Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Завдання для перевірки знань за курс алгебри 8 класу

Відповідь: 2.

8. Нехай власна швидкість човна дорівнює x км/год, тоді ШВИДКІСТЬ заі течією (x + 3) км/год, а швидкість проти течи (x - 3) км/год. Маємo:

х₁ = -0,6 — не задовольняє умову; х₂ =15 (км/год).

Відповідь; 15 км/год.

Графіком є гіпербола у = -8/x з виколотою точкою (4; -2).

або розв’язків немає.

Відповідь: -2 ± √6.

Задачі підвищеної складності

Раціональні вирази

1060. Довести, що

Розглянемо різницю

Скористаємося формулою куба суми, а саме

Перемножимо I, II і II, маємо:

тобто а = b = с або а²b²с² = 1.

Відповідь: якщо а ≠ 2, то x = 2; якщо а = 2, то рівняння не має коренів.

Відповідь: якщо а ≠ ±1, то x = а; якщо а = 1 або а = -1, то рівняння не має коренів.

Відповідь: якщо а ≠ 2, то x = а + 2; якщо а = 2, то х — будь-яке число.

Відповідь: якщо а ≠ ±1, то якщо а = 1, то ж — будь-яке число; якщо а = -1, то коренів немає.

Відповідь: якщо a ≠ 0, то x = a.

Відповідь: якщо a ≠ -b, b ≠ 0, TO якщо a = -b, b ≠ 0, то коренів немає.

Відповідь: якщо a ≠ 0, то x = 2a/3.

Відповідь: якщо а ≠ 0, то x = 6a; якщо a = 0, то коренів немає.

1071. Припустимо, що де 0 ≤ х < 10, 0 ≤ у < 10.

Квадратні корені. Дійсні числа

Відповідь: а ≥ -3, то х = (а + 3)²; якщо а < -3, то коренів немає.

Відповідь: якщо а ≠ 0, то х = 1; якщо a = 0, то х ≥ 0.

Відповідь: якщо a = -3, то x ≥ -2; якщо a ≥ 3, то х = a² - 6a + 7, якщо а < -3, |а| > 3, то коренів немає.

1079. Числа є взаємно оберненими, якщо їх добуток дорівнює 1, отже

Якщо a > 2, то √a; якщо 0 < a < 2, то -√a.

Якщо -2 < х < 0, х > 2, то

Якщо x ≤ -2, 0 < х ≤ 2, то

Відповідь: 6.

Квадратні рівняння

1087. Рівняння має один корінь, якщо воно лінійне (коефіцієнт при x² дорівнює 0) або його 0 = 0. Отже,

Відповідь: -4; -3.

Якщо а - 4 = 0, а = 4, то маємо рівняння яке не має коренів, отже

- не задовольняє умову;

Відповідь: 19.

при будь-якому значенні а.

Якщо а = 1, маємо:

Якщо a = 3, то

Відповідь: якщо а = 1 або а = 3, то х = -1/2; якщо а ≠ 1, а ≠ 3, то

Якщо а = -1, маємо

Якщо а = -1/3,

Відповідь: якщо а = -1 або а = -1/3, то х = - 1; якщо а ≠ -1, а ≠ -1/3, то

Оскільки то якщо

Відповідь: -1.

Оскільки то

Відповідь: 2.

Оскільки то

Оскільки спільних коренів немає, то рівняння не має розв’язків.

Відповідь: коренів немає.

1090. ах² + bх + с = 0. Припустимо, що D = b² - 4ас = 3, тоді b = 4ас + 3.

4ас + 3 — непарне, тоді b — теж непарне, маємо: b = 2n + 1.

а це неможливо, отже наше припущення було хибним.

За теоремою Вієта маємо:

Вираз (а + 1)² + 9 буде найменшим, якщо а + 1 = 0, а = -1.

Відповідь: -1.

1092. х² + (b + 1)х + b² - 1,5 = 0. За теоремою Вієта маємо: тоді

Вираз -(b - 1)² + 5 буде найбільшим, якщо b - 1 = 0, b = 1.

Відповідь: 1.

За теоремою Вієта маємо:

за умовою, отже a + b = 18; a = 12.

Відповідь: 12.

1094. 2x² + 7x - 1 = 0. За теоремою Вієта маємо: — корені нового квадратного рівняння.

Маємо: х² - 7х - 2 = 0.

Маємо:

Маємо:

Якщо а, b і с — сторони трикутника, то за нерівністю трикутника повинні виконуватись нерівності:

Маємо

Отже, D < 0 і рівняння не має коренів.

За теоремою Вієта маємо:

— не залежить від значення а.

Відповідь: 1; 2; -3.

Відповідь:

Відповідь: -1; 3 ± √3.

або х² + х + 1 = 0; D = 1- 4 < 0; коренів немає.

Відповідь:

Якщо а = 1, то 0 ∙ х = 0 - х — будь-яке число;

якщо а = -2, то 0 ∙ х = -3 — коренів немає;

якщо a ≠ 1, a ≠ -2, то

Якщо о = 1, то х = 4; якщо a = 4, то х = 1; якщо а ≠ 1, a ≠ 4, то х₁ = 1, х₂ = 4.

Якщо a = 3 або a = 1, то коренів немає; якщо а ≠ 3, a ≠ 1, то х = a.

Якщо а = 1, то x = 4; якщо а ≠ 1, то x₁ = 3а, х₂ = 4.

Якщо а = 0, то x — будь-яке число, крім -7; якщо а = -7, то коренів немає; якщо а ≠ 0, а ≠ -7, то x = а.

