — ромб, АС, BD — діагоналі, АС = 24 см, BD = 70 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою задано ромб ABCD, за властивістю BD ⊥ АС (АС і BD — діагоналі), ВО = OD та АО = ОС. У ΔABO ∠BOA = 90°, АО = 1/2АС, ВО = 1/2BD. За умовою АС = 24 см, BD = 70 см, тоді АО = 12 см, ВО = 35 см. За теоремою Піфагора АВ² = АО² + ВО²; АВ² = 12² + 35²; АВ = √1369 = 37 см.

Відповідь: 37 см.

642. Дано: ABCD — ромб, АС і BD — діагоналі, АС = 10 см, АВ = 13 см.

Знайти: BD.

Розв’язання. За умовою задано ромб ABCD, АВ і BD — діагоналі, тоді за властивістю АС ⊥ BD, АО = ОС, ВО = OD. У ΔABD ∠ADB = 90°, АО = 1/2АС, ВО = 1/2BD. За умовою АС = 10 см, тодi АО = 5 см, AB = 13 см. Iз теореми Піфагора тодi BD = 2 ∙ 12 = 24 см.

Відповідь: 24 см.

643. Дано: ABCD — квадрат, АС — діагональ, АС = 3√2 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою задано квадрат ABCD, тоді АВ = ВС = CD = AD, ∠B = ∠BCD = ∠D = ∠BAD = 90°. AC — діагональ. Розглянемо ΔABC, AC = 3√2 CM, ∠B = 90°. Нехай АВ = BC = x CM. За теоремою Піфагора АВ² + ВС² = АС²; х² + х² = (3√2)²; 2X² = 18; x² = 9; х = 3. Отже, АВ = 3 см.

Відповідь: 3 см.

644. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АС = 7 см, ВС = 8 см. АК — медіана.

Знайти: АК.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°, АК — медіана, отже, ВK = KС. У ΔАКС ∠ACK = 90°, АС = 7 см, КС = 1/2ВС. За умовою ВС = 8 см, КС = 1/2 ∙ 8 = 4 см. За теоремою Піфагора АК² = АС² + КС², тоді

Відповідь: √65 см.

645. Аналогічно № 644.

Відповідь: 3√10 см.

646. Дано: коло, т. О — центр, АВ — дотична, ВО = 2 см, АВ = 7 см.

Знайти: АО.

Розв’язання. За умовою задано коло з центром в точці О, АВ — дотична. Тоді за властивістю ОВ ⊥ АВ. У ΔАОВ ∠OBA = 90°, ВО = 2 см, АВ = 7 см. За теоремою Піфагора

Відповідь: √53 см. .

647. Дано: коло, т. О — центр, МР — дотична, ОР = 3 см, ОМ = 6 см.

Знайти: РМ.

Розв’язання. За умовою задано коло з центром в точці О, МР — дотична. Тоді за властивістю РО ⊥ РМ, ∠OPM = 90°. У ΔРМО ОР = 3 см, ОМ = 6 см. Із теореми Піфагора

Відповідь: 3√3 см. _

648. 1) Якщо с² = а² + b², то трикутник прямокутний, оскільки с > а, с > b. а = 14, b = 20, с = 25. 25² = 15² + 20²; 625 = 225 + 400; 625 = 625, отже, трикутник — прямокутний.

2) 6² = 4² + 5²; 36 = 16 + 25; 36 = 41, отже, трикутник — не прямокутний.

649. 1) 9² = 5² + 6²; 81 = 25 + 36; 81 = 61, отже, трикутник — не прямокутний.

2) 34² = 16² + 30²; 1156 = 256 + 900; 1156 = 1156, отже, трикутник — прямокутний.

650. Дано: коло, т. О — центр, АВ — хорда, АВ = 10 см, ОА = 12 см, ОК ⊥ АВ.

Знайти: ОК.

Розв’язання. За умовою задано коло з центром в точці О, АВ — хорда, OK ⊥ АВ. У ΔАОВ ОВ = ОА = В, OK ⊥ АВ, отже, ОК — медіана ΔАОВ i Розглянемо ΔАОК: ∠ОКА = 90°, ОА = 13 см, АК = 5 см. Із теореми Піфагоpa

Відповідь: 12 см.

651. Дано: коло, т. О — центр, АВ — хорда, АВ = 16 см, ОК ⊥ АВ, ОК = 6 см.

Знайти: АО.

