Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 1. Раціональні вирази

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння

Пояснення

Рівносильними називають рівняння, які мають однакові корені.

Основні прийоми розв’язання рівнянь:

1) заміна одного виразу іншим, рівним йому:

2) перенесення доданків з однієї частини рівняння в іншу зі зміною знаку, на протилежний:

3) множення та ділення обох частин рівняння на один і той самий вираз (але нове рівняння може не бути рівносильним з попереднім): розділивши обидві частини на (х - 1), отримаємо х + 2 = 8.

Рівняння рівносильні.

Рівносильні.

Нерівносильні.

Дані рівняння рівносильні.

Обидва рівняння не мають коренів, тому вони рівносильні;

Для обох рівнянь будь-яке число є коренем, тому рівняння рівносильні.

(за основною властивістю пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів);

(не є коренем рівняння).

Відповідь: 0.

Скористаємось основною властивістю пропорції:

Відповідь: 4.

Відповідь: -3; 3.

209. Нехай х — число, яке віднімаємо від чисельника та знаменника.

Відповідь: 7.

210. Нехай х — число, яке треба додати до чисельника та знаменника, х ≠ -32.

Відповідь: 10.

Пояснення

Задачі на рух можна розв’язувати за допомогою таблиці, в неї вносяться дані умови, за якими складається рівняння.

Постійними у цій таблиці є стовпчики s (км); v (км/год); t (год.).

Якщо в умові задачі є згадка про швидкість течії, треба запам’ятати, що вона впливає на швидкість човна (або іншого об’єкта за умовою). Якщо човен іде за течією, то його власна швидкість додається до швидкісті течії:

Якщо ж човен іде проти течії, то від власної швидкості човна віднімається швидкості течії:

Якщо сказано, що човен рухається по озеру, то він рухається із власною швидкістю:

Якщо по річці рухається пліт, то він може рухатися тільки за течією, тому його швидкість дорівнює течії:

214.

Нехай х км/год — швидкість течії річки, тоді (18 + х) км/год швидкість човна за течією. Шлях за течією човен пройшов за Швидкість човна проти течії річки (18 - х) км/год, і шлях проти течії човен пройшов за На шлях за течією та зворотній шлях витрачено що за умовою дорівнює Складаємо рівняння

Корінь рівняння -2 не задовольняє умову задачі, отже швидкість течії 2 км/год.

Відповідь: 2 км/год.

215.

Нехай власна швидкість теплохода х км/год, тоді швидкість теплохода проти течії річки (х - 1) км/год, а час, витрачений на шлях проти течії, Швидкість теплохода на зворотному шляху (х + 1) км/год, а час, витрачений на цей шлях, що менше, ніж на шлях проти течії, на За умовою це дорівнює Складаємо рівняння:

Корінь рівняння -29 не задовольняє умову задачі, отже власна швидкість катера 29 км/год.

Відповідь: 29 км/год.

216.

Нехай власна швидкість човна х км/год, тоді швидкість човна проти течії річки дорівнює (х - 3) км/год, а швидкість човна за течією (х + 3) км/год. На шлях проти течії витрачено а на шлях за течією - На весь шлях човен витратив що за умовою дорівнює 2 год. Складаємо рівняння:

Корінь рівняння 0 не задовольняє умову задачі, отже власна швидкість човна 9 км/год.

Відповідь: 9 км/год.

Якщо а ≠ 4, а ≠ -2, то х = а; якщо а = 4 або а = -2, то коренів немає.

Рівняння не має коренів при а = 2; а = -2.

Рівняння має один корінь при а = 0; а = -9; а = -3, рівняння має два корені х₁ = а, х₂ = 3а при а ≠ 0, а ≠ -9, а ≠ -3.

222. На кінець року населення становить 103% порівняно з початком року, коли населення становило 100%.

72 100 : 103 ∙ 100 = 70 000 мешканців.

223.

Нехай фактична швидкість електропоїзда х км/год, тоді після збільшення його швидкість дорівнює (х + 10) км/год. За електропоїзд проходить шлях а при збільшенні швидкості ця відстань дорівнює Складаємо рівняння: отже швидкість електропоїзда 80 км/год, а відстань між станціями

Відповідь: 60 км.

230. Нехай таке число можна записати у вигляді 2^х ∙ 3^y. Після множення на 2 одержуємо квадрат числа, тобто показники степеня парні. 2^x+1 ∙ 3^у має парні показники степеня. Після множення на 3 одержуємо куб числа, тобто показники степеня числа 2^х ∙ 3^у+1 кратні 3. При х = 3, у = 2 одержуємо число 72. 72 ∙ 2 = 144 = 12²; 72 ∙ 3 = 216 = б³. Таких чисел можна скласти безліч.