Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 2. Квадратні корені. Дійсні числа

19. Формула коренів квадратного рівняння

Дискримінант показує, скільки коренів має повне квадратне рівняння.

два корені;

коренів немає;

два корені;

один корінь.

коренів немає;

два корені;

один корінь;

коренів немає.

Відповідь: друге рівняння.

633. Рівняння не має коренів, якщо D < 0:

два корені;

коренів немає;

два корені;

один корінь.

Відповідь: друге рівняння.

Відповідь: 1; 3.

Відповідь: -3; 1.

Відповідь: -4; 1.

Відповідь: -3; 7.

Відповідь: -8; 7.

Відповідь: -1; 7.

Відповідь: 2; 6.

Відповідь: -6; -1.

Відповідь: -5; 11.

Відповідь: -1/2; 2.

Відповідь: -1,5; 2.

Відповідь:

Відповідь: -3/10; 1.

Відповідь: 0,4; 1.

Відповідь: -1; -1/6.

Відповідь: 1/3; 3.

Відповідь: -2/3; 3.

Відповідь: 2 + √3; 2 - √3.

Відповідь:

коренів немає.

Відповідь: коренів немає.

Відповідь: 1; 2.

Відповідь: -13; 1.

Відповідь: 2; 5.

Відповідь: -8; 9.

Відповідь: 1/2; 2.

Відповідь: -1/2; 4.

Відповідь: -1/4; 1.

Відповідь: -2,5; 3.

Відповідь:

Відповідь: -1/3; 5/6.

коренів немає.

Відповідь: коренів немає.

Відповідь:

Відповідь:

Відповідь: 1; 9.

Відповідь:

Відповідь: -7/6; 2.

Відповідь: -3; 1/7.

Відповідь: -3,5; 4.

Відповідь: -1/25; 1.

Відповідь: 4/3; 2.

Відповідь:

Відповідь: 3; 6.

Відповідь:

Відповідь: 3; 9.

Відповідь:

коренів немає.

Відповідь: коренів немає.

640. Нехай маємо натуральне число х, його квадрат — х². Квадрат числа на 42 більший за дане число. Маємо рівняння:

-6 не є натуральним числом.

Відповідь: 7.

641. Нехай довжина прямокутника х см, а ширина — (х - 9) см. Площа прямокутника х(х - 9) см², а за умовою задачі 70 см². Маємо рівняння: х(х - 9) = 70;

не задовольняє умову задачі.

1) 14 - 9 = 5 (см) — друга сторона;

2) Р = 2 ∙ (14 + 5) = 38 (см).

Відповідь: периметр 38 см.

642. Нехай дане з чисел х, а друге — (х + 8). Добуток цих чисел х(х + 8), за умовою задачі 84. Маємо рівняння: х(х + 8) = 84; х² + 8х - 84 = 0;

Якщо одне число 6, то друге — 6 + 8 = 14.

Якщо одне число -14, то друге — -14 + 8 = -6.

Відповідь: 6 і 14; -14 і -6.

643. Нехай одне з послідовних натуральних чисел х, а друге — (х + 1). Їх добуток х(х + 1), а сума — (х + х + 1) або (2х + 1). Добуток більший за суму на 89, маємо рівняння: х(х + 1) - (2х + 1) = 89.

не задовольняє умову задачі.

1) 10 + 1 = 11 — друге натуральне число.

Відповідь: 10 і 11.

644. Нехай одне з послідовних натуральних чисел х, а друге — (х + 1). Сума їх квадратів (х² + (х + 1)²), а за умовою задачі 365. Маємо рівняння:

-14 — не задовольняє умову задачі.

1) 13 + 1 = 14 — друге число.

Відповідь: 13 і 14.

Відповідь:

Відповідь: -1; √6.

Відповідь: -2/3; 6.

Відповідь: -1; 31/22.

Відповідь: -2√2; -√2.

Відповідь: √3; 2.

Відповідь: 1; 3/8.

647. x₁ = 1/4, підставимо в рівняння а²x² + 4ах - 5 = 0, значення кореня:

Відповідь: -20; 4.

648. x₁ = 2, підставимо в рівняння

Відповідь: -4/3; 1.

649. Нехай сторона квадрата х см, тоді його площа х² см². Відрізали прямокутник, площа якого 3х см². Площа решти листа (х² - 3х) см², а за умовою задачі 40 см². Маємо рівняння: х² - 3х = 40; х² - 3х — 40 = 0;

-5 — не задовольняє умову задачі.

Відповідь: 8 см.

650. Нехай ширина аркуша паперу х см, тоді його площа 18х см². Відрізали квадрат площею х² см². Площа решти (18х - х²) см², а за умовою задачі 72 см². Маємо рівняння:

Відповідь: 6 см або 12 см.

651. Нехай один катет х см, тоді другий — (х — 14) см. За теоремою Піфагора маємо рівняння: х² + (х - 14)² = 34².

Застосуємо формулу коренів для рівняння виду

-16 — не задовольняє умову задачі.

1) 30 - 14 = 16 (см) — другий катет.

Відповідь: 30 см і 16 см.

