Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 1. Чотирикутники

§ 1. Чотирикутник, його елементи, сума кутів чотирикутника

Пояснення

Чотирикутник — фігура, що складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають.

А, В, С, D — вершини; АВ і CD, ВС і AD — протилежні сторони; АВ і ВС, ВС і AD, CD і AD, АВ і AD — сусідні сторони; АС і BD — діагоналі; ∠A і ∠C, ∠B і ∠D — протилежні кути; ∠A і ∠B, ∠B і ∠C, ∠C і ∠D, ∠A і ∠D - сусідні кути.

Опуклий чотирикутник — чотирикутник, у якого всі кути менші від 180°.

Неопуклий Чотирикутник — чотирикутник, у якого є кут, більший за розгорнутий.

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

1. Опуклі: EGOR; неопуклі: KFTL.

2. Протилежні сторони: FG і ОR; GO і FR.

Сусідні сторони: FG і GO; GO і OR; OR і ER; ER і EG.

Сусідні вершини: Е і G; G і О; О і R; R і Е; Е і G.

Протилежні вершини: Е і О; G і R.

3. Протилежні сторони: LM і NK; MN і LK.

Сусідні сторони: LM і MN; MN і NK; NK і LK; LK і LM.

Протилежні вершини: L і N; М і К.

Сусідні вершини: L і М; М і К; N і К; К і L.

LM і МК — діагоналі.

5. 1) 80° + 90° + 100° + 110° = 380° ≠ 360° — не існує;

2) 150° + 60° + 70° + 80° = 360° — існує. .

6. 1) 120° + 80° + 90° + 70° = 360° — так;

2) 130° + 110° + 80° + 50° = 370 — ні.

7. 1) (360° - (150° +. 110° + 80°) = 20° — опуклий;

2) 30° - (80° + 60° + 30°) = 190° — неопуклий.

8. 1) 360° - (20° + 70° + 80°) = 190° — неопуклий;

2) 360° - (120° + 50° + 40°) = 150° — опуклий.

9. Р = 32 мм + 2,5 см + 0,4 дм + 0,07 м = 3,2 см + 2,5 см + 4 см + 7 см = 16,7 см.

10. Р = 0,08 м + 0,7 дм + 6,3 см + 54 мм = 8 см + 7 см + 6,3 см + 5,4 см = 26,7 см.

11. 1) Ні; 2) так; 3) ні.

12. α = (360° - 120°) : 3 = 80°.

13. х = (60 - 24) ; 3 = 12 (см).

14. Дано: ABCD — чотирикутник, ВС = CD, ∠ACB = ∠ACD.

Довести: ∠B = ∠D.

Доведення. Розглянемо ΔАВС і ΔADC; за умовою ВС = CD, ∠ACB = ∠ACD, АС — спільна. ΔАВС = ΔADC за двома сторонами і кутом між ними. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠B = ∠D.

15. Дано: ABCD — чотирикутник, ∠BAC = ∠DCA, ∠BCA = ∠DAC.

Довести: АВ = CD.

Доведення. Розглянемо ΔАВС і ΔCDA. За умовою ∠BAC = ∠DCA, ∠BCA = ∠DAC, АС — спільна. ΔABC = ΔCDA за стороною і двома прилеглими кутами. У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому АВ = CD.

16. Дано: ABCD — чотирикутник, АВ : ВС : CD : AD = 4, P_ABCD = 65 см.

Знайти: АВ, ВС, CD, AD.

Розв’язання. Нехай коефіцієнт пропорційності х, тоді АВ = 4х см, ВС = 5х см, CD = 8х см, AD = 9х см. Р = 4х + 5х + 8х + 9х = 65 см; 26х = 65; х = 2,5. АВ = 4 ∙ 2,5 = 10 см; ВС = 5 ∙ 2,5 = 12,5 см; CD = 8 ∙ 2,5 = 20 см;

AD = 9 ∙ 2,5 = 22,5 см.

Відповідь: 10; 12,5; 20; 22,5.

17. Дано: ABCD — чотирикутник, ∠A : ∠B : ∠C : ∠D = 4 : 5 : 7: 8.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

Нехай коефіцієнт пропорційності х, тоді ∠A = (4х)°, ∠B = (5х)°, ∠C = (7х)°, ∠D = (8х)°.

4х + 5х + 7х + 8х = 360; 24х = 360; х = 360 ; 24; х = 15.

∠A = 4 ∙ 15° = 60°, ∠B = 5 ∙ 15° = 75°, ∠C = 7 ∙ 15° = 105°, ∠D = 8 ∙ 15° = 120°.