Розв’язання. Аналогічно № 652. У ΔАОК за теоремою Піфагора АО² = AК² + КО². За умовою АВ = 16 см, тоді

Відповідь: 10 см.

652. 1) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АС = 5 см, ВС = 6 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, АС = 5 см, ВС = 6 см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², маємо:

Відповідь: √61 см.

2) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АВ = 6 см, ВС = 5 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, АВ = 6 см, ВС = 5 см. Із теореми Піфагора маємо:

Відповідь: √11 см.

653. 1) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АС = 2 см, ВС = 5 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, АС = 2 см, ВС = 5 см. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС², маємо:

Відповідь: √29 см.

2) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АВ = 5 см, АС = 2 см.

Знайти: ВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, АВ = 5 см, АС = 2 см. Із теореми Піфагора маємо:

Відповідь: √21 см.

654. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АС : ВС = 7 : 24, АВ = 50 см.

Знайти: Р_ΔABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, тоді Р_ΔABC = АВ + ВС + АС. За умовою АВ = 50 см, АС : ВС = 7 : 24, тоді AС = 7х см, ВС = 24х см. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС², маємо 50²= (7x)² + (24х)²; 625х² = 2500; х² = 4; х = 2. Отже, АС = 7 ∙ 2 = 14 см, ВС = 24 ∙ 2 = 48 см. Р_ΔABC = 50 + 14 + 49 = 112 см.

Відповідь: 112 см.

655. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АС : АВ = 8 : 17, ВС = 30 см.

Знайти: Р_ΔABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, тоді Р_ΔABC = АВ + ВС + АС. За умовою ВС = 30 см, АС : АВ = 8 : 17, тоді АС = 8х см, АВ = 17х см. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС², маємо: (17х)² = 30² + (8х)²; 289х² = 900 + 64х²; 225х² = 900; х² = 4; х = 2. Тоді АС = 8 ∙ 2 = 17 см, АВ = 17 ∙ 2 = 34 см. Р_ΔABC = 30 + 16 + 34 = 80 см.

Відповідь: 80 см.

656. 1) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, CD = 5 CM, ВВ = 13 CM, AB = 11 CM.

Знайти: AB.

Розв’язання. Розглянемо ΔABC: ∠C = 90°, тоді за теоремою Піфагора AB² = ВС² + АС², АС = CD + AD, за умовою CD = 5 CM, AD = 11 см, тоді AC = 5 + 11 = 16 CM. Розглянемо ΔBCD: ∠C = 90°, BD = 13 CM. ІЗ теореми Піфагора маємо: Отже,

Відповідь: 20 см.

2) Дано: ∠BCA = ∠CAD = 90°, ∠ACB = 60°, АВ = 10 см, СВ = 6 см.

Знайти: CD.

Розв’язання. Розглянемо ΔАСВ: ∠ACD = 60°, ∠CAD = 90°, тоді ∠D = 90° - 60° = 30°, CD = 2 ∙ АС за властивістю. За умовою у ΔABC ∠ACB = 90°, АВ = 10 см, СВ = 6 см. Із теореми Піфагора маємо: Тоді СВ = 8 ∙ 2 = 16 см.

Відповідь: 16 см.

3) Дано: ∠C = ∠BAD = 90°, АС = 3 см, ВС = 1 см, AD = 2 см.

Знайти: BD.

Розв’язання. Розглянемо ΔBAD: ∠BAD = 90°, AD = 2 см, за теоремою Піфагора ВD² = ВА² + АD². У ΔBAC ∠C = 90°, ВС = 1 см, АС = 3 см, за теоремою Піфагора Тоді

Відповідь: √14 см.

4) Дано: ABCD — трапеція, ∠A = 90°, АD = 15 см, ВС = 10 см, АВ = 12 см, ВС || АD.

Знайти: CD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію АВСВ, ∠A = 90°. Опустимо висоту СК. Розглянемо ΔCKD, ∠CKD = 90°, СК = АВ = 12 см (як висоти трапеції АВСD). За теоремою Піфагора СD² = СК² + KD². За властивістю трапеції ВС = АК, СК = АD - АК, маємо: DK = 15 - 10 = 5 см. Тоді

Відповідь: 13 см.

657. 1) Дано: ΔABC, BD — висота, АВ = 10, ВС = 17, DС = 15.

Знайти: BD.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, BD — висота, значить, ∠BDC = ∠BDA = 90°. Розглянемо ΔАВD, АВ = 10, з теореми Піфагора У ΔВDС ∠BDC = 90°, ВС = 17, DС = 15. Із теореми Піфагора маємо: тоді

Відповідь: 6.