652. Нехай одна сторона прямокутника х см, тоді друга - (х + 31) см. За теоремою Піфагора маємо рівняння: х² + (х + 31)² = 41².

-40 — не задовольняє умову задачі.

1) 9 + 31 = 30 (см) — друга сторона прямокутника.

Відповідь: 9 см і 40 см.

653. Нехай перше непарне натуральние число х, тоді друге — (х + 2), а третє — (х + 4). Квадрат першого з них х², подвоєна сума другого і третього 2(х + 2 + х + 4) = 2(2х + 6). За умовоюзадачі квадрат першого числа на 33 більший за подвоєну суму другого і третього. Маємо рівняння: х²- 2(2х + 6) = 33.

-5 — не задовольняє умову задачі.

1) 9 + 2 = 11 — друге число;

2) 11 + 2 = 13 — третє число.

Відповідь: 9, 11, 13.

654. Нехай перше парне натуральне число х, тоді друге — (х + 2), третє — (х + 4), четверте — (х + 6). Сума першого і третього чисел (х + х + 4) = (2х + 4). Добуток другого і четверого чисел (х + 2)(х + 6). За умовою задачі сума менша від добутка у 5 разів. Маємо рівняння: (х + 2)(х + 6) = 5(2х + 4).

х² + 6х + 2х + 12 = 10х + 20; х² - 2х - 8 = 0. Застосуємо формулу коренів для рівняння виду

-2 — не задовольняє умову задачі.

1) 4 + 2 = 6 — друге число;

2) 4 + 4 = 8 — третє число;

3) 4 + 6 = 10 — четверте число.

Відповідь: 4, 6, 8, 10.

655. Нехай старший коефіцієнт і вільний член рівняння ах² + bх + с = 0 мають різні знаки. Знайдемо дискримінант цього рівняння.

отже рівняння має два корені. Доведено.

656. Нехай було х мавп, тоді в кущах грались На ліанах висіли 12 мавп. Маємо рівняння:

Відповідь: 16 мавп або 48 мавп.

657. Нехай у турнірі брало участь х команд, тоді кожна команда зіграла (х - 1) матч. Всього а за умовою задачі 236 матчів. Маємо рівняння

-8 — не задовольняє умову задачі.

Відповідь: 9 команд.

658. Нехай у многокутника х сторін, тоді з кожної вершини можна провести (х - 2) діагоналі. Всього у многокутнику можна провести а за умовою задачі 90 діагоналей. Маємо рівняння:

-12 — не задовольняє умову задачі.

Відповідь: 15 сторін.

Відповідь: -8; -7; 0; 1.

2) 5х² - 8|х| + 3 = 0.

При х ≥ 0 отримаємо рівняння 5х² - 8х + 3 = 0;

при х < 0 отримаємо рівняння

Відповідь: -1; -0,6; 0,6; 1.

3) х|х| + 6х - 5 = 0.

При х ≥ 0 отримаємо рівняння х² + 6х - 5 = 0;

-3 - √14 — не задовольняє умову х ≥ 0.

При х < 0 отримаємо рівняння -х² + 6х - 5 = 0; х² - 6х + 5 = 0; застосуємо формулу коренів для рівняння виду ах² + bх + с = 0,

числа 5 і 1 не задовольняють умову х < 0.

Відповідь: -3 + √14.

4)

При х > 0 отримаємо рівняння

число -6 не задовольняє умову х > 0.

При х < 0 отримаємо рівняння х² - 4х - 12 = 0;

число 6 не задовольняє умову х < 0.

Відповідь: -2; 2.

5)

При х ≥ 0 отримуємо рівняння

При х < 0 отримуємо рівняння х² + 8x + 15 = 0;

Відповідь: -5; -3; 3; 5.

6)

При х > 0 отримуємо рівняння

-6 не задовольняє умову х ≥ 0.

При х < 0 отримуємо рівняння

6 — не задовольняє умову x < 0.

Відповідь: -2; 2.

Відповідь: -12; -8; -2; 2.

2) x|x| + 12x - 45 = 0.

При x ≥ 0 отримуємо рівняння x² + 12x - 45 = 0;

-15 не задовольняє умову x ≥ 0.

При x < 0 отримуємо рівняння -x² + 12x - 45 = 0;

коренів немає.

Відповідь: 3.

3)

При x > 0 отримуємо рівняння

-1 не задовольняє умову x > 0;

при x < 0 отримуємо рівняння

Відповідь:

4)

При x ≥ 0 отримуємо рівняння

-1 — не задовольняє умову x ≥ 0;

при x < 0 отримуємо рівняння

1 — не задовольняє умову x < 0.

Відповідь: -9; 9.

661. 1) дане рівняння рівносильне системі звідси

Відповідь: -10.

2) дане рівняння рівносильне системі звідси -11 — не задовольняє умову х ≥ 0.

Відповідь: 3.

662. 1) дане рівняння рівносильне системі звідси

Відповідь: 1/6.

2) дане рівняння рівносильне системі звідси 5x² — 14x - 3 = 0,

-1/5 - не задовольняє умову х ≥ 0.

Відповідь: 3.