Відповідь: 60, 75°, 105°, 120°.

18. Дано: ABCD — чотирикутник,

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. Сума кутів чотирикутника 360°. Нехай коефіцієнт пропорційності х, тоді

Відповідь: 105°, 75°, 90°.

19. Дано: ABCD — чотирикутник, Р_АВСD = 54 см, АВ = 18 см, ВС : CD = 7 : 3,

Знайти: ВС, CD, AD.

Розв’язання. Нехай коефіцієнт пропорційності х, тоді ВС = 7х см,

Відповідь: 21 см, 9 см, 6 см.

20. Доведення. Сума кутів чотирикутника 360°. Якщо у чотирикутнику не буде кута, не більшого за 90°, то сума його кутів буде більшою, ніж 360°.

21. Доведення. Якщо у чотирикутника не буде кута, не меншого від 90°, то сума кутів чотирикутника не буде дорівнювати 360°.

22. Не може, тому що тоді сума кутів чотирикутника не дорівнюватиме 360°.

23. Дано: АВ = ВС = 6 см, CD = 3 см, AD = 4 см, ∠B = 50°.

Побудувати: чотирикутник ABCD.

Побудова:

1) Пряма l.

2) А ∈ l.

3) АВ = 6 см, АВ ∈ l.

4) ∠B = 50°.

5) Коло (В; R = ВС = 6 см).

6) Точка С — точка перетину кола і сторони ВС ∠B.

7) Коло (С; В = DC).

8) Коло (А; В = AD).

9) Точка перетину кіл — т. D.

10) ABCD — шуканий чотирикутник.

24. Дано: АВ = ВС = 5 см, CD = 4 см, AD = 3 см, ∠B = 70°.

Побудувати: чотирикутник ABCD.

Побудова:

1) Пряма l.

2) АВ ∈ l, АВ = 5 см.

3) ∠B = 70°.

4) Коло (В; В = ВС = 5 см).

5) С — точка перетину кола і сторони ВС ∠B.

6) Коло (С; В = CD).

7) Коло (А; В = AD).

8) Точка В — точка перетину кіл.

9) ABCD — шуканий чотирикутник.

25. Дано: АВ = ВС, AD = CD.

Довести: 1) ∠ABD = ∠CBB, ∠ADB = ∠CDB; 2) ВВ ⊥ АС.

Доведення. 1) д. п. АС і ВВ — діагоналі. Розглянемо ΔАВD і ΔСВD. АВ = ВС, АD = CD — за умовою, ВD — спільна, тому ΔАВD = ΔСВD за трьома сторонами. ∠ABD = ∠CBD, ∠ABD = ∠CBD як відповідні кути рівних елементів.

2) ΔABC і ΔADC — рівнобедрені, ВО — бісектриса цих трикутників, яка є медіаною і висотою, тому ВВ ⊥ АС.

26. Дано: P_ABCD = 29 см, Р_ΔADB = 20 см, Р_ΔCDB = 21 см.

Знайти: BD.

Розв’язання.

Відповідь: 6 см.

28. 1) Випадок: ∠A = ∠C = 70°, ∠B = 180° - 70° ∙ 2 = 40°.

2) Випадок:

29. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, ∠B = 60°, ВС + СМ = 10 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою ∠B = 60°, ∠C = 90°, тому ∠A = 30° (сума гострих кутів прямокутного трикутника 90°). Катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи, медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, тому ВС = СМ = 10 : 2 = 5 см. АВ = 10 см.

Відповідь: 10 см.

30. Внутрішні різносторонні: ∠KCD і ∠CDN, ∠LCD і ∠MDC.

Внутрішні односторонні: ∠LCD і ∠NDC, ∠KCD і ∠MDC.

Відповідні: ∠ACK і ∠MDC, ∠KCD і ∠MDC, ∠ACL і ∠CDN, ∠BDN і ∠DCL.

31.

32. Дано: AB = CD, ∠BAC = ∠ACD.

Довести: 1) ΔABC = ΔCDA; 2) BC = AD, ∠BCA = ∠CAD;

3) чи BC || AD — ?

Доведення. 1) За умовою AB = CD, ∠BAC = ∠ACD, AC — спільна. ΔABC = ΔCDA за двома сторонами і кутом між ними.

2) За доведеним вище ΔABC = ΔCDA, а у рівних трикутників відповідні сторони і кути рівні, тому BC = AD, ∠BCA = ∠CAD.

3) ∠BCA = ∠CAD — внутрішні різносторонні, тому ВС || AD.