2) Дано: ∠C = ∠DBA = 60°, AC = 3, CB = 4, ∠DAB = 90°.

Знайти: AD.

Розв’язання. У ΔАBD ∠ABD = 90°, за умовою ∠DAB = 60°, отже, ∠ADB = 90° - 60° = 30°, AD = 2 ∙ AB. У ΔACB ∠C = 90°, за умовою АС = 3, СВ = 4, тоді АВ = 5 (ΔABC — єгипетський), значить, AD = 5 ∙ 2 = 10.

Відповідь: 10.

658. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АС = 6 см, СВ = АВ - 2.

Знайти: Р_ΔABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°, тоді Р_ΔABC = АВ + ВС + АС. За умовою АС = 6 см. Нехай СВ = х см, тодi АВ = (х + 2) см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС².

Отже, СВ = 8 см, АВ = 10 см. Р_ΔABC = 8 + 6 + 10 = 24 см.

Відповідь: 24 см.

659. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АС = 5 см, СВ = АВ - 1.

Знайти: Р_ΔABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90 , тоді Р_ΔABC = AB + BC + АС. За умовою АС = 5 см. Нехай СВ = x см, тоді АВ = (х + 1) см, тоді за теоремою Піфагора АВ² = АС² + СВ², маємо: (х + 1)² = 5² + х²; Отже, СВ = 12 см, АВ = 13 см. Р_ΔABC = 12 + 13 + 5 = 30 см.

Відповідь: 30 см.

660. Дано: ΔABC, ∠BAC — тупий, ВК — высота, ВК =15 см, ВС = 39 см, АВ = 17 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠BAC — тупий, ВК — висота, тоді АС = КC - AК. У ΔКВС ∠K = 90°, ВС = 39 см, ВК = 15 см, тодi за теоремою Піфагора маємо: У ΔАВК ∠K = 90°, АВ = 17 см, ВК = 15 см, з теореми Піфагора маємо: Отже, АС = 36 - 8 = 28 см.

Відповідь: 28 см.

661. Дано: ΔАВС, ∠BCA — тупий, ВК — висота, АВ = 20 см, ВС = 13 см, CK = 5 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠BCA — тупий, ВК - висота, тоді АС = АК - КС. За умовою КС = 5 см. Розглянемо ΔАKВ, ∠A = 90° (ВК - висота за умовою), АВ = 20 см, тоді з теореми Піфагора У ΔВСK ∠BKC = 90°, ВС = 13 см, CK = 5 см. Із теореми Піфагора маємо Тоді Отже, АС = 16 — 5 = 11 см.

Відповідь: 11 см.

662. Дано: ΔАВС, АВ = АС, СК = 5 см, СК — висота, АК = 12 см.

Знайти: СВ.

Розв'язання. За умовою задано ΔABC, АВ = АС, СК — висота, СК = 5 см, АК = 12 см.

У ΔACK ∠AKC = 90° (СК — висота), АК = 12 см, СК = 5 см. За теоремою Піфагора АС² = СК² + АК², маємо: тоді АВ = 13 см. КВ = АВ - АК, КВ = 13 - 12 = 1 см. У ΔСКВ ∠CKB = 90°. За теоремою Піфагора СВ² = СК² + КВ², маємо:

Відповідь: √26 см.

663. Дано: ΔАВС, АВ = ВС, АН — висота, ВН = 24 см, НС = 1 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, АВ = ВС, ВН = 24 см, НС = 1 см, тоді ВС = ВН + НС, ВС = 24 + 1 = 25 см. У ΔАНС ∠AHC = 90° (АН — висота), за теоремою Піфагора АС² = АН² + НС². У ΔАВН ∠AHB = 90°, АВ 25 см, ВН = 24 см. Із теореми Піфагора маємо: Тоді

Відповідь: 5√2 см.

664. Дано: ABCD — паралелограм, BD = 8 см, АС = 10 см. BD ⊥ АВ.

Знайти: АВ, ВС, CD, AD.

Розв’язання. За умовою задано ABCD — паралелограм, тоді АВ = CD, ВС = AD, BO = OD, АО = ОС, отже, ВО = 4 см, АО = 5 см (за умовою BD = 8 см, АС = 10 см). У ΔABO ∠OBA = 90° (BD ⊥ АВ за умовою), ВО = 4 см, АО = 5 см, тоді з теореми Піфагора тоді CD = 3 см. У ΔABD ∠ABD = 90°, АВ = 3 см, BD = 8 см. За теоремою Піфагора отже, ВС = √73 CM.