663. 1) 2x² + 4x - b = 0; дане рівняння є квадратним. Воно має єдиний корінь, якщо

Відповідь: b = -2.

2) 3x² — 6x + 12 = 0; дане рівняння є квадратним. Воно має єдиний корінь, якщо b = 12 або b = -12.

Відповідь: -12; 12.

664. 1) 6x² — 18x + 6 = 0; дане рівняння є квадратним. Воно має єдиний корінь, якщо

Відповідь: 13,5.

2) 8х² + bх + 2 = 0; дане рівняння є квадратним. Воно має єдиний корінь, якщо

Відповідь: -8; 8.

665. 1) 4x² - рх - 3 = 0; дане рівняння є квадратним. Воно має два корені, якщо при будь-якому значення р. Доведено.

2) x² + рх + р - 2 = 0; дане рівняння є квадратним. Воно має два корені, якщо (р - 2)² + 4 > 0 при будь-якому значенні р. Доведено.

666. 1) x² + mх + m² + 1 = 0; дане рівняння є квадратним. Воно не має коренів, якщо при будь-якому значенні т. Доведено.

2) x² + 2mx + 2m² + 9 = 0; дане рівняння є квадратним. Воно не має коренів, якщо -4m² - 36 < 0 при будь-якому значенні т. Доведено.

667. x² + bx + 7 = 0; дане рівняння є квадратним. Воно має два корені, якщо при будь-яких значеннях b. Доведено.

668. 1) х² + (3а + 1)х + 2а² + а = 0. Дане рівняння є квадратним. Знайдемо дискримінант.

Якщо а + 1 ≥ 0, а ≥ -1, то

якщо а + 1 < 0,а < -1, то

Відповідь: -2а - 1; -а.

2) x² - (2а + 4)x + 8а = 0. Дане рівняння є квадратним. Знайдемо дискримінант.

Якщо 2а - 4 ≥ 0, а ≥ 2, то

якщо 2а - 4 < 0, а < 2, то

Відповідь: 2а і 4.

3) а²x² - 24аx - 25 = 0; при а = 0 рівняння не є квадратним; при а ≠ 0 рівняння є квадратним. Знайдемо дискримінант.

Відповідь: якщо а = 0, то коренів немає; якщо а ≠ 0, то х = -1/a або х = 25/a.

Якщо а = 2, то

якщо а ≠ 2, то

якщо а = 1/2, то x = 1/3.

Відповідь: якщо а = 1/2, то х = 1/3; якщо а = 2, то x = 1/3; якщо а ≠ 1/2, а ≠ 2, то x = 1/3 або

Відповідь: x = 3a - 5 або x = -a.

Відповідь: x = 4 або x = -3a.

Якщо a = 0, рівняння не є квадратним, має вид -х + 1 = 0; х = 1;

якщо a ≠ 0, то

Відповідь: якщо а = 0, то х = 1; якщо а ≠ 0, то x = 1; х = 1/a.

670. 1) bх² — 6b - 7 = 0.

Якщо b = 0, то -6х -7 = 0; -6х =7; х = -7/6;

якщо b ≠ 0, рівняння має один корінь,

якщо

Відповідь: якщо b = 0 або b = -9/7.

2) (b + 5)х² - (b + 6)х + 3 = 0, якщо b = 0, то рівняння має вид -x + 3 = 0; x = 3;

якщо b ≠ 5, то рівняння має один корінь, якщо D = 0, b² - 24 = 0;

Відповідь: b = -5; b = 2√6 або b = -2√6.

3) (b - 4)х² + (2b - 8)х + 15 = 0, якщо b - 4 = 0, b = 4, рівняння має вид 15 = 0, отже коренів немає;

(b - 4)х² + 2(b - 4)х + 15 = 0, рівняння має один корінь, якщо D = 0,

Відповідь: b = 19.

671. 1) bх² + x + b = 0; якщо b = 0, то x = 0; якщо b ≠ 0, то D = 1² — 4b²; 1 — 4 ∙ b ∙ b = 1 — 4b², рівняння має один корінь, якщо D = 0, 1 — 4b² = 0;

(1 — 2b)(1 + 2b) = 0; b = 1/2 або b = -1/2.

Відповідь: b = 0; b = 1/2 або b = -1/2.

2) (b + 3)x² + (b + 1)x - 2 = 0, якщо b + 3 = 0, b = -3, то -2х - 2 = 0, х = -1; якщо b ≠ -4, то рівняння має корінь, якщо D = 0,

Відповідь: b = -5; b = -3.

Відповідь: 4; √17; 3√2.

675. Систематизуємо умову у вигляді таблиці.

Маємо систему рівнянь:

Розв’яжемо друге рівняння: 6 - 0,05у + 0,45у = 36; 0,4y = 30; у = 75.

x = 120 — 75 = 45;

Відповідь: 45 т і 75 т.

676. Кожна сторінка починається з парного числа. Остання сторінка з парним числом 42, 52 - 24 = 28, 28 : 2 = 14 (аркушів).

Відповідь: 14 аркушів.

Рівняння зведене квадратне і має вид

Рівняння зведене квадратне і має вид

678.