Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 2. Квадратні корені. Дійсні числа

14. Числові множини

443. 4) -3 — натуральне число.

444. Правильні твердження: 1, 2, 3, 4, 6, 9; неправильні твердження: 5, 7, 8.

445. Правильні твердження: 3, 4, 6, 7, 8; неправильні твердження: 1, 2, 5.

446. 1) Так; 2) так; 3) так; 4) ні; 5) ні; 6) так; 7) так; 8) так.

447. Запис раціонального числа (нескінченний періодичний дріб) — 1), 2); запис ірраціонального числа — 3).

452. х² = а. 1) Якщо а = 16, то рівняння має два корені;

2) якщо а = 7, то рівняння має два ірраціональних корені;

3) якщо а = -5, то рівняння не має коренів.

457. Нехай одне з раціональних чисел m/n, а друге — a/b, де n і q — натуральні; m, р — цілі.

добуток натуральних чисел — натуральне число, добуток натурального і цілого чисел — ціле число, сума цілих чисел — ціле число, отже Сума раціональних чисел — раціональне число.

2) Аналогічно, Отже різниця раціональних чисел — раціональне число.

оскільки добуток натуральних чисел — натуральне число, а добуток раціональних чисел — раціональне число, то — раціональне число.

оскільки mp — раціональне, a ng — натуральне, то частка — раціональне число.

458. Нехай а — раціональне число, b — ірраціональне, а їхня сума с — раціональне число.

с = а + b; b = а - с.

Різниця двох раціональних чисел — раціональне число, а - с раціональне, отже b — раціональне число, що суперечить умові. Сума раціонального і ірраціонального чисел — ірраціональне число. Доведено.

459. Сума, добуток, різниця, добуток раціонального та ірраціонального чисел є числами ірраціональними.

Сума, різниця, добуток і частка двох ірраціональних чисел, а також результат піднесення ірраціонального числа до степеня можуть бути як раціональними, так і ірраціональними числами.

Неправильні твердження: 1, 2, 3.

Приклади: 1) -√5 + √5 = 0; 0 — раціональне;

2) √5 ∙ √5 = (√5)²= 5; 5 — раціональне;

3) √5 ∙ 0 = 0; 0 — раціональне.

460. У кожному під’їзді 8 ∙ 9 = 72 квартири. 186 : 72 = 2 (ост. 42), отже квартира № 186 знаходиться у третьому під’їзді, 42 : 8 = 5 (ост. 2) — на шостому поверсі.

461. 1) а = 2n; b = 2n - 1; 8b = 8(2n - 1) — парне: 5а = 10 — парне; — може бути натуральним;

2) а² = 4n² - парне; b² = (2n - 1)² = (2n - 1)(2n - 1) - непарне; | — не натуральне;

3) 4а = 8n — парне; b = 2n - 1 — непарне; — не натуральне;

4) b² = (2n - 1)(2n - 1) — непарне; а = 2n — парне; — не натуральне.

Відповідь: .

Значення виразу не залежить від значення змінної, оскільки не містить змінної. Доведено.

463. Нехай у цеберку є x л води, тоді після того, як половину води відлили, в ньому залишилось x/2 л води. За умовою задачі у повному цеберку Якщо долити 4 л, то стане (х + 4) л. Об’єм води становитиме 2/3 того, що вміщує цеберко. Маємо рівняння:

1) 3/2 + 14 = 18 (л) — вміщує цеберко.

Відповідь: 18 л.

467. |а| = а виконується при а ≥ 0; |а| = -а виконується при а ≤ 0, обидві рівності виконуються при а = 0.

468. Якщо а = -8, то

Якщо а = 7, то

Значення виразів рівні.

Відповідь: а² = (-а)² = |а|².

470. Нехай кожному солдату присвоєно відповідний номер: 1, 2, 3, ..., 100, тоді перший солдат може чергувати за розкладом 1 + 2 + 3; 1 + 4 + 5; 1 + 6 + 7; ...; 1 + 96 + 97; 1 + 98 + 99; 1 + 100 + ?. Щоночі 1 солдат чергує з двома з решти 99, але 99 непарне число, отже останню ніч один з солдатів буде чергувати з ним вдруге. Це суперечить умові, за якою кожен солдат із кожним із решти солдатів чергує рівно один раз.

Відповідь: ні.

Відкриття ірраціональності

1. Нехай число √3 — раціональне, тоді його можна подати у вигляді нескоротного дробу m/n, де m і n — натуральні числа.

З останньої рівності випливає, що m² кратне трьом, m = 3k, де k ∈ N.

(3k)² = 3n²; 9k² = 3n², звідки випливає, що n², а отже і число n кратне трьом. Таким чином, чисельник і знаменник дробу m/n кратні трьом. Цей дріб скоротний. Отримали суперечність, √3 — ірраціональне число. Доведено.

2) Нехай √n — раціональне число, тоді √n = k, n = k², це суперечить умові. √n — ірраціональне число. Доведено.