Відповідь: 3 см, √73 см, 3 см, √73 см.

665. Дано: ΔАВС, ∠ABC — тупий, АВ = ВС, АС = 70 см, коло описане навколо ΔABC, т. О — центр, ОВ = 37 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠ABC — тупий, АВ = ВС, АС = 70 см, коло описане навколо ΔАВС, ОВ = 37 см. Проведемо радіус ВО, за властивістю AM = МС (АС — січна кола), тоді ВМ ⊥АС. У ΔAMO ∠AMO = 90°, АО — радіус кола, тоді АО = 37 см, AM = 1/2АС, отже, AM = 1/2 ∙ 70 = 35 см. Із теореми Піфагора маємо: Оскільки ВО — радіус кола і ВМ = ВО — МО, ВМ = 37 - 12 = 25 см. У ΔАМВ ∠AMB = 90°, за теоремою Піфагора АВ² = AM² + MB², маємо:

Відповідь: 5√74 см.

666. Дано: ААВС, АВ = ВС, коло описане, т. О — центр, ВК — висота, ВК = 18 см, ОВ = 13 см.

Знайти: ВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, АВ = ВС, ВК — висота, коло з центром в точці О описане навколо ΔАВС. Розглянемо ΔВКС, ∠ВКС = 90°, за теоремою Піфагора ВС² = ВК² + КС². За умовою ВК = 18 см. Проведемо радіуси ОА і ОС та розглянемо ΔОКС, ∠ОКС = 90°, ОС = 13 см, ОК = ВК - BO, ОК = 18 - 13 = 5 см. Із теореми Піфагора тоді

Відповідь: 6√13 см.

667. Для того щоб побудувати відрізок, довжина якого √13 см, треба побудувати прямокутний трикутник з катетами а = 3 см і b = 2 см. За теоремою Піфагора гіпотенуза

668. Аналогічно № 667.

669. Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АК — бісектриса, ВК = 26 см, СK = 10 см.

Знайти: Р_ΔАВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠С = 90°, тоді Р_ΔАВС = ВС + АС + АВ. ВС = ВК + КС; ВС = 26 + 10 = 36 см (ВК = 26 см, СК = 10 см за умовою). Оскільки АК — бісектриса ΔАВС, маємо: тоді і Нехай АС — х см, тоді За теоремою Піфагора отже, АС = 15 см, тоді

Р_ΔАВС = 39 + 15 + 36 = 90 см.

Відповідь: 90 см.

670. Дано: ΔАВС, ∠АСВ = 90°, СК — бісектриса, КВ = 15 см, АК = 20 см.

Знайти: Р_ΔАВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠АСВ = 90°, тоді Р_ΔАВС= АВ + ВС + АС. АВ = АК + КВ. За умовою КВ = 15 см, АК = 20 см. Отже, АВ = 15 + 20 = 35 см. За умовою СК — бісектриса ΔАВС, за властивістю Нехай АС = х см, тоді За теоремою Піфагора АВ² = АС² + СВ², маємо: Отже,

Відповідь: 84 см.

671. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, коло вписане, т. О — центр, КС = 2 см, ВК = 10 см.

Знайти: Р_ΔАВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°, тоді Р_ΔАВС = АВ + ВС + АС, ВС = ВК + KС. За умовою ВК = 10 см, КС = 2 см, тоді ВС = 10 + 2 = 12 см. Оскільки коло з центром в т. О вписане в ΔABC, то за властивістю дотичних ВК = ВМ = 10 см. AM = AN, CN = КС = 2 см. Нехай AN = АМ = х см, тоді АС = (2 + x) см, АВ = (10 + х) см. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС². (10 + х)² = 12² + (х + 2)²; Отже, АС = 2 + 3 = 5 см, АВ = 10 + 3 = 13 см. Тоді Р_ΔАВС = 12 + 13 + 5 = 30 см.

Відповідь: 30 см.

672. Дано: ABCD — трапеція, ВD ⊥ АС, ВВ = 6 см, АС = 8 см, NM — середня лінія.

Знайти: MN.