Якщо а = 1 або а = -1, то х = 0; якщо

Рівняння має один корінь, якщо D чисельника дорівнює 0 або один із коренів чисельника співпадає з коренем знаменника (x = -1).

Маємо: D = а² - 4 ∙ 9 = а² - 36 = 0; а = ±6.

Якщо x = -1, то (-1)² - а + 9 = 0; а = 10.

Відповідь: ±6; 10.

Відповідь: ±9.

1101. 4x + 36x + (а + b). Тричлен є повним квадратом, якщо його D = 0. Маємо:

Відповідь: а = 42; b = 39.

Якщо a = 1, то x = -1. Якщо а = -2, то х = 1/3.

Якщо

Отже, маємо: Якщо а = 1, то

Якщо

Якщо а = -1/4, то х = -1.

Якщо а = -9/4, то х = -1.

Якщо

Відповідь:

Нехай тоді

або розв’язків немає.

Нехай тоді

розв’язків немає.

Відповідь: ±4.

Відповідь:

Якщо х ≥ 1, то але не задовольняє умову х ≥ 1.

Якщо х < 1, то

але не задовольняє умову x < 1.

Відповідь:

Тому графіком є дві прямі.

Нехай тоді

Відповідь: 5; 3/5.

Нехай тоді

Відповідь:

Нехай тоді

Відповідь: 2; 0,5.

Нехай тоді маємо:

або

Відповідь: -3 ± √5; 1 ± √7.

1109. Нехай яблук першого сорту було x кг, тоді другого сорту — (x + 5) кг. Маємо, що 1 кг яблук першого сорту коштував 456/x грн. Якщо всі яблука продати по одній ціні, то вона складатиме грн за 1 кг. Маємо:

— не задовольняє умову.

Отже, І сорту яблук було 40 кг, II — 45 кг, а всього 40 + 45 = 85 (кг).

Відповідь: 85 кг.

1110. Нехай х — шукане додатне ціле число, якщо до нього праворуч дописати цифру 7, отримаємо 10х + 7, відняти квадрат задуманого числа, отримаємо 10х — 7 - х². Якщо різницю зменшили на 75 %, то від неї залишилось 25 %. Маємо рівняння:

— не задовольняє умову.

Відповідь: 7.

1111. Нехай х км/год — швидкість мотоцикліста, а у год — час до моменту першої зустрічі велосипедиста і мотоцикліста, тоді до моменту зустрічі велосипедист проїхав 20(y + 2) км, а мотоцикліст — ху км. Маємо 20(у + 2) = ху; 20у + 40 = ху: ху - 20у = 40; До моменту другої зустрічі велосипедист проїхав км, а мотоцикліст — км, що разом складає дві відстані від А до В. Отже,

Підставимо замість

Відповідь: 52 км/год або км/год.

1112. Нехай x км/год — швидкість мотоцикліста, а у год — час, через який після початку руху мотоцикліста він зустрів першого велосипедиста. Розглянемо два випадки:

1) Припустимо, що мотоцикліст спочатку зустрів велосипедиста, який рухався зі швидкістю 15 км/год, тоді цей велосипедист до моменту зустрічі проїхав 15(y + 1) км, а мотоцикліст — ху км.

Інший велосипедист, який рухався зі швидкістю 12 км/год, до моменту зустрічі проїхав км, а мотоцикліст — Маємо систему:

— не задовольняє умову;

2) Якщо припустити, що мотоцикліст спочатку зустрів велосипедиста, який рухався зі швидкістю 12 км/год, то матимемо систему рівнянь:

Але ця система не має розв’язків, які задовольняють умову х > 50 км/год.

Відповідь: 60 км/год.

1113. Нехай v₁ — швидкість першого, а v₂ — швидкість другого пішохода, тоді після зустрічі перший пройшов 0,8v₁ км, а другий — 1,25v₂ км, а час, який вони ишли до зустрічі — або Маємо:

Отже, час до зустрічі

Тому перший був у дорозі 1 + 0,8 = 1,8 (год), а другий 1 + 1,25 = 2,25 (год).

Відповідь: 1,8 год, 2,25 год.

1114. Нехай через х год відстань між пішоходом і велосипедистом дорівнюватиме 1,25 км, тоді за цей час пішохід пройде 5х км, а велосипедист проїде 15x км, і кожен з них буде знаходитись від перехрестя на відстані (2 — 5x) км та (3,75 — 15x) км відповідно. Використовуючи теорему Піфагора, маємо:

Відповідь: 0,33 год або 0,2 год.

1115. Нехай Сергію потрібно x днів для того, щоб набрати рукопис самостійно, тоді Олегу для цього потрібно (x + 5) днів. За 1 день Сергій набирає 1/x частину рукопису, а Олег — Отже, працюючи разом, за 1 день вони набирають частину, тоді половину рукопису вони набирають за днів, а Сергій набирає половину за днів. Маємо рівняння:

— не задовольняє умову.

Отже, Сергію потрібно 10 днів, а Олегу — (10 + 5) = 15 днів.

Відповідь: Сергій за 10 днів, Олег за 15 днів.

1116. Нехай через перший кран резервуар молена заповнити за x хв, тоді через другий — за (x + 24) хв. Тому за 1 хв через перший кран наповнюється 1/x частина резервуару, а через другий — частина. Працюючи разом, за 1 хв вони наповнюють частину. Маємо рівняння:

x₁ = 60; х₂ = -10 — не задовольняє умову.

Отже, через перший кран резервуар наповнюється за 60 хв, а через другий — за 60 + 24 = 84 хв.

Відповідь: через перший за 60 хв, через другий за 84 хв.