Розв’язання. За умовою задано трапецію АВСВ, MN — середня лінія, за теоремою Проведемо через вершину D DF || АС (DF ∩ ВС = т. F), тоді ACFD — паралелограм, ВС || АD як основи трапеції і CF = AD, АС = DF, ∠BDF = ∠BKC (як відповідні кути, АС || DF, BD — січна). За умовою АС ⊥ ВD, отже, ∠BKC = 90°, значить ∠BDF = 90°. Тоді у ΔBDF за теоремою Піфагора BF² = BD² + DF². За умовою ВD = 6 см, DF = 8 см. Оскільки BF = ВС + CF = ВС + AF, тоді MN = 10/2 = 5

Відповідь: 5 см.

673. Дано: ABCD — трапеція, коло вписане, АВ = CD, ВС = а, АВ = b, BF — висота.

Довести:

За умовою задано рівнобедрену трапецію ABCD (АВ = CD), в яку вписане коло, значить, ВС + АD = АВ + CD. Тоді 2АВ = а + b, отже, У ΔABF ∠AFB = 90°, за властивістю рівнобедреної трапеції Із теореми Піфагора

Доведено.

674. Дано: ΔАВС, АВ = ВС, AM —бісектриса, ВК — висота, АВ : АС = 5 : 8, ВО - ОК = 3 см.

Знайти: Р_ΔАВС.

Розв’язання. За умовою задано рівнобедрений ΔABC (АВ = ВС), тоді Р_ΔАВС = 2АВ + АС. За умовою AM — бісектриса ΔАВС, тоді АО — бісектриса ΔАВK. Маємо: Нехай ОК = х см, тоді ВО = (x + 3) см. За умовою ВК — висота ΔABC, значить, ВК — медіана і бісектриса, тоді АК = 1/2АС. Оскільки тоді AB = 5/8АС. Маємо: х = 12. Тоді OK = 12 см, ОB = 15 см, а ВК = BO + OK, ВК = 12 + 15 = 27 см. У ΔАВК ∠BKA = 90°, за теоремою Піфагора АВ² = ВК² + АК². Оскільки тоді Маємо: Отже,

Відповідь: 162 см.

675. Дано: ΔАВС, АВ = ВС, AM — бісектриса, ВК — висота, АВ = АС - 5 см, ВО : ОК = 5 : 3.

Знайти: Р_ΔАВС.

Розв’язання. За умовою задано рівнобедрений ΔАВС (АВ = ВС), AM — бісектриса ΔABC, отже, АО — бісектриса ΔАВК, тоді За умовою ВО : ОК = 5 : 3, отже, За умовою АВ = АС - 5. Нехай АС = х см, тоді АВ = (х - 5) см. Оскільки ВК — висота, отже ВК — медіана, тоді маємо: х = 30. Отже,

Відповідь: 80 см.

676. Дано: ΔАВС, ∠ACB = 90°, ∠A = 30°, СВ + АВ = 18 см, СМ — медіана.

Знайти: СМ.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠ACB = 90°, ∠A = 30°, СВ + АВ = 18 см, СМ — медіана. За властивістю СВ = 1/2АВ (як катет, що лежить навпроти кута в 30°). Нехай СВ = х см, тоді АВ = 2х см. Маємо: х + 2х = 18; 3х = 18; х = 6. Тоді СВ = 6 см, АВ = 6 ∙ 2 = 12 см. За властивістю медіани прямокутного трикутника СМ = 1/2АВ, отже, СМ = 6 см.

Відповідь: 6 см.

677. Дано: ABCD — ромб, коло вписане, т. О — центр, ОМ = r = 3 см, ВМ = 9 см.

Знайти: Р_АВСD.

Розв’язання. За умовою задано ромб ABCD, коло з центром в т. О вписане у ромб. ОМ = r = 3 см, ВМ = 9 см. Р_АВСD = 4 ∙ АВ. Оскільки коло вписане у ромб ABCD, ОМ — радіус кола, тоді ОМ ⊥ ВС. Розглянемо ΔВОМ, ∠OMB = 90°, ОМ = 3 см, ВМ = 9 см. За теоремою Піфагора ВО² = ВМ² + ОМ², маємо: У ΔВОC ∠BOC = 90° (за властивістю діагоналей ромба), отже, ВО² = ВМ ∙ ВС, тоді

Відповідь: 40 см.

Треба побудувати пряму a ⊥ m, a ∩ m = т. М, від т. М відкласти відрізки МА = 2 см, MB = 3 см.

680. 3) ВМ > ВК.

Треба побудувати пряму b ⊥ а, а ∩ b = т. В, відкласти відрізок ВА = 2 см. Через т. А провести пряму с || а.